全等三角形講義

全等三角形全等三角形性質(zhì)圖形全等：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。“全等〞用表示，讀作“全等于〞全等三角形的定義：兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上，如全等時，點A和點D，點B和點E，點C和點F是對應(yīng)頂點，記作。把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等。1.以下說法：①全等圖形的形狀一樣、大小相等；②全等三角形的對應(yīng)邊相等；③全等三角形的對應(yīng)角相等；④全等三角形的周長、面積分別相等，其中正確的說法為〔〕A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④2.如圖,△ABD≌△ACE,則AB的對應(yīng)邊是_______,∠BAD的對應(yīng)角是______．3.:如圖,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,則∠AEB=_______,AE=______．4.如圖:△ABC≌△DCB,AB和DC是對應(yīng)邊,∠A和∠D是對應(yīng)角,則其它對應(yīng)邊是______________,對應(yīng)角是____________________．5.:如圖,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,則另外兩組對應(yīng)邊是____,另外兩組對應(yīng)角是_____．2題2題3題4題5題三角形全等的條件一〔SSS〕三角形有六個條件：三條邊和三個角如果兩個三角形滿足上述六個條件中的一個或兩個時有幾種情形，能否保證兩個三角形全等？滿足一個條件：①只有一條邊對應(yīng)相等； ②只有一個角對應(yīng)相等；結(jié)論：滿足兩個條件：①兩角對應(yīng)相等；②兩邊對應(yīng)相等；一邊一角對應(yīng)相等結(jié)論：如果兩個三角形滿足上述六個條件中的三個時，有幾種可能的情況？兩邊一角對應(yīng)相等結(jié)論：兩角一邊對應(yīng)相等結(jié)論：三邊對應(yīng)相等結(jié)論：三個角對應(yīng)相等結(jié)論：定義：如果兩個三角形的三條邊分別對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等．簡寫為“邊邊邊〞，或簡記為〔S.S.S.〕。例1.：如圖，DE=CE，DF=CF．求證：△DEF≌△CEF．例2.：如圖，DA=CB，DB=CA．求證：△DAB≌△CBA．例3.：如圖AB=CD,AD=BC，求證：AD∥BC。例4..：如圖，點A、C、B、D在同一條直線上,AC=BD,AM=,BM=DN,求證：△AMB≌△D．例6.AB=CD，BF=CE，AE=CF，問AB∥CD嗎？例6.：如圖,AB=AE,AC=AD,BC=DE,C,D在BE邊上.求證：∠CAE=∠DAB．課堂練習(xí)：1.如圖，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，則∠ACD的度數(shù)是()A.120°B.125°C.127°D.104°2.如圖，線段AD與BC交于點O，且AC=BD，AD=BC，則下面的結(jié)論中不正確的選項是()A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D3.如圖，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上兩點，且AE=CF．欲證∠B=∠D，可先運用等式的性質(zhì)證明AF=________，再用“SSS〞證明______≌_______得到結(jié)論．4.如圖,AD⊥BC，垂足為D，BD=CD.求證：△ABD≌△ACD.6.：如圖，AB=DC，BD=AC，AC，BD交于O．求證：△AOB≌△DOC．7.如圖，：AB=AC，BE=CE，E為AD上一點，求證：∠BED=∠CED。8.：如圖，A、E、F、B在一條直線上，AC=BD,AE=BF，CF=DE。求證：AD∥BC課后練習(xí)：1.工人師傅常用角尺平分任意角，做法如下：如圖：∠AOB是一個任意角，在OA、OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊一樣的刻度分別與M、N重合，過角尺頂點P的射線OP便是∠AOB的平分線。你知道這樣做的理由嗎？2.：如圖：BE=CF，AB=DE，AC=DF，求證：△ABC≌△DEF。3.如圖，AB=AC，BD=CD，求證：∠1=∠2．4.AC=BD，AE=CF，BE=DF，問AE∥CF嗎？10.如圖，AC=BD，BC=AD，求證:△ABC≌△BAD．能力提高：1.如圖，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，則∠ABC=2.：如圖,E是AD上的一點,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE．求證：∠B=∠CAE．3.如圖：AB=DC，BE=CF，AF=DE。(1)求證：△ABE≌△DCF;(2)CF∥BE.4.如圖,AD=BC,AB=DC.求證：∠A+∠D=180°.三角形全等的條件二(SAS)定義：如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等．