2024屆上海建平中學數(shù)學高一上期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆上海建平中學數(shù)學高一上期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．過定點（1,0）的直線與、為端點的線段有公共點，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.2．關(guān)于函數(shù)的敘述中，正確的有（）①的最小正周期為；②在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；③是偶函數(shù)；④的圖象關(guān)于點對稱.A.①③ B.①④C.②③ D.②④3．（）A. B.1C.0 D.﹣14．冪函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的值域是（）A. B.C. D.5．不等式的解集是（）A. B.C. D.6．若向量滿足：則A.2 B.C.1 D.7．若，，，則有A. B.C. D.8．入冬以來，霧霾天氣在部分地區(qū)頻發(fā)，給人們的健康和出行造成嚴重的影響．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，工業(yè)廢氣等污染排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素，治理污染刻不容緩．為降低對空氣的污染，某工廠采購一套廢氣處理裝備，使工業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后再排放．已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P（單位：mg/L）與過濾時間t（單位：h）間的關(guān)系為（，k均為非零常數(shù)，e為自然對數(shù)底數(shù)），其中為t=0時的污染物數(shù)量，若經(jīng)過3h處理，20%的污染物被過濾掉，則常數(shù)k的值為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.圖象的一條對稱軸為直線 D.圖象的一個對稱中心為二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，若存在，使得f（）＝g（），則實數(shù)a的取值范圍為___12．不等式的解集為_____________.13．已知集合，則的元素個數(shù)為___________.14．函數(shù)的值域是__________.15．函數(shù)y=的定義域是______.16．已知函數(shù)的定義域為，當時，，若，則的解集為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（常數(shù)）.（1）當時，用定義證明在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)；（2）根據(jù)的不同取值，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）令，設在區(qū)間上的最小值為，求的表達式.18．已知函數(shù)，（，且）（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明19．已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù).（1）求t的值，并寫出的解析式；（2）判斷在R上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若函數(shù)在上的最小值為，求k的值.20．閱讀材料：我們研究了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，但是這些還不能夠準確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，圖象在上都是上升的，但是卻有著顯著的不同.如圖1所示，函數(shù)的圖象是向下凸的，在上任意取兩個點，函數(shù)的圖象總是在線段的下方，此時函數(shù)稱為下凸函數(shù)；函數(shù)的圖象是向上凸的，在上任意取兩個點，函數(shù)的圖象總是在線段的上方，則函數(shù)稱為上凸函數(shù).具有這樣特征的函數(shù)通常稱做凸函數(shù).定義1：設函數(shù)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，若，都有，則稱為區(qū)間I上的下凸函數(shù).如圖2.下凸函數(shù)的形狀特征：曲線上任意兩點之間的部分位于線段的下方.定義2：設函數(shù)是定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，若，都有，則稱為區(qū)間I上的上凸函數(shù).如圖3.上凸函數(shù)的形狀特征：曲線上任意兩點之間的部分位于線段的上方.上凸（下凸）函數(shù)與函數(shù)的定義域密切相關(guān)的.例如，函數(shù)在為上凸函數(shù)，在上為下凸函數(shù).函數(shù)的奇偶性和周期性分別反映的是函數(shù)圖象的對稱性和循環(huán)往復，屬于整體性質(zhì)；而函數(shù)的單調(diào)性和凸性分別刻畫的是函數(shù)圖象的升降和彎曲方向，屬于局部性質(zhì).關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的探索，對我們的啟示是：在認識事物和研究問題時，只有從多角度、全方位加以考查，才能使認識和研究更加準確.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：（1）請嘗試列舉一個下凸函數(shù)：___________；（2）求證：二次函數(shù)是上凸函數(shù)；（3）已知函數(shù)，若對任意，恒有，嘗試數(shù)形結(jié)合探究實數(shù)a的取值范圍.21．已知圓，直線.（1）若直線與圓交于不同的兩點,當時，求的值.（2）若是直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點；（3）若為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，求四邊形的面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】畫出示意圖，結(jié)合圖形及兩點間的斜率公式，即可求解.【題目詳解】作示意圖如下：設定點為點，則，，故由題意可得的取值范圍是故選：C【題目點撥】本題考查兩點間直線斜率公式的應用，要特別注意，直線與線段相交時直線斜率的取值情況.2、C【解題分析】應用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及輔助角公式可得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合各項描述判斷正誤即可.【題目詳解】，∴最小正周期，①錯誤；令，則在上遞增，顯然當時，②正確；，易知為偶函數(shù)，③正確；令，則，，易知的圖象關(guān)于對稱，④錯誤；故選：C3、C【解題分析】直接利用誘導公式以及特殊角的三角函數(shù)求解即可．【題目詳解】．故選：C．4、C【解題分析】設，帶點計算可得，得到，令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域求解即可.【題目詳解】設，代入點得，則，令，函數(shù)的值域是.故選：C.5、B【解題分析】利用一元二次不等式的解法即得.【題目詳解】由可得，，故不等式的解集是.故選：B.6、B【解題分析】由題意易知：即，，即.故選B.