中考數(shù)學(xué)壓軸題專題突破二次函數(shù)中的定值問(wèn)題

【中考?jí)狠S題專項(xiàng)突破】二次函數(shù)中的定值問(wèn)題1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y＝﹣的圖象通過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（1，），直線l通過(guò)拋物線的頂點(diǎn)且與y軸垂直，垂足為Q．（1）求該二次函數(shù)的體現(xiàn)式；（2）設(shè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B處出發(fā)沿拋物線向下運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo)y1隨時(shí)間t（t≤0）的變化規(guī)律為y1＝﹣2t．設(shè)點(diǎn)C是線段OP的中點(diǎn)，作DC⊥l于點(diǎn)D．①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，與否為定值，請(qǐng)闡明理由；②若在點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，直線l也向下平行移動(dòng)，且垂足Q的縱坐標(biāo)y2隨時(shí)間t的變化規(guī)律為y2＝1﹣3t，以O(shè)P為直徑作⊙C，l與⊙C的交點(diǎn)為E、F，若EF＝，求t的值．2．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象通過(guò)點(diǎn)C（0，3），與x軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（3，0）．點(diǎn)D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，其中0＜t＜4，連接DE、DF、EF，記△DEF的面積為S．（1）求二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的體現(xiàn)式；（2）若n＝0，求S的最大值，并求此時(shí)t的值；（3）若t＝2，當(dāng)n不同數(shù)值時(shí)，S的值與否變化？如不變，求該定值；如變化，試用含n的代數(shù)式表達(dá)S．3．若一次函數(shù)y＝kx+m的圖象通過(guò)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)，我們則稱這兩個(gè)函數(shù)為“丘比特函數(shù)組”（1）請(qǐng)判斷一次函數(shù)y＝﹣3x+5和二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5與否為“丘比特函數(shù)組”，并闡明理由．（2）若一次函數(shù)y＝x+2和二次函數(shù)y＝ax2+bx+c為“丘比特函數(shù)組”，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c頂點(diǎn)在二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣4圖象上并且二次函數(shù)y＝ax2+bx+c通過(guò)一次函數(shù)y＝x+2與y軸的交點(diǎn)，求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式；（3）當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣4的最小值為a，若“丘比特函數(shù)組”中的一次函數(shù)y＝2x+3和二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（b、c為參數(shù)）相交于PQ兩點(diǎn)請(qǐng)問(wèn)PQ的長(zhǎng)度為定值嗎？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)闡明理由．4．已知二次函數(shù)y＝kx2+x+（k是常數(shù)）．（1）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試求k的取值范疇；（2）若點(diǎn)（1，k）在某反比例函數(shù)圖象上，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)y＝kx2+x+都是y隨x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件及x的取值范疇；（3）若拋物線y＝kx2+x+與x軸交于A（xA，0）、B（xB，0）兩點(diǎn)，且xA＜xB，xA2+xB2＝34，若與y軸不平行的直線y＝ax+b通過(guò)點(diǎn)P（1，3），且與拋物線交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）兩點(diǎn)，試探究與否為定值，并寫出探究過(guò)程．5．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），且拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝．（1）直接寫出b的值及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）∠BAC的平分線交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N．①直接寫出：+＝；②當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，+與否為定值，若是，求出這個(gè)值，若不是，闡明理由．6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為C（0，﹣），與x軸交于點(diǎn)A、B，連接AC、BC，得等邊△ABC．T點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)S從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，TS交射線BC于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)T達(dá)成A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)S停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)△TSC的面積為S，求S有關(guān)t的函數(shù)解析式；（3）以點(diǎn)T為圓心，TB為半徑的圓與射線BC交于點(diǎn)E，試闡明：在點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段ED的長(zhǎng)是一定值，并求出該定值．【中考?jí)狠S題專項(xiàng)突破】二次函數(shù)中的定值問(wèn)題參考答案與試題解析1．解：（1）由題意得，解得．故二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+1．（2）①＝，理由以下，將P點(diǎn)縱坐標(biāo)代入（1）的解析式，得：﹣2t═﹣x2+1，x＝，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（，），∴OP中點(diǎn)C的坐標(biāo)（，），∴CD＝1﹣（）＝，OP＝＝2t+，∴OP＝2CD∴＝．②∵圓心到直線l的距離d＝|﹣（1﹣3t）|＝|2t﹣|，半徑r＝OP＝t+，EF＝，又∵（）2+d2＝r2，∴+（2t﹣）2＝（t+）2，解得t＝1或，∴t＝1或時(shí)，以O(shè)P為直徑作⊙C，l與⊙C的交點(diǎn)為E、F，EF＝．2．解：（1）將點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函數(shù)的體現(xiàn)式為y＝﹣x2+2x+3．（2）當(dāng)n＝0時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，﹣5）．設(shè)直線DF的函數(shù)體現(xiàn)式為y＝kx+a（k≠0），將D（0，3），F(xiàn)（4，﹣5）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直線DF的函數(shù)體現(xiàn)式為y＝﹣2x+3．