簡寫成“邊角邊〞或簡記為〔S.A.S.〕兩邊一角對應(yīng)相等結(jié)論：例1.如圖，AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求證:△ABC≌△DEF．例2.如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC，求證：△ABC≌△ADE．例3.:如圖,AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．例4.如圖，，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，連結(jié)AE、BF．求證：〔1〕AE=BF；〔2〕AE⊥BF．例5.如圖，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE交于點O.求證：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.課堂練習(xí)：1.在△ABC和△A'B'C'中,要使△ABC≌△A'B'C',需滿足條件〔〕A.AB=A'B',AC=A'C',∠B=∠B'B.AB=A'B',BC=B'C',∠A=∠A'C.AC=A'C',BC=B'C',∠C=∠C'D.AC=A'C',BC=B'C',∠C=∠B'2.如圖,在∠AOB的兩邊上截取AO=BO,在AO和BO上截取CO=DO,連結(jié)AD和BC交于點P,則△AOD≌△BOC理由是〔〕A.ASAB.SASC.AASD.SSS4題2題3題4題2題3題3.如圖，在和中，，，根據(jù)〔SAS〕判定，還需的條件是〔〕A.B.C.D.以上三個均可以4.如圖,AD=AE,AB=AC,BE、CD交于F,則圖中相等的角共有___對,〔除去∠DFE=∠BFC〕()A.5B.4C.3D.26.如果兩個三角形全等,則不正確的選項是〔〕A.它們的最小角相等B.它們的對應(yīng)外角相等C.它們是直角三角形D.它們的最長邊相等7.如圖,:△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正確的等式是〔〕A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE8題7題8題7題8.以下圖中全等的三角形是〔〕A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ9.如圖，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，還需條件〔〕A.AB=AD，BC=DEB.BC=DE，AC=AEC.∠B=∠D，∠C=∠ED.AC=AE，AB=AD10.：AD∥BC，AD=CB，求證：△ADC≌△CBA．11.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，試說明△ABD≌△ACD.12.如圖，AD＝BC,∠ADC＝∠BCD.求證：∠BAC＝∠ABD．13.如圖,:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求證:△ABC≌△DEF.14.如圖,在中,，分別以AB,AC為邊作兩個等腰直角△ABD和△ACE，使．〔1〕求的度數(shù)；〔2〕求證：．15.如圖：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE.求證：〔1〕∠B=∠C，〔2〕BD=CE16.如圖∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。求證：AB=AC。課后練習(xí)：1.下面各條件中，能使△ABC≌△DEF的條件的是〔〕A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EFB.AB=BC,∠B=∠E,DE=EFC.AB=EF,∠A=∠D,AC=DFD.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF2.如圖，AD,BC相交于點O，OA=OD，OB=OC．以下結(jié)論正確的選項是〔〕A.B.C.D.3.如圖，，，．以下結(jié)論不正確的有〔〕．A.B.C.AB=BCD.BD=CE4.如下圖,△ABC與△BDE都是等邊三角形,AB<BD,假設(shè)△ABC不動,將△BDE繞B點旋轉(zhuǎn),則旋轉(zhuǎn)過程中,AE與CD的大小關(guān)系為()A.AE=CDB.AE>CDC.AE<CDD.無法確定5.：如圖,CEAB,DFAB,垂足分別為E,F,AF=BE,且AC=BD,則不正確的結(jié)論是〔〕A.Rt△AEC≌Rt△BFDB.∠C+∠B=90°C.∠A=∠DD.AC∥BD.6.如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，則△ABC和△GHI______全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，則△ABC和△GHI______全等．〔填“一定〞或“不一定〞或“一定不〞〕7.如圖，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，BC=DE，則∠ACE=____.8.如圖，F(xiàn)在正方形ABCD的邊BC邊上，E在AB的延長線上，F(xiàn)B＝EB，AF交CE于G，則∠AGC的度數(shù)是______.9.