2021高考數(shù)學(xué)（理）必考考點(diǎn)知識(shí)與題型完全歸納：解析幾何

2021高考數(shù)學(xué)（理）必考考點(diǎn)知識(shí)與題型完全歸納：解析幾何

【高頻考點(diǎn)及備考策略】

（1）切實(shí)掌握直線的傾斜角、斜率的概念，兩直線平行、垂直的位置關(guān)系；弄清直線的點(diǎn)斜式、斜截式、

兩點(diǎn)式、截距式方程的特點(diǎn)及相關(guān)量的幾何意義；掌握求圓的方程的方法，并會(huì)判定直線與圓、圓與圓的

位置關(guān)系，會(huì)利用位置關(guān)系解決綜合問(wèn)題.

（2）掌握求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率的方法；會(huì)利用圓錐曲線的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.

（3）掌握根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求弦長(zhǎng)或面積的方法；會(huì)解決直線與圓錐曲線相交產(chǎn)生的與弦

有關(guān)的問(wèn)題及最值問(wèn)題.

考向預(yù)測(cè)：

（1）根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)的值；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)的軌跡.

（2）根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率或離心率的范圍.

（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系有關(guān)的計(jì)算、證明、最值、軌跡問(wèn)題.

A-----------e

必備知識(shí)

1.直線的有關(guān)問(wèn)題

（1）直線的斜率公式

①已知直線的傾斜角為a（存90。），則直線的斜率為仁tana.

②已知直線過(guò)點(diǎn)A（N，%）,8（X2,乃）（必方I），則直線的斜率為％=以-*（必力I）.

X]1

（2）三種距離公式

①兩點(diǎn)間的距離:若A（X],y，，B（M，丁2），

2

則_x2—xi+yi-y\

|Ax（）+8y（）+C|

②點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P（x（）,y（））到直線8y+C=0的距離d=

V7+P.

③兩平行線的距離：若直線/I,b的方程分別為小Ax+By+C}=0,/2：Ax+By+C2=0,則兩平行線

心一Gl

的距離d=

v7+p-

(3)直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)公式

設(shè)圓的半徑為R,圓心到弦的距離為乩則弦長(zhǎng)

(4)直線方程的五種形式

①點(diǎn)斜式:y—yo=Mx-沏）.

②斜截式:y=kx+h.

xxi

③兩點(diǎn)式:

y2-yix2—x\

④截距式:?+5=1（存0,厚0）.

⑤一般式:Ar+8y+C=0（A,B不同時(shí)為0）.

(5)直線的兩種位置關(guān)系

①當(dāng)不重合的兩條直線/,和/2的斜率存在時(shí):

(i)兩直線平行：(〃/2Tl=%

(ii)兩直線垂直：/1_!_/2d=-1.

②當(dāng)兩直線方程分別為*A|x+Biy+G=0,Z2：A2x+B2y+G=0時(shí):

(i)/1與6平行或重合51&-A28=0.

(ii)/山2Tp42+8/2=0.

2.圓的有關(guān)問(wèn)題

(1)圓的三種方程

①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：｛x—dy-\-(y—byL~r'.

②圓的一般方程：%2+/+Dx+Ey+F=0(D2+E2~4F>0).

③圓的直徑式方程：(X—X1)(X—X2)+(y—力)。一兒)=0.(圓的直徑的兩端點(diǎn)是A(xi，)，1)，8(戈2，>,2)).

(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法

①代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：/>0T目交，/<o=F曰離，/=o=ffl切.

②幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d,則以「小目交，d>r^

離，d=rTfl切.(主要掌握幾何方法).

(3)兩圓圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系與兩圓的位置關(guān)系

設(shè)圓Q半徑為ri，圓O2半徑為學(xué)

圓心距與兩圓半徑的關(guān)系兩圓的位置關(guān)系

1?！?。2|<卜1一闖內(nèi)含

1。1。21=比一聞內(nèi)切

|八一聞<|。1。引<。+聞相交

|。1。2尸歷+聞外切

|。1。2|>出+可外離

3.圓錐曲線的定義

(1)橢圓：m+=2a(2a>\F]F2|).

