中考數(shù)學壓軸題專題突破二次函數(shù)中的定值問題

【中考壓軸題專項突破】二次函數(shù)中的定值問題1．在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y＝﹣的圖象通過點A（2，0）和點B（1，），直線l通過拋物線的頂點且與y軸垂直，垂足為Q．（1）求該二次函數(shù)的體現(xiàn)式；（2）設(shè)拋物線上有一動點P從點B處出發(fā)沿拋物線向下運動，其縱坐標y1隨時間t（t≤0）的變化規(guī)律為y1＝﹣2t．設(shè)點C是線段OP的中點，作DC⊥l于點D．①點P運動的過程中，與否為定值，請闡明理由；②若在點P開始運動的同時，直線l也向下平行移動，且垂足Q的縱坐標y2隨時間t的變化規(guī)律為y2＝1﹣3t，以O(shè)P為直徑作⊙C，l與⊙C的交點為E、F，若EF＝，求t的值．2．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象通過點C（0，3），與x軸分別交于點A、點B（3，0）．點D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在這個二次函數(shù)的圖象上，其中0＜t＜4，連接DE、DF、EF，記△DEF的面積為S．（1）求二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的體現(xiàn)式；（2）若n＝0，求S的最大值，并求此時t的值；（3）若t＝2，當n不同數(shù)值時，S的值與否變化？如不變，求該定值；如變化，試用含n的代數(shù)式表達S．3．若一次函數(shù)y＝kx+m的圖象通過二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點，我們則稱這兩個函數(shù)為“丘比特函數(shù)組”（1）請判斷一次函數(shù)y＝﹣3x+5和二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5與否為“丘比特函數(shù)組”，并闡明理由．（2）若一次函數(shù)y＝x+2和二次函數(shù)y＝ax2+bx+c為“丘比特函數(shù)組”，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c頂點在二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣4圖象上并且二次函數(shù)y＝ax2+bx+c通過一次函數(shù)y＝x+2與y軸的交點，求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式；（3）當﹣3≤x≤﹣1時，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣4的最小值為a，若“丘比特函數(shù)組”中的一次函數(shù)y＝2x+3和二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（b、c為參數(shù)）相交于PQ兩點請問PQ的長度為定值嗎？若是，請求出該定值；若不是，請闡明理由．4．已知二次函數(shù)y＝kx2+x+（k是常數(shù)）．（1）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點，試求k的取值范疇；（2）若點（1，k）在某反比例函數(shù)圖象上，要使該反比例函數(shù)和二次函數(shù)y＝kx2+x+都是y隨x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件及x的取值范疇；（3）若拋物線y＝kx2+x+與x軸交于A（xA，0）、B（xB，0）兩點，且xA＜xB，xA2+xB2＝34，若與y軸不平行的直線y＝ax+b通過點P（1，3），且與拋物線交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）兩點，試探究與否為定值，并寫出探究過程．5．如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，3），且拋物線的對稱軸為直線x＝．（1）直接寫出b的值及點A的坐標；（2）∠BAC的平分線交y軸于點D，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N．①直接寫出：+＝；②當直線l繞點D旋轉(zhuǎn)時，+與否為定值，若是，求出這個值，若不是，闡明理由．6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為C（0，﹣），與x軸交于點A、B，連接AC、BC，得等邊△ABC．T點從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點A運動，同時點S從點C出發(fā)，以每秒個單位的速度向y軸負方向運動，TS交射線BC于點D，當點T達成A點時，點S停止運動．設(shè)運動時間為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)△TSC的面積為S，求S有關(guān)t的函數(shù)解析式；（3）以點T為圓心，TB為半徑的圓與射線BC交于點E，試闡明：在點T運動的過程中，線段ED的長是一定值，并求出該定值．【中考壓軸題專項突破】二次函數(shù)中的定值問題參考答案與試題解析1．解：（1）由題意得，解得．故二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+1．（2）①＝，理由以下，將P點縱坐標代入（1）的解析式，得：﹣2t═﹣x2+1，x＝，∴點P坐標（，），∴OP中點C的坐標（，），∴CD＝1﹣（）＝，OP＝＝2t+，∴OP＝2CD∴＝．②∵圓心到直線l的距離d＝|﹣（1﹣3t）|＝|2t﹣|，半徑r＝OP＝t+，EF＝，又∵（）2+d2＝r2，∴+（2t﹣）2＝（t+）2，解得t＝1或，∴t＝1或時，以O(shè)P為直徑作⊙C，l與⊙C的交點為E、F，EF＝．2．解：（1）將點B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴二次函數(shù)的體現(xiàn)式為y＝﹣x2+2x+3．（2）當n＝0時，點D的坐標為（0，3），點E的坐標為（t，﹣t2+2t+3），點F的坐標為（4，﹣5）．設(shè)直線DF的函數(shù)體現(xiàn)式為y＝kx+a（k≠0），將D（0，3），F(xiàn)（4，﹣5）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直線DF的函數(shù)體現(xiàn)式為y＝﹣2x+3．