2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第5章平面向量復(fù)數(shù)解答題模板構(gòu)建2高考中的解三角形問題 學(xué)案

解答題模板構(gòu)建2高考中的解三角形問題(2021·新高考全國Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點D在邊AC上，BD·sin∠ABC＝asinC.(1)證明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.[規(guī)范解答](1)證明：由BDsin∠ABC＝asinC及正弦定理，得BD＝asinCsin∠ABC＝ac???????????????????????????????????3分(2)解：由cos∠BDA＋cos∠BDC＝0及余弦定理，得b2整理，得113b2－2a2－c2＝0.?????????????????????又b2＝ac，所以113ac－2a2－c2所以ca2－113·ca＋2＝0，解得ca＝3或c所以cos∠ABC＝a2+c2-b2當(dāng)ca＝3時，cos∠ABC＝1+9-32×當(dāng)ca＝23時，cos∠ABC＝1+49-所以cos∠ABC＝712.???????????????????????第一步：利用正弦定理對條件式進行邊角互化得結(jié)論．第二步：由余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系并整理得ca第三步：利用余弦定理求cos∠ABC并將ca第四步：將ca第五步：檢查易錯易混，規(guī)范解題步驟得出結(jié)論．類型一三角函數(shù)與解三角形的綜合應(yīng)用1．已知函數(shù)f(x)＝23sinx·cosx＋2sin2x－1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f(A)＝2，C＝π4，c＝2，求△ABC解：(1)因為f(x)＝23sinxcosx＋2sin2x－1＝3sin2x－cos2x＝2sin2x-令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-π6，(2)因為f(A)＝2sin2A-所以sin2A-因為A∈(0，π)，2A－π6∈-所以2A－π6＝π2，解得A＝因為C＝π4，c＝2，所以由正弦定理asinA可得a＝c·sinAsinC所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得6＝b2＋4－2×b×2×12，解得b＝1＋3所以S△ABC＝12absinC＝12×6×(1＋3)×2．已知f(x)＝3(cos2x－sin2x)－2cosx·sin(π－x)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f(A)＝－3，a＝3，求BC邊上的高的最大值．解：(1)由f(x)＝3(cos2x－sin2x)－2cosxsin(π－x)，化簡可得：f(x)＝3cos2x－2sinxcosx，即f(x)＝3cos2x－sin2x＝－2sin2x-所以f(x)的最小正周期T＝2π由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋32π，k得kπ＋512π≤x≤kπ＋1112π，k∈所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是kπ+512π(2)由f(A)＝－3，得sin2A-π3因為A∈0，所以2A－π3∈-所以2A－π3＝π所以A＝π3由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，則9＝b2＋c2－bc≥bc，即bc≤9(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c取等號)．設(shè)BC邊上的高為h，則12ah＝12bcsinA，即3h＝32bc，故h＝所以h≤332，即h的最大值為類型二解三角形問題在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知acosB-π6＝b(1)求角B的大??；(2)設(shè)a＝2，c＝3，求sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB．又由bsinA＝得asinB＝acosB-π6，即sinB即sinB＝cosBcosπ6＋sinBsinπ6，可得tanB＝又因為B∈(0，π)，所以B＝π3(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB-π6，可得sinA故co