如圖，△ABC是不等邊三角形，DE=BC，以D，E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作的三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出_____個．10.如圖，△ABC的六個元素,則下面甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是。11.:如圖,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求證:∠3=∠4。12.:如圖,AB=AC,AE平分∠BAC.求證:∠DBE=∠DCE．13.如圖,:AD∥BC,AD=BC．求證:AB∥CD．14.:如圖,點B,E,C,F在同一直線上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求證:AC∥DF．15.:如圖,AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．16.如圖，在中，D是AB上一點，DF交AC于點E，DE=FE，AE=CE，AB與CF有什么位置關(guān)系？說明你判斷的理由。17.如右圖，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別是E、F，AE=CF，DC∥AB，〔1〕試證明：DE=BF；〔2〕連接DF、BE，猜測DF與BE的關(guān)系？并證明你的猜測的正確性．18.如圖，B是CE的中點，AD=BC，AB=DC．DE交AB于F點。求證：〔1〕AD∥BC〔2〕AF=BF．19.:如圖,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求證:∠3=∠4。能力提高：1.觀察以下圖形，則第個圖形中三角形的個數(shù)是〔〕A. B. C. D.……第1個……第1個第2個第3個2.如圖,AD⊥AB,CB⊥AB,DM=CM=a，AD=h,CB=k,∠AMD=75°，∠BMC=45°，則AB的長為()A.aB.kC.D.h3.:如圖,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求證:BD=CE。4.如圖：ΔABC和ΔBDE是等邊三角形，D在AE延長線上。求證：BD+DC=AD。5.：如圖，BE、CF是△ABC的高，分別在射線BE與CF上取點P與Q，使BP=AC，CQ=AB。求證：〔1〕AQ=AP；〔2〕AP⊥AQ6.如圖，△ABC為等邊三角形，點M,N分別在BC,AC上，且BM=，AM與BN交于Q點。求∠AQN的度數(shù)。7.C為AB上一點,△A和△BCM是正三角形.(1)求證:AM=BN；(2)求∠AFN的度數(shù).8.如圖，△ABC的邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形，以D為頂點作一個600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連MN形成△AMN，求證：△AMN的周長等于2。9.在中，，AD平分交BC于D點，求證：AC=AB+BD。10.如圖，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連接AF、BD.(1)觀察圖形，猜測AF與BD之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜測；(2)假設(shè)將正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使正方形CDEF的一邊落在△ABC的部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照圖形標記字母，題(1)中猜測的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，直接寫出結(jié)論，不必證明；假設(shè)不成立，請說明理由.11.五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：AD平分∠CDE.三角形全等的條件三、四〔ASA,AAS〕定義：如果兩個三角形的兩個角及其夾邊分別對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等．簡記為“角邊角〞或簡記為(A.S.A.)。如果兩個三角形的兩個角及其其中一角的對邊分別對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等，簡記為“角角邊〞或簡記為〔A.A.S〕兩角一邊對應(yīng)相等結(jié)論：問題：一塊三角形玻璃碎成如圖形狀4塊，配一塊與原來一樣的三角形玻璃DBDBCA〔2〕帶哪一塊呢？〔3〕帶D塊，帶去了三角形的幾個元素？另外幾快呢？例1.如圖，∠BDA=∠CEA，AE=AD．求證:AB=AC．例2.如圖，∠ACB=900，AC=BC，D為AB上一點,AE⊥CD，BF⊥CD，交CD延長線于F點.求證：BF=CE.例3.如圖在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中線，過點C作CF⊥AE于F，過B作BD⊥CB交CF的延長線于點D?！?〕求證：AE=CD，〔2〕假設(shè)BD=5㎝，求AC的長。例4.如圖：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一點，AE⊥GD于E，BF⊥CD交CD的延長線于F。