華中科技大學(xué)微積分下復(fù)習(xí)筆記

文檔說明：本文檔為作者自己整理的微積分（下）有關(guān)重積分的復(fù)習(xí)筆記，包含兩部分——基本公（基于華中科技大學(xué)微積分課本和題型匯（基于華中科技大學(xué)微積分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)）,請勿用作商用，若文中有打錯的字還請多多包涵?；竟蕉胤e分相關(guān)1） D上連續(xù)函數(shù)一定可積2） 線性性、可加性、比較性、估值定理： ，則積分中值定理：若f在D上連續(xù)，則存在PeD，使得—次積分的中值定理：若f（x）在［a,b］上連續(xù)，g（x）不變號，則有 使得，如果g（x）=1，絕對值性質(zhì)：3） 計算X型區(qū)域的逐次積分：Y型區(qū)域的逐次積分：矩形區(qū)域的逐次積分：［a,b；c,d］的意思是a<x<b，c<y<d極坐標(biāo)代換： （不要忘記r）*一般的重積分換元，記得乘J， ——三重積分相關(guān)1）“先一后二”投影法：以xy型區(qū)域為例，D為投影到xy平面所得。，之后根據(jù)D是x型區(qū)域還是y型，繼續(xù)進(jìn)行積分。!用投影法的時候一定注意z的上下限，大多數(shù)時候不會上下限都是常數(shù)2） “先二后一”截面法：V在平面x=a,x=b之間，用平面Z=z截，截面在xy平面上的投影是Dz。 。特殊地，當(dāng)f只跟z有關(guān)系時，，S（z）是Dz的面積。3） 柱面坐標(biāo)代換： ， ，4）球面坐標(biāo)代換： ，其中 是矢量與軸正向的夾角,是平面上投影的極角，應(yīng)用1） 平面的面積：2） 曲頂柱體的體積：3） 空間區(qū)域的體積：4） 曲面的面積：（要求曲面函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，而且這里的D指的是曲面在xy平面上的投影）5） 質(zhì)量和重心（對于質(zhì)量均勻的物體，重心也叫作形心）：二元。具有面密度密度 的平面薄板， ，三元。一立體V的密度為，，y,z類似。對稱問題二元：積分區(qū)域D關(guān)于x或者y對稱，如果被積函數(shù)是關(guān)于x的奇函數(shù)，則為0；如果偶函數(shù)，則積分乘2關(guān)于x=y對稱，也稱關(guān)于x,y輪換對稱，則①積分次序可換；②比如，D是以(0,1)(1,0)(0,0)為定點的三角形。三元：比如關(guān)于平面OX對稱，如果被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù)，則為0；如果是偶函數(shù)，則兩倍。關(guān)于x=y=z對稱，①積分次序可交換；②需注意：先考慮一下是用對稱性研究整個被積函數(shù)，還是把被積函數(shù)拆開之后在研究，比如 ，D:|x|+|y|《1，顯然把被積函數(shù)拆開之后研究更好。常用其他結(jié)論1)各類面積、體積公式橢圓面積公式：S=兀圓周率)xaxb橢球的體積：- ；橢球的表面積： -球的體積：- ；球的表面積：旋轉(zhuǎn)曲面如 繞z軸旋轉(zhuǎn)一圈，得到的曲面是題型匯總普通的二重積分計算直角坐標(biāo)系!提出來的常數(shù)別忘了對于沒有被積函數(shù)的積分區(qū)域，不可以忽略。比如 一，其中D=x2+y2，雖然y<0的部分沒有一，但是dy的積分下限不可以寫0對于 和 ，dt不一樣遇到 型的積分用分部積分做，理解成極坐標(biāo)系常見的直角坐標(biāo)系函數(shù)和極坐標(biāo)函數(shù)互換：y=1-x(第一象限) X2+(y-a)2=a2 r=2asin0(x-a)2+y2=a2 r=2acos0 ，不管a是正的還是負(fù)的。Wallis公式：_ _ 為偶數(shù)——為奇數(shù)被積函數(shù)中出現(xiàn)了-，同樣適用極坐標(biāo)代換，比如 -如果出現(xiàn) ，D是個圓，就等于AS圓，圓的面積要帶n，而且要看-下是不是整圓。交換積分次序1） 需注意：可能需要劃分一下區(qū)域才可以轉(zhuǎn)換2） 遇到一些被積函數(shù)不可積的（如一—— ），可能需要交換積分次序3）遇到被積函數(shù)非常復(fù)雜的（如 ），可能需要還原為二重積分之后，再用極坐標(biāo)做；再如- ，可能需要還原為二重積分之后，再用直角坐標(biāo)系做。