⑵雙曲線：||PFi|-|PF2II=2a(2n<|F1F2l).

(3)拋物線：|PF|=|PM|，點(diǎn)F不在直線/上，于M(/為拋物線的準(zhǔn)線).

4.圓錐曲線的重要性質(zhì)

(1)橢圓、雙曲線中4,b,c之間的關(guān)系

①在橢圓中：a2=b2+c2-,離心率為

②在雙曲線中離心率為

(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)

①雙曲線?一￡=1(“>0,b>0)的漸近線方程為>=±3；焦點(diǎn)坐標(biāo)Q(—c,0),尸2(。,0).

2V2

②雙曲線力v一戶=l(a>0,b>0)的漸近線方程為尸巧ax,焦點(diǎn)坐標(biāo)Fi(0,—c),B(0，c).

(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程

①拋物線y2=±2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為畛0),準(zhǔn)線方程為x=瑤.

②拋物線f=±2p)，S>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,當(dāng)，準(zhǔn)線方程為尸戒

5.弦長(zhǎng)問(wèn)題

直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)

斜率為k的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A3,?),B3，*)時(shí)，|AB|=#1+/?|為一刈=

71十戶7X1+X22—4X1X2或|A8|I—yi\^^^1+%+>22—4y/2,

【重要結(jié)論】

拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論

2

設(shè)A5是過(guò)拋物線y2=2〃x(p>0)焦點(diǎn)尸的弦，若4即，M)，伙如”)，則①即、2=：>1"=-P?;②弦

長(zhǎng)|4陰=內(nèi)+必+2=皓(。為弦AB的傾斜角)；③j卷+矗=/④以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

【易錯(cuò)警示】

1.注意兩平行線距離公式的應(yīng)用條件

應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí)，兩平行線方程中x,y的系數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等.

2.忽略直線斜率不存在的情況

在解決有關(guān)直線問(wèn)題時(shí)要考慮直線斜率是否存在.

3.注意直線方程的限制條件

(1)應(yīng)用點(diǎn)斜式、斜截式方程時(shí)，注意它們不包含垂直于x軸的直線；

(2)應(yīng)用兩點(diǎn)式方程時(shí)，注意它不包含與坐標(biāo)軸垂直的直線；

(3)應(yīng)用截距式方程時(shí)，注意它不包括與坐標(biāo)軸垂直的直線以及過(guò)原點(diǎn)的直線；

(4)在處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)要充分利用圓的兒何性質(zhì).

4.忽視定位條件：在圓錐曲線問(wèn)題的研究中，應(yīng)先定位，后定形，缺少了定位往往會(huì)做無(wú)用功.定位

條件是：焦點(diǎn)或準(zhǔn)線，定形條件是：a,b,p.

5.搞清楚雙曲線漸近線的斜率：在求雙曲線的漸近線方程時(shí)，一定要注意雙曲線漸近線的斜率是土加

是以

6.忽略一元二次方程的判別式致誤：對(duì)于以直線與圓錐曲線相交為前提的問(wèn)題，應(yīng)用直線與曲線的方

程求參數(shù)值或探究問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意判別式大于等于零這一條件.

A-----------------

真題體驗(yàn)

一、選擇題

1、(2020新課標(biāo)I卷?理科T4)已知A為拋物線C-y=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,

到y(tǒng)軸的距離為9,則p=()

A.2B.3C.6I).9

【答案】C

【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,由拋物線的定義知IA產(chǎn)1=4+5=12,即12=9+5,解得。=6.

故選：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查利用拋物線的定義計(jì)算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.

2、(2020新課標(biāo)I卷?理科T11)已知。/+9―2%—2y—2=0,直線/：2x+y+2=0,p為/

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。M的切線切點(diǎn)為當(dāng)|R0|?|AB|最小時(shí)，直線A3的方程為()

A.2x—y—1—0B.2x+y-1=0C,2x—y+l=OD,2x+y+l=0

【答案】D

【解析】圓的方程可化為(x—iy+(y—l)2=4,點(diǎn)M到直線/的距離為d=1；N=石〉2,所以

直線/與圓相離.