求證：AE=EF+BF。例5.如圖，在中，AD是角平分線，CF⊥AD交AB于F，垂足為M，CE∥AD交BA的延長線于E，求證：AC=AE=AF。例6.如圖，△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．課堂練習(xí)1.：如圖,AC=CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD,則不正確的結(jié)論是()A.∠A與∠D互為余角B.∠A=∠2C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠22.在△ABC中，AC=5，中線AD=4，則邊AB的取值圍是()A.1<AB<9B.3<AB<13C.5<AB<13D.9<AB<133.如圖，點D,E,F,B在同一條直線上，AB∥CD，AE∥CF，且BF=DE，假設(shè)BD=10，BF=2，則EF=_______4.：如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC．求證：△ABD≌△CDB.5.如圖，，，試說明△ABC≌△DCB.6.如圖，∠1＝∠2，∠B＝∠C.求證：AB＝AC.7.如圖：在△ABC中，AB=AC，AD和BE都是高，它們相交于點H，且AH=2BD.求證：AE=BE.8.:如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中點,DF交CB延長線于E,CE=CD.求證：∠ADE=∠EDC．9.如圖，ΔABC中，D是AC上一點，BE∥AC，BE=AD，AE分別交BD、BC于點F、G．⑴圖中有全等三角形嗎？請找出來，并證明你的結(jié)論．⑵假設(shè)連結(jié)DE，則DE與AB有什么關(guān)系？并說明理由．10.如圖，在△ABC中，∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分線，∠1=∠B,求證AB=AC+AD.課后練習(xí)：1.如圖,∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°,求∠DBC的度數(shù)為()A.50°B.30°C.45°D.25°2.如圖，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于點O?！?〕由AD∥BC，可得=，由AB∥CD，可得=，又由，于是△ABD≌△CDB；〔2〕由，可得AD=CB，由，可得△AOD≌△COB；〔3〕圖中全等三角形共有對。3.如圖在ΔABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD交BE于F,假設(shè)BF=AC,則∠ABC的大小是4.：如圖,∠1=∠2,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分別為B、D.求證：AB=AD．5.如圖，∠1＝∠2,∠B＝∠D，求證:△ABC≌△ADC．6.如圖,∠C＝∠D,CE＝DE．求證:∠BAD＝∠ABC．7.如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O點，∠1=∠2，∠3=∠4．求證：〔1〕；〔2〕BO=DO．8.如圖，點B、C、E在一條直線上，AB=CD，AC=BD，DE∥AC，試說明∠E=∠DBC。9.如圖，，，AC、BD交于點，圖中共有幾對長度相等的線段，你是通過什么方法找到的？10.:如圖,AB∥CD,∠1=∠2,O是AD的中點,EF、AD交于O．求證：O也是EF的中點．11.如圖，AD=BE,AC∥DF,BC∥EF，求證:△ABC≌△DEF．8.：如圖,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,F、C在直線BE上．求證：AB=DE,AC=DF．9.：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，CE⊥AD，BF⊥AD。求證：CE=BF。10.：如圖AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中點,連結(jié)CM并延長交BD于點F．求證：AC=BF．11.：如圖,E、D、B、F在同一條直線上,AD∥CB,∠BAD=∠BCD,DE=BF.求證：AE∥CF.12.：如圖,AE=BF,AD∥BC,AD=BC.AB、CD交于O點．求證：OE=OF．能力提高：1.:如圖，AD=DC,∠ADC=∠DEB=∠B=90°,四邊形ABCD的面積為16,則DE的長為〔〕A.5B.4C.3D.22.三角形ABC中，AB=AC，在AB上取一點D，在AC的延長線上取一點E，使CE=BD，連結(jié)DE交BC于G，求證：DG=GE.3.：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，E、F分別是AB、AC上的點，且∠EDF+∠EAF=180°。求證：DE＝DF。4.在等邊三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P點，BQ⊥AD于Q．求證：BP=2PQ．5.如圖，點M為正△ABD的邊AB所在直線上的任意一點(點B除外)，作，射線MN與∠DBA外角的平分線交于點N，DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系"三角形全等的條件五定義：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等，則這兩個直角三角形全等．