4）明顯的原式先積某一個變量會比之前更簡便一點比如， 里不含x，所以先對x積分會更好一點。普通的三重積分計算1） 需注意：！原函數(shù)一定寫全了，尤其是用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)的時候。寫原函數(shù)的時候不要隨便代換字母，比如 ，V是第一象限由z=x2+y2和X2+y2圍成，不要把原函數(shù)里的x2+y2換成z，應(yīng)為在積分區(qū)域并不是處處滿足z=x2+y2積分區(qū)域一定要想對了，比如 與 圍成。2） 利用對稱性化簡當(dāng)被積函數(shù)中出現(xiàn)了絕對值時，比如被積函數(shù)中有一部分超級復(fù)雜，比如 V是x2+y2<R，0<z<H，V關(guān)于Oxz平面對稱， 是y的奇函數(shù)，所以這塊等于0被積函數(shù)是個球面時，要想到輪換對稱，半球面也行（擴充成1/2個整球面）3） 求分段函數(shù)的重積分（識別潛在的分段函數(shù)，然后根據(jù)要求分割積分區(qū)域）a.帶絕對值的。如，D={(x,y)|0<x<n,0<y<n-x}。根據(jù)a.帶絕對值的。如cos(x+y)=0，即cos(x+y)=0，即，劃分積分區(qū)域。[x]型的。 ， 表示不超過 的最大整數(shù)。Max（｝或min（｝型的。這類題有時候劃分過一次積分區(qū)域后，還要根據(jù)區(qū)域可加性再化簡一次才能做。需注意:!分段求之后別忘了加起來；大于還是小于一定想清楚了有些題可以利用交換x,y來化簡。如 D=[0,n;0,n],,交換x,y之后，4）極坐標(biāo)小技巧對于x2+y2=1,z=1，這一張平面，可表示為——對于x2+y2+（z-1）2=1這個球，可表示為，！注意沒有負(fù)號利用重心計算重積分1）概述： ， ，當(dāng)被積函數(shù)是一次函數(shù)而且積分區(qū)域形狀規(guī)則時，可以找出它的形心，然后根據(jù)形心反推積分的值。2） 有時候我們沒法知道形心具體在哪個點，只能知道或者3） 橢球的重心就是中心。不等式或等式的證明問題1）常用公式或結(jié)論a.另 ，則 ，此時F（a）=0*當(dāng)這種方法出現(xiàn)在二重積分上的時候： F’（x）對一層積分起效，如,求F’（t）。 ，所以。這個題也告訴我們極坐標(biāo)也能應(yīng)用這個公式。a2+b2^2ab在函數(shù)上的應(yīng)用， 。。輪換對稱，有時積分區(qū)域不滿足輪換對稱，就擴充積分區(qū)域。交換積分次序，還可以進(jìn)行x,y互換。把不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)大于0（或小于0），討論函數(shù)單調(diào)性和最值點，但一定注意證明的嚴(yán)謹(jǐn)，比如特殊點的函數(shù)值是否存在等。重積分的應(yīng)用問題1） 求面積（見公式）2） 求體積（見公式）復(fù)雜函數(shù)的分析研究對稱性①關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱。如 ，把-x,-y,-z代入之后發(fā)現(xiàn)方程不變，證明它關(guān)于三個坐標(biāo)平面對稱，求體積的時候就可以只求第一象限，然后乘8研究投影或截痕在坐標(biāo)平面或平行于坐標(biāo)平面上的投影。另某個變量為0或常數(shù)。在特殊平面上的投影。如z=xy，當(dāng)x=y時，z=x2，所以函數(shù)在x=y平面上是一個拋物線，同理研究x=-y。兩個曲面圍起來的部分的體積，原理是柱面體積公式。求出D,然后求由曲面z1=z(x,y)和z2=z(x,y)所圍立體的體積。利用z1求出D,然后求質(zhì)量或重心分析實際問題要注意如何建系如％是半徑為R的球的表面上的一個定點此匕球任一點的密度與該電到P0點的距離的平方成正比以P0點為原點建系更好則球的方程時求重心的時候，先用對稱性分析一下。其他計算技巧根據(jù)積分上下限化簡三角函數(shù)時， ，但是確定積分類型時，可以將后積需要分部積分的變量。如 化簡成，比 更好做快速計算：，三重積分的積分方法適用辨析投影法適用于底曲面和頂曲面方程z=z(x,y)與z=z(x,y)比較好寫的時候，比如V由曲面z=xy及平面y=x，x=1，z=0圍成被積函數(shù)很難用極坐標(biāo)代換的，比如截面法適用于①D容易用z表達(dá)，比如圓錐、三角錐(尤其