依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)API,M四點(diǎn)共圓，n.AB±MP,所以

\PM\-\AB\^2S^PAM=2X；X|PA|X|AM|=2|PA|,而|削=5例如,

當(dāng)直線MPJ"/時(shí)，園外加=石，|B4|min=L此時(shí)|?！安穦43|最小.

11.?

]/、11V=_XH---X——1

.?.MP:y-l=—(x—1)即丁=一%+一，由《，22解得，《八.

222c八y=o

2x+y+2=03

所以以MP為直徑的圓的方程為（x-l）（x+l）+y（y-l）=O,即丁+產(chǎn)一丁一1=0,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=0,即為直線A8的方程.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的

轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

3、（2020新課標(biāo)H卷?理科T5）若過(guò)點(diǎn)（2,1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x-y-3=0的

距離為（）

3「3百

B考x_..-----

55D?警

【答案】B

【解析】由于圓上的點(diǎn)（2,1）在第象限，若圓心不在第一象限,

則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限,

設(shè)圓心的坐標(biāo)為（。,。），則圓的半徑為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—Q『+（y—Q）2=a2.

由題意可得（2-4）2+（1-4）2=〃，可得。2_6。+5=0,解得0=1或4=5,

所以圓心的坐標(biāo)為（1,1）或（5,5）,

|2xl-l-3|2A/5

圓心（1,1）到直線2x-y-3=0的距離均為4

V55

|2x5-5-3|25/5

圓心（5,5）到直線2x-y-3=0的距離均為為

~15一丁

|-2|_2>/5

圓心到直線2x—y—3=0的距離均為d

所以，圓心到直線2x—y-3=0的距離為名叵.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

22

4、（2020新課標(biāo)II卷?理科T8）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x與雙曲線C:=-1=l（a>0,6>0）的兩條

a2b2

漸近線分別交于。，上兩點(diǎn)，若。。七的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

22L

【解析】C：5—馬=1（。>0力>0）.?.雙曲線的漸近線方程是y=±-X

a~b-a

22

直線x=a與雙曲線C：二-與=l（4>0/>0）的兩條漸近線分別交于。，E兩點(diǎn)

儲(chǔ)b2

不妨設(shè)。為在第一象限，E在第四象限

x=ax=a

聯(lián)立，b，解得《，故。（。功）

y=-x[y=t>

Ia

x=a

聯(lián)立，b解得《x=a,故石（。,一份

y二一一xy=-b

Ia

IODE面積為：5

ED|=2bA4-aVZ=—ax2h=ah=S

雙曲線C:*?-/=l（a>0,。>0）其焦距為2c=2荷+/>2y[2ab=2716=8

當(dāng)且僅當(dāng)〃=。=2應(yīng)取等號(hào)；?C的焦距的最小值：8,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求

最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

5、（2020新課標(biāo)HI卷?理科T5）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：產(chǎn)=2外（p>0）交于。，

E兩點(diǎn)，若ODLOE,則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

B?乙可C.（1,0）D.（2,0）

【答案】B

【解析】因?yàn)橹本€x=2與拋物線y2=2px（p>0）交于兩點(diǎn)，且OO_LOE,

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定NDOx=NEQx=?,所以。（2,2）,

代入拋物線方程4=4p,求得p=l,所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（：,0）,故選：B.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性，

點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題目.

2

Y-

6^（2020新課標(biāo)HI卷?理科T11）設(shè)雙曲線C與y（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，尸2,

一記

離心率為后.P是C上一點(diǎn)，且丹PJ_尸2P.若△PF1F2的面積為4,則4=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【解析】泉=亞，：島,根據(jù)雙曲線的定義可得||「耳|-陀外||=2a,

=；IP用忖鳥I=4,即Ip用?〔尸6I=8,

F}P±F2P.:]PF^+\PF2f=（2cf,

.?.（歸耳|一|尸鳥|）2+2歸用.|「用=402,即/—5/+4=0,解得a=l,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于

中檔題.

7、（2020山東省新高考全國(guó)I卷?T9）同（2020海南省新高考全國(guó)H卷?丁10）已知曲線C:加小+〃,2=].

（）

A.若"?>〃>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若m=〃>0,則C是圓，其半徑為?