簡記為H．L定理．〔或斜邊直角邊〕．例1.如圖，有一個直角△ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一條線段PQ=AB，P.Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線A*上運動，當AP=時,才能使ΔABC與ΔPQA全等.例2.：如圖，AB=CD，AE=DF，且AEBC于E，DFBC于F.求證：∠B=∠C。例3.：如圖,E,B,F,C四點在同一直線上,∠A=∠D=90°,BE=FC,AB=DF．求證：∠E=∠C例4.如圖，ABBC于B，ADDC于D，且CB=CD．求證：∠ABD=∠ADB.例5.證明:在直角三角形中，300所對的直角邊等于斜邊的一半。例6.：如圖，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD，求證：BE⊥AC。例7.：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一點，BD=BC，過D作AB的垂線交AC于E，求證：CD⊥BE.課堂練習(xí)：1.能使兩個直角三角形全等的條件是()A.兩直角邊對應(yīng)相等 B.一銳角對應(yīng)相等 C.兩銳角對應(yīng)相等 D.斜邊相等2.兩個三角形有以下三對元素相等,則不能判定全等的是()A.一邊和兩個角B.兩邊和它們的夾角C.三邊D.兩邊和一對角3.以下說法中，錯誤的選項是〔〕A.三角形全等的判定方法對判定直角三角形全等也適用B.兩個銳角不能確定一個直角三角形C.一個銳角和一條邊不能確定一個直角三角形D.一個銳角和一條邊可以確定一個直角三角形3.：如圖,AD=BC,AE,CF分別垂直BD于E、F,AE=CF,則圖中有____對相等的角(除直角外)．〔〕A.3B.4C.5D.64.：如圖，AC是∠BAD和∠BCD的角平分線，則△ABC≌△ADC用____判定．()A.AAAB.ASA或AASC.SSSD.SAS5.如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延長BC到D，使CD=AC則AC：BD=〔〕A．1：1B．3：1C．4：1D．2：36.如圖,在以下給出的四組條件下，不一定能推導(dǎo)出△ABD≌△EBC的條件是()A.BE=BA,BD=BC,∠1=∠2B.∠3=∠4,∠1=∠2,AB=EBC.AB=EB,∠1=∠2,AD=ECD.AB=EB,∠1=∠2,∠C=∠D7.如圖，AB⊥AC，AC⊥CD，垂足分別是A，C，AD=BC。由此可判定全等的兩個三角形是△和△8.：如圖,AE,FC都垂直于BD,垂足為E、F,AD=BC,BE=DF．求證：OA=OC.9.：如圖，DN=EM，且DNAB于D，EMAC于E，BM=．求證：∠B=∠C.10.：如圖,BC是△ABC和△DCB的公共邊,AB=DC,AC=DB,AE、DF分別垂直BC于E,F．求證：AE=DF．11.：如圖,AB=CD,D、B到AC的距離DE=BF．求證：AB∥CD．12.：如圖,OC=OD,ADOB于D,BCOA于C.求證：EA=EB．13.如圖，：∠ACB和∠ADB都是直角，BC=BD，E是AB上任一點，求證：CE=DE．14.：如圖，∠A=∠D=90°，AC，BD交于O，AC=BD.求證：OB=OC．15.如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90O,直線l經(jīng)過點C，AD⊥l,BE⊥l,垂足分別為D、E.求證：AD=CE。課后練習(xí)：1.以下條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是〔〕A.一條直角邊和一個銳角分別相等B.兩條直角邊對應(yīng)相等C.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等D.斜邊和一個銳角對應(yīng)相等2.在以下定理中假命題是〔〕A．一個等腰三角形必能分成兩個全等的直角三角形B．一個直角三角形必能分成兩個等腰三角形C．兩個全等的直角三角形必能拼成一個等腰三角形D．兩個等腰三角形必能拼成一個直角三角形3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分別是斜邊AB上的高與中線，CF是∠ACB的平分線。則∠1與∠2的關(guān)系是〔〕A．∠1<∠2B．∠1=∠2C．∠1>∠2D．不能確定4.在直角三角形ABC中,假設(shè)∠C=900，D是BC邊上的一點,且AD=2CD,則∠ADB的度數(shù)是〔〕A.30°B.60°C.120°D.150°5.如圖，BD⊥AE于B，C是BD上一點，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，應(yīng)補充的條件是∠A=∠D或或或。6.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD與BE相交于H，且BH=AC，DH=DC，則∠ABC=度。7.如圖，AD∥BC，∠A=900，E是AB上一點，∠1=∠2，AE=BC，求證：∠DEC=90°8.如下圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．求證：BE=CF．9.BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求證：D在∠BAC的平分線上．10.