考點：向量的數(shù)量積的應用.7、C【解題分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別將與作比較，從而得到結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題，常用方法是采用臨界值的方式，通過與臨界值的大小關(guān)系得到所求的大小關(guān)系.8、A【解題分析】由題意可得，從而得到常數(shù)k的值.【題目詳解】由題意可得，∴，即∴故選：A9、C【解題分析】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，我們可得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范圍【題目詳解】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則當x∈[2，+∞）時，x2﹣ax+3a＞0且函數(shù)f（x）=x2﹣ax+3a為增函數(shù)即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故選C【題目點撥】本題考查的知識點是復合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵10、D【解題分析】根據(jù)題意函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)，即可求出最小正周期，把看成是整體，分別求的單調(diào)遞減區(qū)間、對稱軸、對稱中心，在分別驗證選項即可得到答案.【題目詳解】由于函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變），故函數(shù)的解析式為，再將所得圖象向左平移個單位長度，.，故A錯誤；的單調(diào)減區(qū)間為，故在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)遞減；圖象的對稱軸為，不存在使得圖象的一條對稱軸為直線，故C錯誤；圖象的對稱中心的橫坐標為，當時，圖象的一個對稱中心為，故D正確.故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】先求出的值域，再求出的值域，利用和得到不等式組求解即可.【題目詳解】因為，所以，故，即因為，依題意得，解得故答案為：.12、【解題分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【題目詳解】不等式為，即，解得，所以不等式的解集為，故答案為：13、5【解題分析】直接求出集合A、B，再求出，即可得到答案.【題目詳解】因為集合，集合，所以，所以的元素個數(shù)為5.故答案為：5.14、【解題分析】首先換元，再利用三角變換，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于二次函數(shù)，再求值域.【題目詳解】設，因為，所以，則，，當時，函數(shù)取得最小值，當時，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)的值域是故答案為：15、【解題分析】要使函數(shù)有意義，需滿足，函數(shù)定義域為考點：函數(shù)定義域16、##【解題分析】構(gòu)造，可得在上單調(diào)遞減．由，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性可得答案【題目詳解】由，得，令，則，又，所以在上單調(diào)遞減由，得，因為，所以，所以，得故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）當時，奇函數(shù)；當時，非奇非偶函數(shù)，理由見解析.（3）【解題分析】（1）當時，得到函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可作出證明；（2）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義，即可得出結(jié)論.（3）根據(jù)正負性,結(jié)合具體類型的函數(shù)的單調(diào)性,進行分類討論可以求出的表達式；【小問1詳解】當時，函數(shù)，設且，則，因為，可得又由，可得，所以所以，即，所以函數(shù)是上是嚴格增函數(shù).【小問2詳解】由函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，當時，函數(shù)，可得，此時函數(shù)為奇函數(shù)；當時，，此時且，所以時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【小問3詳解】，當時,,函數(shù)在區(qū)間的最小值為；當時,函數(shù)的對稱軸為：.若,在區(qū)間的最小值為；若,在區(qū)間的最小值為;若,在區(qū)間的最小值為；當時,,在區(qū)間的最小值為.綜上所述：；18、（1）（2）函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，證明見解析【解題分析】（1）由題意可得，解不等式即可求出結(jié)果；（2）令，證得，根據(jù)偶函數(shù)的定義即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由，則有，得．則函數(shù)的定義域為【小問2詳解】函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)令，則，又則，有成立則函數(shù)為在定義域上的偶函數(shù)19、（1）或，；（2）R上單調(diào)遞增，證明見解析；（3）【解題分析】（1）是定義域為R的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的必要條件，求出的值，進而求出，驗證是否為奇函數(shù)；（2）可判斷在上為增函數(shù)，用函數(shù)的單調(diào)性定義加以證明，取兩個不等的自變量，對應函數(shù)值做差，因式分解，判斷函數(shù)值差的符號，即可證明結(jié)論；（3）由，換元令，，由（2）得，，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為在最小值為-2，對二次函數(shù)配方，求出對稱軸，分類討論求出最小值，即可求解【題目詳解】解：（1）因為是定義域為R的奇函數(shù)，所以，即，解得或，可知，此時滿足，所以.（2）在R上單調(diào)遞增.證明如下：設，則.因為，所以，所以，可得.因為當時，有，所以R單調(diào)遞增.（3）由（1）可知，令，則，因為是增函數(shù)，且，所以.因為在上的最小值為，所以在上的最小值為.因為，所以當時，，解得或（舍去）；當時，，不合題意，舍去.綜上可知，.【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性應用和單調(diào)性的證明，考查復合函數(shù)的最值，用換元方法，將問題化歸為二次函數(shù)函數(shù)的最值，屬于較難題.20、（1），；（2）證明見解析；（3）.【解題分析】（1）根據(jù)下凸函數(shù)的定義舉例即可；（2）利用上凸函數(shù)定義證明即可；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，結(jié)合條件，函數(shù)滿足上凸函數(shù)定義，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求得參數(shù)取值范圍.【小問1詳解】，；【小問2詳解】對于二次函數(shù)，，滿足，即，滿足上凸函數(shù)定義，二次函數(shù)是上凸函數(shù).【小問3詳解】由（2）知二次函數(shù)是上凸函數(shù)，同理易得二次函數(shù)為下凸函數(shù)，對于函數(shù)，其圖像可以由兩個二次函數(shù)的部分圖像組成，如圖所示，若對任意，恒有，則函數(shù)滿足上凸函數(shù)定義，即，即.21、（1）；（2）直線過