C.若加〃<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±JEx

D.若團(tuán)=0,H>0,則C是兩條直線

【答案】ACD

22

工+匕=1

【解析】對(duì)于A,若加,幾>0,則如2+〃y2=i可化為工十1T,

mn

因?yàn)椤?>〃>0,所以一<一,

mn

即曲線C表示焦點(diǎn)在）'軸上的橢圓，故A正確；

對(duì)于B,若加=〃>0,則初/+〃y2=i可化為％2+,2=一,

n

此時(shí)曲線。表示圓心在原點(diǎn)，半徑為近的圓，故B不正確；

n

22

X-y

—=1

對(duì)于C,若mn<0,則nvc+ny1=1可化為1I1

mn

此時(shí)曲線C表示雙曲線，

由加^+町^=0可得了=±/一且x，故C正確；

Vn

對(duì)于D,若〃2=0,〃〉。，則如2+町；2=］可化為y2=!.,

n

y=+—,此時(shí)曲線C表示平行于X軸的兩條直線，故D正確;

n

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算

的核心素養(yǎng).

8、(2020北京卷?T5)已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為().

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】設(shè)圓心C(彳卜則^(-3)2+(y-4)2=1，

x化簡(jiǎn)得

(x-3)2+(y—4)2=1,

所以圓心。的軌跡是以M(3,4)為圓心，1為半徑的圓，

所以|。。|+12|。加|=再不=5,所以1。。已5—1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時(shí)取得等號(hào)，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

9、(2020北京卷?T7)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為。，焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1.P是拋物線上異于。的一點(diǎn)，過(guò)尸作

PQ^/于。，則線段FQ的垂直平分線（）.

A.經(jīng)過(guò)點(diǎn)。經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

C.平行于直線0P垂直于直線0P

【答案】B。/

【解析】如圖所示：.\x/

因?yàn)榫€段FQ的垂直平分線上的點(diǎn)到F,。的距離相等，又點(diǎn)、p在拋物線上，JYr

根據(jù)定義可知，|也=歸口，所以線段尸Q的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.故選：B.I1\

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

22

10、（2020天津卷?T7）設(shè)雙曲線。的方程為5-5=13>0/>0）,過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)（0,加

的直線為/.若。的一條漸近線與/平行，另一條漸近線與/垂直，則雙曲線。的方程為（）

2222

2

A.土-工=1B.%2_2_=]C.---丁=1D.X-/=l

4444

【答案】D

【解析】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為。,0）,所以直線/的方程為x+1=1，即直線的斜率為-6,

又雙曲線的漸近線的方程為y=±?x,所以一〃=一2,-/,x-=-l,因?yàn)椤?gt;0/>0,解得a=l,6=l.

aaa

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)題.

11、（2020浙江卷?T8）已知點(diǎn)。（0,0）,A（-2,0）,B（2,0）.設(shè)點(diǎn)尸滿足|例-甲8|=2,且P為函

數(shù)）‘=3,4—f圖像上的點(diǎn),則|OP|=（）

4710

C.幣D.V10

音5

【答案】D

【解析】因?yàn)?|PB|=2<4,所以點(diǎn)P在以A3為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為4的雙曲線的右支上,

2

由c=2,a=l可得，加=/_/=4-1=3,即雙曲線的右支方程為f一匕=1@>0），而點(diǎn)P還在函數(shù)

y=3A/4—%2的圖象上，所以，

V13

2

y=3^4-xx=----

2

由，,丫2,解得.=\/10.故選：D.

x-一可=l(x>0)36’

y=------

-2

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

（2020新課標(biāo)1卷?理科T15）已知F為雙曲線C:=1（。>0力>0）的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn),

a2b2

8為C上的點(diǎn)，且8F垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為,

【答案】2

需3,而網(wǎng)

【解析】依題可得,AF\^c-a,即7變形得。2-/=3祀、—3",

-J

c-a

化簡(jiǎn)可得，e2-3e+2=0.解得e=2或e=l（舍去）.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2、（2020山東省新高考全國(guó)I卷?T13）同（2020海南省新高考全國(guó)H卷?T14）斜率為6的直線過(guò)拋物

線C：y=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.

