新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.5空間中的距離課件新人教B版選擇性必修第一冊

第一章1.2.5空間中的距離課程標(biāo)準(zhǔn)會(huì)用向量方法求兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線與平面、平面與平面之間的距離及它們之間的相互轉(zhuǎn)化,能用法向量求距離.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1空間中點(diǎn)與點(diǎn)、直線、平面的距離借助圖形理解公式的由來并記憶

(1)空間中兩點(diǎn)之間的距離

(2)點(diǎn)到直線的距離n0是直線l的單位方向向量,A∈l,則點(diǎn)P到直線l的距離

(3)點(diǎn)到平面的距離一般地,若A是平面α外一點(diǎn),B是平面α內(nèi)一點(diǎn),n是平面α的一個(gè)法向量,則點(diǎn)A到平面α的距離過關(guān)自診1.若已知點(diǎn)A(1,1,1),B(-3,-3,-3),則線段AB的長為(

)A2.已知空間中三點(diǎn)A(1,0,0),B(2,1,-1),C(0,-1,2),則點(diǎn)C到直線AB的距離為(

)A3.已知平面α的一個(gè)法向量n=(-2,-2,1),點(diǎn)A(-1,3,0)在α內(nèi),則P(-2,1,4)到α的距離為(

)D知識(shí)點(diǎn)2相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離兩類距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離

(1)如果直線l與平面α平行,n是平面α的一個(gè)法向量,A,B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn),則直線l與平面α之間的距離為d=

.

(2)如果平面α與平面β平行,n是平面β的一個(gè)法向量(當(dāng)然也是平面α的一個(gè)法向量),A和B分別是平面α與平面β內(nèi)的點(diǎn),則平面α與平面β之間的距離為d=

.

名師點(diǎn)睛解決立體幾何問題的三種方法(1)綜合方法:以邏輯推理作為工具解決問題.(2)向量方法:利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題.(3)坐標(biāo)方法:建立直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)表示幾何對象或向量,通過運(yùn)算解決幾何問題.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)直線l∥平面α,則直線l到平面α的距離等于直線l上的點(diǎn)到平面α的距離.(

)(2)若平面α∥平面β,則兩平面α,β的距離可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某條直線到平面β的距離,也可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某點(diǎn)到平面β的距離.(

)√√2.已知平面α∥平面β,直線l?α,α與β之間的距離為d,下列說法中正確的有(

)①β內(nèi)有且僅有一條直線與l的距離為d;②β

內(nèi)所有的直線與l的距離都等于d;③β內(nèi)有無數(shù)條直線與l的距離為d;④β內(nèi)所有直線與α的距離都等于d.A.①

B.②

C.①④

D.③④D解析

在直線l上任取一點(diǎn)O,過O作OA⊥β于A,在平面β內(nèi),過點(diǎn)A且與l不平行的所有直線與l的距離都是d,否則不一定是d,所以①②錯(cuò)誤.故選D.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求兩點(diǎn)間的距離【例1】

已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿對角線AC折疊,使平面ABC與平面ADC垂直,求點(diǎn)B,D之間的距離.解

(方法一)過點(diǎn)D和點(diǎn)B分別作DE⊥AC于點(diǎn)E,BF⊥AC于點(diǎn)F,則由已知條件可知AC=5,∵平面ADC⊥平面ABC,DE⊥AC,平面ADC∩平面ABC=AC,∴DE⊥平面ABC.又BF?平面ABC,(方法二)如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作FB的平行線EP,易知EP,EC,ED兩兩垂直.以E為坐標(biāo)原點(diǎn),EP,EC,ED所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.規(guī)律方法

用向量法求兩點(diǎn)間距離的方法主要是坐標(biāo)法和基向量法,設(shè)

變式訓(xùn)練1如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是2,E,F分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF的長是(

)A.2C解析

(方法一)如圖,以線段AC中點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OF為x軸、y(方法二)設(shè)AC中點(diǎn)為G,連接GE,GF.在Rt△FGE中,|EF|2=|FG|2+|GE|2=4+1=5,∴EF=.探究點(diǎn)二求點(diǎn)到直線的距離【例2】如圖,在空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz中,有長方體ABCD-A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,求點(diǎn)B到直線A'C的距離.解

因?yàn)锳B=1,BC=2,AA'=3,所以A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0),規(guī)律方法

求點(diǎn)到直線的距離在特定的幾何結(jié)構(gòu)中還可以直接根據(jù)定義用平面幾何知識(shí)解決或用體積法解決,但這兩類解法技巧性強(qiáng).用向量法就避免了這一構(gòu)造技巧,但要注意在選取方向向量時(shí)要用上幾何體中的已知點(diǎn),然后用向量計(jì)算公式解決.變式訓(xùn)練2如圖,六面體ABCD-EFGH是棱長為1的正方體,若P在正方體C解析

如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,探究點(diǎn)三求點(diǎn)到平面的距離【例3】

如圖,在四棱錐P-ABCD中,正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離;(2)求直線AC到平面PEF的距離.解

(1)以點(diǎn)D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則(2)連接AC,則AC∥EF,直線AC到平面PEF的距離即為點(diǎn)A到平面PEF的距離,規(guī)律方法

向量法求點(diǎn)到平面的距離的一般步驟

變式訓(xùn)練3[人教A版教材習(xí)題]如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E為CD的中點(diǎn),求點(diǎn)D1到平面AEC1的距離.圖1圖2成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測1234D12342.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點(diǎn)P到平面ABC的距離是(

)D12343.已知直線l過點(diǎn)A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直線與l