適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第一節(jié)直線的傾斜角斜率與直線的方程課件

第一節(jié)直線的傾斜角、斜率與直線的方程第九章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀衍生考點(diǎn)核心素養(yǎng)1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.2.掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式).1.直線的傾斜角與斜率2.直線的方程3.直線方程的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識(shí)梳理1.直線傾斜角的定義定義:當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們以x軸為基準(zhǔn),x軸

與直線l______的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為

.

直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°正向

向上

0°2.直線的斜率(1)定義:一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫(xiě)字母k表示,即k=tanα,傾斜角是90°的直線斜率不存在.(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為

所有的直線都有傾斜角,但不是所有的直線都有斜率

微點(diǎn)撥斜率公式與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān),即兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中可以同時(shí)調(diào)換.就是說(shuō),如果分子是y2-y1,那么分母必須是x2-x1;反過(guò)來(lái),如果分子是y1-y2,那么分母必須是x1-x2.微思考直線的傾斜角越大,斜率越大對(duì)嗎?

提示

不對(duì).設(shè)直線的傾斜角為α,斜率為k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范圍k=0k>0不存在k<0k的增減性—隨α的增大而增大—隨α的增大而增大3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件點(diǎn)斜式過(guò)點(diǎn)(x0,y0),斜率為k

與x軸不垂直的直線斜截式在y軸上的截距為b,斜率為k

兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)

與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式在x軸、y軸上的截距分別為a,b(a,b≠0)

不過(guò)原點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式—Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面內(nèi)所有直線“截距式”中的截距不是距離,在用截距式時(shí),應(yīng)先判斷截距是否為0y-y0=k(x-x0)y-y0=k(x-x0)微點(diǎn)撥求直線方程時(shí),若不能判斷直線是否具有斜率,應(yīng)對(duì)斜率“存在”與“不存在”加以討論.常用結(jié)論1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<02.特殊位置的直線方程(1)與x軸重合的直線方程為y=0;(2)與y軸重合的直線方程為x=0;(3)過(guò)點(diǎn)(a,b)(b≠0)且平行于x軸的直線方程為y=b(b≠0);(4)過(guò)點(diǎn)(a,b)(a≠0)且平行于y軸的直線方程為x=a(a≠0);(5)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線方程為y=kx.對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)過(guò)點(diǎn)M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直線的傾斜角是45°.(

)(2)若直線的斜率為tanα,則其傾斜角為α.(

)(3)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(

)(4)直線的截距即直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.(

)××√×2.若過(guò)點(diǎn)M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為(

)A.1 B.4C.1或3 D.1或4答案

A

解析

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,所以k==1,解得m=1.故選A.3.(多選)下列說(shuō)法正確的是(

)A.有的直線斜率不存在B.若直線l的傾斜角為α,且α≠90°,則它的斜率k=tanαC.若直線l的斜率為1,則它的傾斜角為D.截距可以為負(fù)值答案

ABD

解析

選項(xiàng)A中,傾斜角為90°的直線的斜率不存在,故A正確;選項(xiàng)B中,根據(jù)斜率的定義可得B正確;選項(xiàng)C中,當(dāng)傾斜角θ=時(shí),tan

θ=1,當(dāng)傾斜角θ=時(shí),tan

θ=-1,故C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D中,截距可以為正,也可以為負(fù),還可以為0,故D正確.故選ABD.增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率典例突破例1.(1)若圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別是k1,k2,k3,則有(

)A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1 D.k2<k3<k1(2)(2022福建莆田高三檢測(cè))直線x+ay+b=0經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,則(

)A.a<0,b<0 B.a<0,b>0C.a>0,b<0 D.a>0,b>0(3)已知點(diǎn)A(2,-3),B(-3,-2),直線l的方程為-kx+y+k-1=0,且與線段AB相交,則直線l的斜率k的取值范圍為(

)答案

(1)D

(2)C

(3)A解析

(1)由題圖可知k1>0,k2<0,k3<0,且直線l3的傾斜角大于直線l2的傾斜角,所以k3>k2.綜上可知k2<k3<k1.故選D.名師點(diǎn)析求傾斜角的取值范圍的一般步驟

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(多選)若直線l1:ax-y-b=0,l2:bx-y+a=0,ab≠0,a≠b,則下列圖形可能正確的是(

)(3)已知點(diǎn)A(2,3),B(-3,-2),若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1),且與線段AB始終沒(méi)有交點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是

.