【答案】y

【解析】?..拋物線的方程為尸=4x,??.拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為尸（1,0），

乂：直線A8過(guò)焦點(diǎn)尸且斜率為J5，二直線AB的方程為：y=1）

代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得3f-lOx+3=0，

解法一：解得玉=g,%=3

所以IA5|=VT7F?%1=13—；|=修

解法二：△=100-36=64>0

設(shè)4”］）,5（毛,%），則%+々=與,

過(guò)A,5分別作準(zhǔn)線元=-1的垂線，設(shè)垂足分別為C,。如圖所示.

|AB|=|AF|+|BFHAC\+\BD|=%+1+泡+1=$+/+2=?

故答案：”

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長(zhǎng)公式，屬基礎(chǔ)題.

3、（2020北京卷?T12）已知雙曲線C：^--工=1,則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為;C的焦點(diǎn)到其漸

63

近線的距離是

【答案】⑴.（3,0）（2）.6

【解析】在雙曲線。中，a=Ab=g，則°=揚(yáng)+〃=3,則雙曲線。的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,

雙曲線C的漸近線方程為丁=±也X，即x±J2y=0,

3

所以，雙曲線。的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.故答案為：（3,0）；百.

，a+2

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦點(diǎn)到漸近線的距離，考查計(jì)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

4、（2020江蘇卷-T6）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1-f=l（a>0）的一條漸近線方程為y=@

a252

x,則該雙曲線的離心率是.

3

【答案】-

2

【解析】雙曲線5-上=1,故匕=行.由于雙曲線的條漸近線方程為y=長(zhǎng)x，即心避-2，

a252a2

____c3

所以c=Ja2+加=屬5=3,所以雙曲線的離心率為[=]?

3

故答案為：-

2

【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

5、（2020江蘇卷?T14）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P（*,0）,A,8是圓C：丁+（y-g）2=36上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足=則△出〃面積的最大值是

【答案】10V5

【解析】QPA=PB：.PCLAB

設(shè)圓心C到直線A8距離為d,則|AB|=2,36—/,|PC|==1

所以SVPABV1-2A/36-相（d+1）=/36-屋）（。+1）2

令y=(36—d2)(d+l)2(O<t/<6)/./=2(d+l)(-2J2-t7+36)=0/.4/=4(負(fù)值舍去)

當(dāng)04d<4時(shí)，y>o；當(dāng)44d<6時(shí)，y<o,因此當(dāng)”=4時(shí)，y取最大值，即s取最大值為ioJ5,

故答案為：106

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

6、（2020天津卷?TI2）已知直線X—6y+8=0和圓f+y2=廠2（廠>0）相交于A,B兩點(diǎn).若|AB|=6,

則「的值為..

【答案】5

8

【解析】因?yàn)閳A心（0,0）到直線X—+8=0的距離d=-r=^=4,

由|AB|=2j"_d2可得6=2,/_4?，解得r=5.故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

7、（2020浙江卷?T15）設(shè)直線/：y=H+雙%>0）與圓f+y2=i和圓（X—4）2+y2=i均相切，則％=

;b=?

【答案】（1）.旦（2）.一38

33

【解析】設(shè)G：d+y2=l,&：（》-4）2+；/=1,由題意，q，a到直線的距離等于半徑，

「」立一］陽(yáng)+外

與b

所以|。=|4左+耳，所以左=0（舍）或者力=一2%,解得A273

亍

故答案為:當(dāng)普

【點(diǎn)晴】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

三、解答題

1、（2020新課標(biāo)I卷?理科T20）已知A、B分別為橢圓氏鼻+/=]（?>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E

的上頂點(diǎn)，AG-GB=8,P為直線戶6上的動(dòng)點(diǎn)，必與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為Q.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CZ）過(guò)定點(diǎn).

2

【答案】（1）三+尸=1；（2）證明詳見解析.

