適用于新高考新教材廣西專版2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量指點(diǎn)迷津八課件

指點(diǎn)迷津(八)第八章空間幾何體外接球的五種模型模型一“墻角”模型“墻角”模型是指具有三條棱兩兩垂直或三個(gè)平面兩兩垂直的特征,應(yīng)用數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),構(gòu)建“兩兩垂直”模型,亦即“墻角”模型,將該三棱錐放入長(zhǎng)方體中,把該三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長(zhǎng)方體的外接球,不用找出球心的具體位置,即可求出該球的半徑,如圖.例1.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為(

)答案

D解析

設(shè)PA=PB=PC=2x.∵E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),突破技巧破解此類題的關(guān)鍵:一是“見數(shù)思形”,需在草稿紙上畫出三棱錐的草圖,判斷是否有兩兩垂直的三條棱;二是“會(huì)構(gòu)造”,即會(huì)構(gòu)造長(zhǎng)方體;三是“用公式”,4R2=a2+b2+c2(其中R為該三棱錐的外接球的半徑,a,b,c為兩兩垂直的三條棱的長(zhǎng).)答案

C解析

PA⊥平面ABC,AB⊥AC,因此以AP,AB,AC為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體,此長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球,長(zhǎng)方體的對(duì)角線是外接球的直模型二“對(duì)棱相等”模型“對(duì)棱相等”模型是指三棱錐的相對(duì)的兩條棱相等,應(yīng)用數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),構(gòu)建長(zhǎng)方體,將該三棱錐放入該長(zhǎng)方體中,使三棱錐的頂點(diǎn)與長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)重合,將該三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長(zhǎng)方體的外接球,從而求出該外接球的半徑,如圖.例2.在平行四邊形ABCD中,AB=2,BC=3,且cosA=,沿BD將△BDC折起、使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)E處,且滿足AE=AD,則三棱錐E-ABD的外接球的表面積為

.

答案

13π設(shè)長(zhǎng)方體從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三棱長(zhǎng)分別為x,y,z,其外接球的半徑為R,則x2+y2=9,y2+z2=9,z2+x2=8,突破技巧破解此類題的關(guān)鍵:一是會(huì)翻折,即通過翻折,明確不變量與變化的量;二是會(huì)構(gòu)造,即根據(jù)所給的相等對(duì)棱的長(zhǎng)度,構(gòu)造符合條件的長(zhǎng)方體;三是會(huì)列出方程組,即設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高,根據(jù)三棱錐的三對(duì)棱的長(zhǎng)度,列出方程組,解方程組,即可求出所構(gòu)造的長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的相鄰的三條棱的長(zhǎng);四是用公式,利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于該三棱錐的外接球的直徑,求出該三棱錐的外接球的半徑,利用球的表面積與體積公式,即可得到外接球的表面積與體積.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知正四面體A-BCD外接球的表面積為12π,則該正四面體的表面積為(

)答案

C

模型三“漢堡”模型“漢堡”模型是指對(duì)于直棱柱,應(yīng)用數(shù)學(xué)建模,結(jié)合球與直棱柱的有關(guān)性質(zhì),建立“漢堡”模型,上、下底面外接圓的圓心連線構(gòu)成的線段的中點(diǎn)即為直棱柱外接球球心,球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離都等于外接球的半徑,如圖.例3.已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長(zhǎng)都為6,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為(

)A.36π B.84πC.132π D.180π答案

B解析

由題意三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,設(shè)N,M分別是上、下底面的中心,MN的中點(diǎn)O是三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心,突破技巧破解此類題的關(guān)鍵是畫出草圖,確定直三棱柱的外接球球心的位置為直三棱柱的上、下底面三角形外接圓的圓心連線所構(gòu)成的線段的中點(diǎn);二是利用正弦定理求出底面三角形的外接圓的半徑,若是特殊三角形,如等邊三角形或直角三角形,可利用特殊三角形的特點(diǎn),快速獲得其外接圓的半徑;三是用定理,即利用勾股定理,求出球的半徑;四是用公式,即利用球的表面積或體積公式求解,注意直三棱柱的外接球與內(nèi)切球的本質(zhì)區(qū)別.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2022山東濟(jì)寧三模)若一個(gè)正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球,則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為(

)A.2∶1 B.3∶2C.7∶3 D.7∶4答案

C模型四“心有所依”模型“心有所依”模型是指對(duì)于圓錐、圓臺(tái)、側(cè)棱相等的棱錐等幾何體,可得球心必在該幾何體的高所在的直線上,或者在棱錐一個(gè)底面的高所在直線上,由此可把相關(guān)信息集中到某一個(gè)直角三角形內(nèi),利用勾股定理求解,如圖.答案

C解析

根據(jù)題意知,△ABC是一個(gè)直角三角形,其面積為4,其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上,設(shè)小圓的圓心為Q,當(dāng)MQ與平面ABC垂直時(shí),三棱錐M-ABC的體積最大.突破技巧破解此類題的關(guān)鍵:一是確定球心O的位置,如例4,先確定底面三角形的外接圓的圓心Q,則M,O,Q三點(diǎn)共線;二是計(jì)算出底面三角形外接圓的半徑;三是利用勾股定理,即可求出球心到底面的距離,從而求出三棱錐的高.答案

A

模型五“雙心”模型“雙心”模型:無(wú)法利用上面四種模型求解的問題,可利用球心、三角形(或四邊形等)外接圓的圓心以及外接圓與球的交點(diǎn)所構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行破解,如圖.例5.已知三棱錐D-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,若AB=AC=BC=DB=DC=1.當(dāng)三棱錐D-ABC的體積取到最大值時(shí),球O的表面積為(

)答案

A解析

如圖,當(dāng)三棱錐D-ABC的體積取到最大值時(shí),則平面ABC⊥平面DBC,取BC的中點(diǎn)G,連接AG,DG,則AG⊥BC,DG⊥BC.分別取△ABC與△DBC的外心E,F,分別過點(diǎn)E,F作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為四面體ABCD的球心.突破技巧對(duì)一般棱錐來(lái)講,外接球球心到各頂點(diǎn)的距離相等,當(dāng)問題難以考慮時(shí),可減少點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行考慮,如先考慮到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是三角形的外心,球心一定在過此點(diǎn)與此平面垂直的直線上.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(2022廣東佛山三模)已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形,平面PAB⊥平面ABCD,且△PAB為等邊三角形,則該四棱錐的外接球的表面積為(

)答案

B解析

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,取側(cè)面△PAB和底面正