過(guò)點(diǎn)E作EQ∥y軸，交直線DF于點(diǎn)Q，如圖1所示．∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，﹣2t+3），∴EQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）＝﹣t2+4t，∴S＝EQ?（xF﹣xD）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8．∵﹣2＜0，∴當(dāng)t＝2時(shí)，S取最大值，最大值為8．（3）當(dāng)n取不同數(shù)值時(shí)，S的值不變．過(guò)點(diǎn)DM∥y軸，過(guò)點(diǎn)F作FM∥x軸，交直線DM于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥FM于點(diǎn)N，交直線DF于點(diǎn)G，如圖2所示．當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，﹣n2+2n+3），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（n+2，﹣n2﹣2n+3），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（n+4，﹣n2﹣6n﹣5），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（n，﹣n2﹣6n﹣5），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n+2，﹣n2﹣6n﹣5），∴DM＝8n+8，EN＝4n+8，MN＝2，NF＝2，∴S＝S梯形DMNE+S△ENF﹣S△DMF，＝MN?（DM+EN）+NF?EN﹣DM?MF，＝12n+16+4n+8﹣16n﹣16，＝8．∴當(dāng)n取不同數(shù)值時(shí)，S的值永遠(yuǎn)為8．3．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，故一次函數(shù)y＝﹣3x+5和二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函數(shù)組”；（2）設(shè)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)為：（m，m+2），將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，解得：m＝3或﹣1，當(dāng)m＝3時(shí)，函數(shù)頂點(diǎn)為（3，5），一次函數(shù)y＝x+2與y軸的交點(diǎn)為：（0，2），則二次函數(shù)體現(xiàn)式為：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，故：拋物線的體現(xiàn)式為：y＝﹣x2+2x+2；同理當(dāng)m＝﹣1時(shí)，拋物線的體現(xiàn)式為：y＝x2+2x+2，綜上，拋物線的體現(xiàn)式為：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）是定值，理由：令y＝x2﹣2x﹣4＝0，則x＝1±，故當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時(shí)，x＝﹣1時(shí)函數(shù)獲得最小值，即a＝1+2﹣4＝﹣1，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P（m，2m+3），則“丘比特函數(shù)組”另外一種交點(diǎn)為Q（x，y），則拋物線的體現(xiàn)式為：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），由題意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，整頓得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，由韋達(dá)定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故點(diǎn)Q（m﹣2，2m﹣1），則PQ＝＝2，為定值．4．解：（1）∵二次函數(shù)y＝kx2+x+與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，解得k＜且k≠0．（2）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝，∵通過(guò)點(diǎn)（1，k），∴m＝k，∵反比例函數(shù)和二次函數(shù)y＝kx2+x+都是y隨x的增大而增大，∴k＜0，∵對(duì)稱軸x＝﹣＝﹣，根據(jù)二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x＜0或0＜x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大．（3）結(jié)論：＝1．理由：令y＝0，則有kx2+x+＝0，∴xA+xB＝﹣，xA?xB＝，∵xA2+xB2＝34，∴（xA+xB）2﹣2xA?xB＝34，∴（）2﹣﹣34＝0，解得k＝﹣或由（1）可知k＜，∴k＝﹣，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線為y＝kx+b，把P（1，3）代入得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴過(guò)點(diǎn)P的直線為y＝kx+3﹣k，∵過(guò)點(diǎn)P的直線為y＝kx+3﹣k與物線交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）兩點(diǎn)，∴y1＝kx1+3﹣k，y2＝kx2+3﹣k，由消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k＝0，∴x1+x2＝﹣（4k﹣2），x1x2＝﹣3﹣4k，∴＝＝＝＝＝1．5．解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，∴﹣＝，解得b＝，將點(diǎn)C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得c＝3，因此，y＝﹣x2+x+3，令y＝0，則﹣x2+x+3＝0，整頓得，x2﹣2x﹣9＝0，解得x1＝﹣，x2＝3，因此，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0）；（2）①∵A的坐標(biāo)為（﹣，0），∴AO＝，∵點(diǎn)C（0，3），∴OC＝3，根據(jù)勾股定理得，AC＝＝＝2，因此，+＝+＝+＝；故答案為：．②+為定值．理由以下：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交x軸于E，則∠ADE＝∠CAD，∵∠BAC的平分線交y軸于點(diǎn)D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠OAD＝∠ADE，∴DE＝AE，∵DE∥AC，∴△NED∽△ANM，∴＝，由圖可知，EN＝AN﹣AE，∴＝＝＝1﹣，∴1﹣＝，整頓得，+＝，∵tan∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°，∵∠BAC的平分線與y軸相交于點(diǎn)D，∴∠DAO＝∠BAC＝×60°＝30°，∴DO＝AO?tan∠DAO＝×tan30°＝×＝1，∵DE∥AC，∴∠DEO＝∠BAC＝60°，∴DE＝DO÷sin∠DEO＝1÷sin60°＝1÷，∴＝，∴+＝．6．解：（1）∵y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)是（0，﹣），∴拋物線的對(duì)稱軸是y軸，∴b＝0，故可設(shè)拋物線的解析式是：y＝ax2﹣，又∵三角形ABC是等邊三角形，且有CO⊥AB，CO＝∴AO＝1，∴A（﹣1，0）把點(diǎn)A代入y＝ax2﹣，得a＝∴拋物線的解析式是y＝x2﹣．（2）當(dāng)0＜t＜1時(shí)，OT＝1﹣t，CS＝t；∴S＝OT?CS＝（1﹣t）t＝﹣t2+t；當(dāng)1＜t＜2時(shí)，OT＝t﹣1，CS＝t；∴S＝