9'

【解析】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程E:0+y2=i（a〉i）可得：A（—a,0）,6（a,0）,G（0,l）

AG—(6?,1),G5=(〃,-1)

Y2

「?AG?G3=4—i=8，「.。2=9.?.橢圓方程為：—+/=1

9

（2）證明：設(shè)尸（6,%），則直線AP的方程為：>=1號(hào)（尤+3）,即：y得（x+3）

聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得:

2-3方+27

(y0+9)f+6y^x+9短—81=0,解得:x=-3或尤=

年+9

將x=-3)2+：7代入直線y=^(x+3)可得:丁=當(dāng)、

%+99'7媼+9

所以點(diǎn)c的坐標(biāo)為尸丹.同理可得：點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3勺-3,二

2

1+9y0+9jI為+1年+1

...直線CO的方程為:

8%(%2+3)〃_3%2-3、

整理可得：y+34=隊(duì)口3%2-3、

6(9-%4)1,6(3-乂：)1%2+1,

%一+1

4%12%_4%(3>

整理得：y

、

故直線CD過(guò)定點(diǎn)

7

【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬

于難題.

2、(2020新課標(biāo)II卷?理科T19)已知橢圓Ci：=1(“>〃>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合,

?2b1

4

G的中心與C?的頂點(diǎn)重合.過(guò)尸且與x軸垂直的直線交Ci于A,8兩點(diǎn)，交Cz于C,。兩點(diǎn)，且|C￡>|=1|AB|.

(1)求G的離心率;

（2）設(shè)M是Ci與C2的公共點(diǎn)，若|Mf]=5,求Ci與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

二；(2)C：工+工=1，G：/=12x.

【答案】（1）

2,3627一

【解析】（1）F（c,O）,A5_Lx軸且與橢圓G相交于4、B兩點(diǎn)，則直線A3的方程為％=c,

X-C

22X=C

，+方=1,解得,b2

聯(lián)立，W|J|AB|=—,

arb~y=±一

cr=b2+c21a

：.\CD\=4c,

A0/02

\CD\=-\AB\,即4c=絲，2b2=3ac，

33a

?/0<e<1>解得e=<，因此，橢圓￡的離心率為J；

即2c2+3-2/=o,即2^+3e-2=0,

（2）由（1）知a=2c,b=辰,橢圓G的方程為￡+/=1,

/2

y=4cx

2

聯(lián)立〈x2y2,，消去y并整理得3爐+16以一12c2=0,解得》=彳?；騲=—6c（舍去），

--T2---T=13

[4c3c2

25c22

由拋物線的定義可得|“可=]。+。=《=5,解得c=3.因此,曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+2L=1,

3627

曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=i2x.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，同時(shí)也考查了利用拋物線的定義求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查

計(jì)算能力，屬于中等題.

3、（2020新課標(biāo)HI卷?理科T20）已知橢圓C：=+2T=1（0＜楊＜5）的離心率為"5,A,8分別為。的

25m4

左、右頂點(diǎn).

（1）求C的方程；

（2）若點(diǎn)p在C上，點(diǎn)。在直線x=6上，且18Pl=|BQ|,BP1BQ,求APQ的面積.

?⑴小墨⑵*

【解析】(1)C:—+=1(0<m<5)a-5,b=m,

25m2

,解得m=3或加=一3（舍）,

根據(jù)離心率

44

22

??.c的方程為：25＜5?，即工+出一

y2525

（2）點(diǎn)尸在。上，點(diǎn)。在直線x=6上，且IBPRBQI,BP1BQ,

過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線，交點(diǎn)為M,設(shè)x=6與左軸交點(diǎn)為N

根據(jù)題意畫出圖形，如圖

\BP\=\BQ\,BPLBQ,NPMB=NQNB=90。,

又ZPBM+ZQBN=90°,ZBQN+ZQBN=90°NPBM=ZBQN,

根據(jù)三角形全等條件“AAS”，可得：4PMB=4BNQ、

16y2

------1-=1.?.3(5,0),.-.|PM|=|B^|=6-5=1,

2525

設(shè)P點(diǎn)為(小,力)，可得P點(diǎn)縱坐標(biāo)為力=1,將其代入y-+曝=1,

x216

可得：工+上=1,解得：%=3或項(xiàng),=—3,，尸點(diǎn)為(3,1)或(一3,1),

2525

①當(dāng)尸點(diǎn)為(3,1)04,故|〃卸=5-3=2,

△PMB必BNQ,；.IMB1=1NQ1=2,可得：。點(diǎn)為(6,2),

畫出圖象，如圖,A(—5,0),Q(6,2),

可求得直線AQ的直線方程為：2x-lly+10=0,

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得P到直線AQ的距離為:

|2x3-llxl+10||5|_立

,―-衣+1f__而一丁'