如圖，在△ABE和△ACD中，給出以下四個論斷：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三個論斷為題設(shè)，填入下面的“〞欄中，一個論斷為結(jié)論，填入下面的“求證〞欄中，使之組成一個真命題，并寫出證明過程：求證：11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為C．求證：△DBE的周長等于AB．12.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于E,AD=AC,AF平分∠CAE交CE于F．求證:FD∥CB。13.如圖，A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，假設(shè)AB=CD。請答復(fù)以下問題：〔1〕BD平分EF；〔2〕假設(shè)將DEC的邊EC沿AC方向移動變?yōu)閳D2時其余條件不變，上述結(jié)論是否成立，請說明理由。能力提高：1.：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將三角板的直角頂P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D．PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．2.如圖,在△ABC中,∠ACB=900,∠CAB=300,△ACD、△ABE都是等邊△,DE交AB于F，求證：DF=EF。3.BD、CE是△ABC的高，點P在BD的延長線上，BP=AC，點Q在CE上，CQ=AB。判斷線段AP和AQ的關(guān)系，并證明.4.如圖，點C在線段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，且DA=BC，EB=AC，F(xiàn)C=AB，∠AFB=51°，求∠DFE的度數(shù).角的平分線的性質(zhì)角平分線性質(zhì)：角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等。到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。角平分線的畫法：例1.O是△ABC三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，假設(shè)OD＝5，△ABC的周長等于20，則△ABC的面積等于S△ABC＝例2.如圖，ΔABD的三邊AB、BC、CA的長分別是20、30、40、其中三條角平分線將ΔABD分為三個三角形，則S：S：S等于______.例3.如圖：在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABD=∠ABC,BC⊥DF,垂足為F,AF交BD于E。求證：AE=EF.例4.如圖：在△ABC中，∠B，∠C相鄰的外角的平分線交于點D。求證：點D在∠A的平分線上。例5.如下圖，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上．DE=CD，EF=AC．求證：EF∥AB.例6.在△ABC中，AB>AC，AD是∠BAC的平分線．P是AD上任意一點．求證：AB-AC>PB-PC．例7.如圖，∠A+∠D=1800，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上．(1)探討線段AB、CD和BC之間的等量關(guān)系;(2)探討線段BE與CE之間的位置關(guān)系．例8.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，延長BE交AC于F，AF=EF，求證：AC=BE．課堂練習(xí)：1.如下圖，在△ABC中，P為BC上一點，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AQ＝PQ，PR＝PS，則以下三個結(jié)論中正確的選項是()①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSPA．①和②B．②和③C．①和③D．全對2.如圖，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于點D，則①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點D在∠BAC的平分線上，以上結(jié)論正確的選項是〔〕A.①②③ B.①② C.①③ D.②③3.在△ABC和△A'B'C'中,①AB=A'B';②BC=B'C';③AC=A'C;④∠A=∠A';⑤∠B=∠B';⑥∠C=∠C';則以下哪組條件不保證△ABC≌△A'B'C'．()A.①②③B.①②⑤C.①⑤⑥D(zhuǎn).①②④4.如圖，點P到BE、BD、AC的距離恰好相等，則點P的位置：①在∠B的平分線上；②在∠DAC的平分線上；③在∠EAC的平分線上；④恰是∠B，∠DAC，∠EAC三個角的平分線的交點。上述結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)有〔〕A.1個 B.2個 C.3個 D.4個5.∠AOB的平分線上一點M，M到OA的距離為1.5cm，則M到OB的距離為______6.如圖，AB∥CD，O是∠BAC、∠ACD的平分線的交點，OE⊥AC于E，且OE＝2，則AB與CD間的距離等于7.