2022-2023學(xué)年湖北省咸寧市臺(tái)山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年湖北省咸寧市臺(tái)山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)為曲線：上的點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為A． B． C． D．參考答案：2.某賽季，甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員都參加了7場(chǎng)比賽，他們所有比賽得分的情況用如圖1所示的莖葉圖表示，則甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的平均數(shù)分別為（

）

A．14、12

B．13、12C．14、13

D．12、14參考答案：A3.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，若，則不等式的解集為A．

B．

C．

D．參考答案：A4.某校在模塊考試中約有1000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績(jī)?chǔ)巍玁（90，a2），（a＞0試卷滿分150分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為（）A．200 B．300 C．400 D．600參考答案：A【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】先根據(jù)正態(tài)分布曲線的圖象特征，關(guān)注其對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出函數(shù)的圖象，觀察圖象在70分到110分之間的人數(shù)概率，即可得成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)概率，最后即可求得成績(jī)不低于110分的學(xué)生數(shù)．【解答】解：∵成績(jī)?chǔ)巍玁（90，a2），∴其正態(tài)曲線關(guān)于直線x=90對(duì)稱(chēng)，又∵成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，由對(duì)稱(chēng)性知：成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的（1﹣）=，∴此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的學(xué)生約有：．故選A．5.一個(gè)三棱錐的正視圖和側(cè)視圖如圖所示(均為真角三角形),則該三棱錐的體積為（

）A.4 B.8 C.16 D.24參考答案：B【分析】根據(jù)三視圖知，三棱錐的一條長(zhǎng)為6的側(cè)棱與底面垂直，底面是直角邊為2、4的直角三角形，利用棱錐的體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖知三棱錐的側(cè)棱與底垂直，其直觀圖如圖，可得其俯視圖是直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，4，，棱錐的體積，故選B.【點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于中檔題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.6.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作實(shí)軸所在直線的垂線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，則此雙曲線的離心率e的取值范圍為（）A． B． C．（2，+∞） D．（1，2）參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)雙曲線方程為﹣=1，作出圖形如圖，由左頂點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，得|MF|＜|AF|，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的式子，再結(jié)合平方關(guān)系和離心率的公式，化簡(jiǎn)整理得e2﹣e﹣2＞0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．【解答】解：設(shè)雙曲線方程為﹣=1，a＞b＞0則直線AB方程為：x=c，其中c=因此，設(shè)A（c，y0），B（c，﹣y0），∴﹣=1，解之得y0=，得|AF|=，∵雙曲線的左焦點(diǎn)M（﹣a，0）在以AB為直徑的圓內(nèi)部∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，將b2=c2﹣a2，并化簡(jiǎn)整理，得2a2+ac﹣c2＜0兩邊都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍負(fù)）故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當(dāng)左焦點(diǎn)在此圓內(nèi)時(shí)求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．7.若x＞0，y＞0，x+y=1，則的最小值是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用基本不等式，求出xy的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最小值．【解答】解：設(shè)t=xy，則∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴1，∴0＜t≤．=t+在（0，]上的單調(diào)遞減，∴t=，的最小值是．故選D．8.若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，且，則

A．

B．

C．

D．2參考答案：解析:函數(shù)的反函數(shù)是,又,即,所以,,故,選A.9.已知方程，它們所表示的曲線可能是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4）為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則是

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.銳角三角形

D.等腰三角形參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知不等式，對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________.參考答案：略12.已知P為橢圓+=1上的一個(gè)點(diǎn)，M，N分別為圓（x+3）2+y2=1和圓（x﹣3）2+y2=4上的點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為．參考答案：7【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由橢圓的定義：|PF1|+|PF2|=2a=10．圓（x+3）2+y2=1和圓（x﹣3）2+y2=4上的圓心和半徑分別為F1（﹣3，0），r1=1；F2（3，0），r2=2．由|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．【解答】解：由橢圓+=1焦點(diǎn)在x軸上，a=5，b=4，c=3，∴焦點(diǎn)分別為：F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0）．|PF1|+|PF2|=2a=10．圓（x+3）2+y2=1的圓心與半徑分別為：F1（﹣3，0），r1=1；圓（x﹣3）2+y2=4的圓心與半徑分別為：F2（3，0），r2=2．∵|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．∴|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．故答案為：7．13.馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布律如下表請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無(wú)法完全看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案