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：|AQ|=’(6+5)2+(2-0)2=5有,

APQ面積為：1x5也x為=)

252

②當(dāng)P點(diǎn)為(一3,1)時(shí),故|叫=5+3=8,

APMB三△BAQ，???|MB|=|NQ|=8,可得：。點(diǎn)為(6,8),

4一5,0),。(6,8),可求得直線AQ的直線方程為：8x—lly+40=0,

d18x(—3)-llxl+40||5|5

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得P到直線AQ的距離為:

“府+1/-7185-7185

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：|A0=J(6+5)2+(8—0)2=阿,...APQ面積為：^XV185X-A==|,

綜上所述，APQ面積為：

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和求三角形面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的離心率定義和數(shù)形

結(jié)合求三角形面積，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

4、(2020山東省新高考全國(guó)I卷?T22)已知橢圓C：2r+方=1(。＞。〉0)的離心率為*,且過(guò)點(diǎn)4

(2,1).

(1)求C的方程：

(2)點(diǎn)M,N在C上，且AML4N,ADA.MN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

22

【答案】⑴三+匯=1；(2)詳見解析.

63

c

a2

22

解得：。故橢圓方程為：—+^-=].

【解析】(1)由題意可得:2=682=,2=3,

63

a2^b2+c2

⑵設(shè)點(diǎn)M(%,x),N(9,必).

因?yàn)槎?0，即—2)(%一2)+(y—1)(3—1)=。，①

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=Ax+/n,如圖1.

代入橢圓方程消去y并整理得：（1+2k?）f+4kmx+2/-6=（）,

4km2m~-6

X.+X.=----------7,X.X.=--------r-②,

1-l+2k2121+2公

2

根據(jù)X=@+m,y2=他+m，代入①整理可得：（k.2+1,用+（如7-2-2）（內(nèi)+x2）+（//z-l）+4=0

將②代入,-1）言+（版-攙卜3戶43

整理化簡(jiǎn)得（2Z+3機(jī)+1）（2%+機(jī)—1）=0,

?.?42,1）不在直線〃村上，二2%+/〃-1。0,...2〃+3，〃+1=0,人聲1,

（1（21

于是的方程為〉=4x-可所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn)E

IJ，JIJJ

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，可得N。,一yj.如圖2.

代入（石一2）色一2）+（乂-1）（%—1）=。得&一2『+1-￡=0,

222（21

結(jié)合二+2_=1,解得罰=2（舍）,占=7,此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)E

633133

由于AE定值，且△AOE為直角三角形，AE為斜邊,

所以AE中點(diǎn)Q滿足\QD\為定值（4E長(zhǎng)度的一半J（2—2還）

2K3）y3J3

（21、（41、

由于A（2,1）,EW,一,,故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q.

\33y\3j）

（41、

故存在點(diǎn)。￡,工，使得DQI為定值.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題，關(guān)鍵是第二問(wèn)中證明直線例N經(jīng)

過(guò)定點(diǎn)，并求得定點(diǎn)的坐標(biāo)，屬綜合題，難度較大.

22

5、（2020海南省新高考全國(guó)n卷?T21）已知橢圓C：二+馬=13〉。＞0）過(guò)點(diǎn)M（2,3）,點(diǎn)A為其左

ab

頂點(diǎn)，且AM的斜率為￡,

（1）求C的方程；

（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△4MN的面積的最大值.

22

【答案】⑴—+^-=1；（2）12.

1612

【解析】（1）由題意可知直線4M的方程為：y-3=-（x-2）,即x-=

當(dāng)）=0時(shí)，解得x=—4,所以。=4,

所以C的方程：土+匯=1.

1612

（2）設(shè)與宜線4M平行立線方程為：x-2y=m,

如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí).，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為M此時(shí)的面積取得