解析

(1)直線l1:ax-y-b=0可化為y=ax-b,直線l2:bx-y+a=0可化為y=bx+a.對(duì)于選項(xiàng)A,由l1得a>0,b<0,由l2得b<0,a>0,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,由l1得a>0,b>0,由l2得b>0,a>0,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,由l1得a<0,b<0,由l2得b>0,a>0,故C不正確;對(duì)于選項(xiàng)D,由l1得a<0,b<0,由l2得b<0,a>0,故D不正確.故選AB.(2)設(shè)切線傾斜角為α,∵y'=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴切線的斜率k=tan

α≥-1,考點(diǎn)二直線的方程典例突破例2.寫(xiě)出下列直線的方程:(2)直線過(guò)點(diǎn)(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12;(3)直線過(guò)點(diǎn)(5,10),且到原點(diǎn)的距離為5.(3)當(dāng)斜率不存在時(shí),所求直線方程為x-5=0,滿足題意.當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,則所求直線方程為y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k=0.由點(diǎn)到直線的距離公方法總結(jié)求直線方程的兩種方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)在等腰三角形MON中,|MO|=|MN|,點(diǎn)O(0,0),M(-1,3),點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上,則直線MN的方程為(

)A.3x-y-6=0 B.3x+y+6=0C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0(2)(多選)(2022江蘇南通模擬)已知直線l過(guò)點(diǎn)(3,4),點(diǎn)A(-2,2),B(4,-2)到l的距離相等,則l的方程可能是(

)A.x-2y+2=0 B.2x-y-2=0C.2x+3y-18=0 D.2x-3y+6=0(3)過(guò)點(diǎn)P(6,-2),且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程為

.

答案

(1)C

(2)BC

(3)2x+3y-6=0或x+2y-2=0

解析

(1)因?yàn)閨MO|=|MN|,點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上,所以直線MN的斜率與直線MO的斜率互為相反數(shù),所以kMN=-kMO=3,所以直線MN的方程為y-3=3(x+1),即3x-y+6=0.故選C.考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用(多考向探究)考向1.直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題典例突破例3.(1)直線ax+(a+1)y+a-1=0過(guò)定點(diǎn)(

)A.(2,1) B.(2,-3)C.(-2,1) D.(-2,3)(2)已知實(shí)數(shù)m,n滿足2m-n=1,則直線mx-3y+n=0必過(guò)定點(diǎn)

.

名師點(diǎn)析1.直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,可以根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征,得出直線過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).2.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程,這時(shí)要能夠整理成過(guò)定點(diǎn)的直線系,即能夠看出“動(dòng)中有定”.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k,直線y=kx-k+1恒過(guò)定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A.(-1,-1) B.(-1,1)C.(1,-1) D.(1,1)答案

(1)D

(2)4

解析

(1)由y=kx-k+1可得y-1=k(x-1),所以直線y=kx-k+1恒過(guò)定點(diǎn)P(1,1).故選D.(2)直線l1的方程可化為l1:m(x-2y)-x+3y+1=0,顯然該直線恒過(guò)兩直線x-2y=0和-x+3y+1=0的交點(diǎn),所以直線l1:(m-1)x+(3-2m)y+1=0(m∈R)恒過(guò)點(diǎn)(-2,-1).因?yàn)辄c(diǎn)(-2,-1)也在直線l2上,故-2a-b+2=0,即2a+b=2.考向2.與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題典例突破例4.過(guò)點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x軸、y軸的正半軸于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí),求直線l的方程;(2)當(dāng)|OA|+|OB|取最小值時(shí)