參考答案：214.已知向量，且，則的坐標(biāo)是

．參考答案：15.若圓C1：x2+y2+2ax+a2–4=0（a∈R）與圓C2：x2+y2–2by–1+b2=0（b∈R）恰有三條公切線，則a+b的最大值為_(kāi)_________．參考答案：316.已知A、B、C三點(diǎn)在球心為O，半徑為3的球面上，且?guī)缀误wO—ABC為正三棱錐，若A、B兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的余弦值為_(kāi)____________參考答案：略17.若實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，點(diǎn)P(－1,0)在動(dòng)直線ax＋by＋c＝0上的射影為M，點(diǎn)N坐標(biāo)為(3,3)，則線段MN長(zhǎng)度的最小值是

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．參考答案：5- 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知關(guān)于的不等式的解集為M，（1）

當(dāng)時(shí)，求集合M；（2）

若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：解

（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為即.........3分所以或，即原不等式的解集為.............6分

（2）因得

①

...........8分因得或

②

（補(bǔ)集思想的運(yùn)用）...........10分

由①、②得，或或。

所以的取值范圍為：。

...........12分略19.在曲線y=x2（x≥0）上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為，試求：（1）切點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過(guò)切點(diǎn)A的切線方程．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過(guò)切點(diǎn)A的切線方程，先求切點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），只須在切點(diǎn)處的切線方程，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線的方程進(jìn)而求得面積的表達(dá)式．最后建立關(guān)于a的方程解之即得．（2）結(jié)合（1）求出其斜率k的值即可，即導(dǎo)數(shù)值即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．【解答】解：（1）如圖示：，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率為k=y'|x=a=2a，故過(guò)點(diǎn)A的切線l的方程為y﹣a2=2a（x﹣a），即y=2ax﹣a2，令y=0，得x=，則S=S△ABO﹣S△ABC=﹣（??a2﹣x2dx）=﹣==，∴a=1∴切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），（2）由（1）得：A的坐標(biāo)為（1，1），∴k=2x=2，∴過(guò)切點(diǎn)A的切線方程是y=2x﹣1．20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n（n∈N+），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2n﹣1（n∈N+）．（1）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和；（2）求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專(zhuān)題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由已知得an=2n+1．從而==，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．（2）由已知得，從而an?bn=（2n+1）?2n﹣1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和．【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n（n∈N+），∴a1=S1=1+2=3，n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1，n=1時(shí)，2n+1=3=a1，∴an=2n+1．∴==，∴數(shù)列{}的前n項(xiàng)和：An=（+…+）==．（2）∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=2n﹣1（n∈N+），∴b1=T1=2﹣1=1，n≥2時(shí)，bn=Tn﹣Tn﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，n=1時(shí)，2n﹣1=1=a1，∴，∴an?bn=（2n+1）?2n﹣1，∴數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和：Bn=3?1+5?2+7?22+…+（2n+1）?2n﹣1，①2Bn=3?2+5?22+7?23+…+（2n+1）?2n，②①﹣②，得﹣Bn=3+22+23+…+2n﹣（2n+1）?2n=﹣（2n+1）?2n=2n+1﹣1﹣（2n+1）?2n，∴Bn=（2n﹣1）?2n+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列項(xiàng)求和法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．21.某公司今年年初用25萬(wàn)元引進(jìn)一種新的設(shè)備，投入設(shè)備后每年收益為21萬(wàn)元．該公司第n年需要付出設(shè)備的維修和工人工資等費(fèi)用an的信息如圖．（1）求an；（2）引進(jìn)這種設(shè)備后，第幾年后該公司開(kāi)始獲利；（3）這種設(shè)備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；基本不等式；數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】（1）由題意知，每年的費(fèi)用是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求得：an=a1+2（n﹣1）=2n．（2）設(shè)純收入與年數(shù)n的關(guān)系為f（n），則f（n）=20n﹣n2﹣25，由此能求出引進(jìn)這種設(shè)備后第2年該公司開(kāi)始獲利．（3）年平均收入為=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，由此能求出這種設(shè)備使用5年，該公司的年平均獲利最大．【解答】解：（1）如圖，a1=2，a2=4，∴每年的費(fèi)用是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴an=a1+2（n﹣1）=2n．（2）設(shè)純收入與年數(shù)n的關(guān)系為f（n），則f（n）=21n﹣[2n+×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，解得10﹣5＜n＜10+5，因?yàn)閚∈N，所以n=2，3，4，…18．即從第2年該公司開(kāi)始獲利．（3）年平均收入為=20﹣（n+）≤20﹣2×5=10，當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí)，年平均收益最大．所以這種設(shè)備使用5年，該公司的年平均獲利最大．22.已知p：關(guān)于的不等式對(duì)一切恒成立；q