過點E作EQ∥y軸，交直線DF于點Q，如圖1所示．∵點E的坐標為（t，﹣t2+2t+3），∴點Q的坐標為（t，﹣2t+3），∴EQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+3）＝﹣t2+4t，∴S＝EQ?（xF﹣xD）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8．∵﹣2＜0，∴當t＝2時，S取最大值，最大值為8．（3）當n取不同數(shù)值時，S的值不變．過點DM∥y軸，過點F作FM∥x軸，交直線DM于點M，過點E作EN⊥FM于點N，交直線DF于點G，如圖2所示．當t＝2時，點D的坐標為（n，﹣n2+2n+3），點E的坐標為（n+2，﹣n2﹣2n+3），點F的坐標為（n+4，﹣n2﹣6n﹣5），∴點M的坐標為（n，﹣n2﹣6n﹣5），點N的坐標為（n+2，﹣n2﹣6n﹣5），∴DM＝8n+8，EN＝4n+8，MN＝2，NF＝2，∴S＝S梯形DMNE+S△ENF﹣S△DMF，＝MN?（DM+EN）+NF?EN﹣DM?MF，＝12n+16+4n+8﹣16n﹣16，＝8．∴當n取不同數(shù)值時，S的值永遠為8．3．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即頂點坐標為（2，1），當x＝2時，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，故一次函數(shù)y＝﹣3x+5和二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函數(shù)組”；（2）設(shè)：二次函數(shù)的頂點為：（m，m+2），將頂點坐標代入二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，解得：m＝3或﹣1，當m＝3時，函數(shù)頂點為（3，5），一次函數(shù)y＝x+2與y軸的交點為：（0，2），則二次函數(shù)體現(xiàn)式為：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，故：拋物線的體現(xiàn)式為：y＝﹣x2+2x+2；同理當m＝﹣1時，拋物線的體現(xiàn)式為：y＝x2+2x+2，綜上，拋物線的體現(xiàn)式為：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）是定值，理由：令y＝x2﹣2x﹣4＝0，則x＝1±，故當﹣3≤x≤﹣1時，x＝﹣1時函數(shù)獲得最小值，即a＝1+2﹣4＝﹣1，設(shè)拋物線的頂點為P（m，2m+3），則“丘比特函數(shù)組”另外一種交點為Q（x，y），則拋物線的體現(xiàn)式為：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），由題意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，整頓得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，由韋達定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故點Q（m﹣2，2m﹣1），則PQ＝＝2，為定值．4．解：（1）∵二次函數(shù)y＝kx2+x+與x軸有兩個不同的交點，∴，解得k＜且k≠0．（2）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝，∵通過點（1，k），∴m＝k，∵反比例函數(shù)和二次函數(shù)y＝kx2+x+都是y隨x的增大而增大，∴k＜0，∵對稱軸x＝﹣＝﹣，根據(jù)二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：當x＜0或0＜x＜﹣時，y隨x的增大而增大．（3）結(jié)論：＝1．理由：令y＝0，則有kx2+x+＝0，∴xA+xB＝﹣，xA?xB＝，∵xA2+xB2＝34，∴（xA+xB）2﹣2xA?xB＝34，∴（）2﹣﹣34＝0，解得k＝﹣或由（1）可知k＜，∴k＝﹣，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+，設(shè)過點P的直線為y＝kx+b，把P（1，3）代入得3＝k+b，∴b＝3﹣k，∴過點P的直線為y＝kx+3﹣k，∵過點P的直線為y＝kx+3﹣k與物線交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）兩點，∴y1＝kx1+3﹣k，y2＝kx2+3﹣k，由消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k＝0，∴x1+x2＝﹣（4k﹣2），x1x2＝﹣3﹣4k，∴＝＝＝＝＝1．5．解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝，∴﹣＝，解得b＝，將點C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得c＝3，因此，y＝﹣x2+x+3，令y＝0，則﹣x2+x+3＝0，整頓得，x2﹣2x﹣9＝0，解得x1＝﹣，x2＝3，因此，點A的坐標為（﹣，0）；（2）①∵A的坐標為（﹣，0），∴AO＝，∵點C（0，3），∴OC＝3，根據(jù)勾股定理得，AC＝＝＝2，因此，+＝+＝+＝；故答案為：．②+為定值．理由以下：如圖，過點D作DE∥AC交x軸于E，則∠ADE＝∠CAD，∵∠BAC的平分線交y軸于點D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠OAD＝∠ADE，∴DE＝AE，∵DE∥AC，∴△NED∽△ANM，∴＝，由圖可知，EN＝AN﹣AE，∴＝＝＝1﹣，∴1﹣＝，整頓得，+＝，∵tan∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°，∵∠BAC的平分線與y軸相交于點D，∴∠DAO＝∠BAC＝×60°＝30°，∴DO＝AO?tan∠DAO＝×tan30°＝×＝1，∵DE∥AC，∴∠DEO＝∠BAC＝60°，∴DE＝DO÷sin∠DEO＝1÷sin60°＝1÷，∴＝，∴+＝．6．解：（1）∵y＝ax2+bx+c的頂點是（0，﹣），∴拋物線的對稱軸是y軸，∴b＝0，故可設(shè)拋物線的解析式是：y＝ax2﹣，又∵三角形ABC是等邊三角形，且有CO⊥AB，CO＝∴AO＝1，∴A（﹣1，0）把點A代入y＝ax2﹣，得a＝∴拋物線的解析式是y＝x2﹣．（2）當0＜t＜1時，OT＝1﹣t，CS＝t；∴S＝OT?CS＝（1﹣t）t＝﹣t2+t；當1＜t＜2時，OT＝t﹣1，CS＝t；∴S＝