ΔABC的周長是15，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，過點O作OD⊥BC與點D，且OD=2，求ΔABC的面積。8.BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB。求證：D在∠BAC的平分線上．9.如圖，在△ABC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EF∥AD交CA的延長線于點F，交AB于點G，假設(shè)BG=CF，求證：AD為∠BAC的角平分線．10.△ABC，∠B=∠C，D，E分別是AB及AC延長線上的一點，且BD=CE，連接DE交底BC于G，求證GD=GE．11.如圖，A，B兩點位于一個池塘的兩端，小麗想用繩子測量A、B間距離，但是繩不夠長．你能幫她設(shè)計測量方案嗎"如不能，說明困難在哪里；如果能，寫出方案，并說明其中的道理．課后練習(xí)：1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分別是斜邊AB上的高與中線，CF是∠ACB的平分線。則∠1與∠2的關(guān)系是〔〕A.∠1<∠2B.∠1=∠2C.∠1>∠2D.不能確定2.尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點C、D為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線OP由作法得的根據(jù)是〔〕A．SASB．ASAC．AASD．SSS3.如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延長線于F，E為垂足．則結(jié)論：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．1B.2C．3D．44.如圖在RtΔABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分線，交于點D，假設(shè)CD=n，AB=m，則ΔABD的面積是_______5.：如圖，∠B=∠DEF，AB=DE，要說明△ABC≌△DEF，〔1〕假設(shè)以“ASA〞為依據(jù)，還缺條件.〔2〕假設(shè)以“AAS〞為依據(jù)，還缺條件.〔3〕假設(shè)以“SAS〞為依據(jù)，還缺條件.6.如圖，C為線段AE上一動點〔不與點A，E重合〕，在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ.以下五個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的結(jié)論有____________〔把你認為正確的序號都填上〕。7.如圖，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B為垂足，AB交OM于點N．求證：∠OAB=∠OBA。8.∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE.9.，如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠BCD=180°.10.如圖：在△ABC中，∠A=60°，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于點O。求證：OE=OF。11.AM為△ABC的中線，∠AMB，∠AMC的平分線分別交AB于E、交AC于F．求證：BE+CF>EF．能力提高：1.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，假設(shè)AC=10cm，則△DBE的周長等于()A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm2.如下圖，表示三條相互穿插的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有〔〕A.1處 B.2處 C.3處 D.4處3.如圖,AE平分∠BAC,BE上AE于E,ED∥AC,∠BAE=360,則∠BED=4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為C．求證：△DBE的周長等于AB．5.如圖，在△ABC中，D,E分別為AB,AC邊中點，連接CD、BE并分別延長至F、G，使BE=EG,CD=DF,連接FA,GA.求證：AF=AG.6.如圖：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于E，且AE=BD，DF⊥AB于F。求證：CD=DF。7.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過C作CE⊥AB于E，并且,求∠ABC+∠ADC的度數(shù)。8.如圖：AD是△ABC中∠BAC的平分線，過AD的中點E作EF⊥AD交BC的延長線于F，連結(jié)AF。求證：∠B=∠CAF。9.△ABC中，AB=AC，BD為AB的延長線，且BD=AB，CE為△ABC的AB邊上的中線．求證CD=2CE10.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，AF與EF相等嗎？為什么？全等三角形復(fù)習(xí)一、選擇題：1.如圖，OA=OC，OB=OD，則圖中全等三角形共有〔〕A.2對B.3對C.4對D.5對2.以下各圖中，不一定全等的是〔〕A．有一個角是45°腰長