福建省閩侯第六中學(xué)屆高三月月考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精福建省閩侯第六中學(xué)2018屆高三12月月考數(shù)學(xué)（文)試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)等于（）A.B.或C.或D?！敬鸢浮緿2。若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位，則（）A.B。C.D。【答案】B【解析】試題分析:由,得，則,故選項(xiàng)為B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算。3。設(shè)滿足條件，則的最小值是（）A.B。C.D.【答案】A【解析】可行域如圖所示，當(dāng)動直線過過時(shí)，有最小值4.選A。4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（)A.B。C。D.【答案】D【解析】故答案選5。我國數(shù)學(xué)史上有一部堪與歐幾里得《幾何原本》媲美的書，這就是歷來被尊為算經(jīng)之首的《九章算術(shù)》，其中卷五《商功》有一道關(guān)于圓柱體的體積試題：今有圓堡，周四丈八尺，高一丈一尺,問積幾何？其意思是:今有圓柱形的土筑小城堡，底面周長是丈尺，高丈尺，問它的體積是多少？(注：丈尺）若取，估算小城堡的體積為（)A。立方尺B.立方尺C。立方尺D.立方尺【答案】C【解析】由已知得尺，則尺，則尺，則尺，故選：C6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A。B.C。D?！敬鸢浮緽【解析】模擬執(zhí)行程序框圖,可得滿足條件S﹣1，S=﹣lg3,k=3滿足條件S﹣1，S=﹣lg5，k=5滿足條件S﹣1，S=﹣lg7，k=7滿足條件S﹣1，S=﹣lg9,k=9滿足條件S﹣1，S=﹣lg11,k=11不滿足條件S﹣1,退出循環(huán),輸出k的值為11．故選：B．7。袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為;藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號分別為；從以上五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于的概率為（）A。B.C。D.【答案】C【解析】從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下種：紅1紅2，紅1紅3,紅1藍(lán)1,紅1藍(lán)2,紅2紅3,紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1,紅3藍(lán)2，,藍(lán)1藍(lán)2其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號之和小于的有種情況，紅1藍(lán)1，，紅1藍(lán)2，紅2藍(lán)1，故所求的概率為故答案選8.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且是偶數(shù),則曲線：在點(diǎn)處的切線方程為（）A.B。C。D.【答案】D【解析】,因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，所以且,因此且切線的斜率，故而切線方程為：，整理得。選D。點(diǎn)睛：（1）一般地，對于多項(xiàng)式函數(shù),如果為偶函數(shù)，那么；如果為奇函數(shù)，那么。（2）曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)，因此切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是處理切線問題的核心。9。如圖所示幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為(）A。B.C.D?！敬鸢浮緽【解析】解析:從題設(shè)中三視圖所提供的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是棱長為的長方體的一角所在三棱錐,其外接球與該長方體的外接球相同，其直徑是該長方體的對角線，故球的半徑為，所以該外接球的表面面積，應(yīng)選答案B。10。已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點(diǎn)，且,則此雙曲線的離心率為（）A.B.C。D。【答案】C【解析】由題意可知雙曲線的一漸近線方程為,圓的半徑為，圓心到漸近線的距離為即雙曲線的離心率為故答案選點(diǎn)睛：圓的方程已經(jīng)確定，那就可以根據(jù)點(diǎn)到直線的距離計(jì)算出的數(shù)量關(guān)系。在處理解析幾何的題目時(shí)往往要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距離或者點(diǎn)線距離，有弦長時(shí)還可以考慮弦長公式.11.設(shè),且，則在上的投影的取值范圍(）A。B.C.D?！敬鸢浮緿【解析】法1：因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線。如圖（1)，當(dāng)在之間時(shí)（含兩點(diǎn)）,在的投影的取值范圍是;如圖(2），當(dāng)在的延長線上時(shí)（不含點(diǎn)），在的投影的取值范圍是（當(dāng)接近于平行時(shí)，在的投影無限接近于）；如圖(3），當(dāng)在的延長線上時(shí)（不含點(diǎn)）,在的投影的取值范圍是（當(dāng)接近于平行時(shí),在的投影的無限接近于）;綜上，在的投影的取值范圍是.法2：不妨設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則，也就是。而在上的投影為。令,如果,則，所以也就是,所以；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),,所以也就是，所以.綜上，的取值范圍為。點(diǎn)睛：處理平面向量的有關(guān)問題時(shí),先分析題設(shè)中的向量等式是否具有明確的幾何意義.本題中的向量等式蘊(yùn)含三點(diǎn)共線，因此考慮動點(diǎn)的三種位置關(guān)系就可以討論出相應(yīng)的投影范圍。當(dāng)我們無法挖掘向量等式隱藏的幾何意義時(shí)（或者根本沒有幾何意義)，我們就從坐標(biāo)的角度把向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。12。已知函數(shù)與的圖像如下圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(）A。B.C。D.【答案】B【解析】由圖可知，先減后增的那條曲線為的圖象，先增再減最后增的曲線為的圖象。當(dāng)時(shí),.令，得，則。故的減區(qū)間為.故選B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分,滿分20分，將答案填在答題紙上)13.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為__________．【答案】-2【解析】法1:，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，也就是,整理得到總成立，所以．法2：的定義域?yàn)?，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以．又當(dāng)時(shí)，，，為上的奇函數(shù)．綜上，．14。已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，其中，則與角終邊相同的最小正角為__________．【答案】【解析】因?yàn)?故，故為第四象限角且,所以，最小的正角為．點(diǎn)睛：的坐標(biāo)可以求得,根據(jù)它可以寫成的一般形式即可求出最小的正角．15。觀察這列數(shù)：，則第個(gè)數(shù)是__________．【答案】337【解析】觀察這列數(shù)不難發(fā)現(xiàn)個(gè)數(shù)一組，個(gè)數(shù)是開頭的一組數(shù)，故為16。三棱錐的三側(cè)棱兩兩垂直，底面內(nèi)一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離分別為,則經(jīng)過點(diǎn)和的所有球中，體積最小的球的表面積為__________．【答案】【解析】如圖，設(shè)過的球的半徑為，則,又過作三個(gè)平面,它們分別平行于三棱錐的側(cè)面,且與這三個(gè)側(cè)面圍成一個(gè)長方體，它的長寬高為,為其對角線且長度為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為球的直徑時(shí)等號成立,因此時(shí)球的體積最小,其表面積為．

點(diǎn)睛：本題為立體幾何中的組合體問題，因?yàn)闉閮蓚€(gè)定點(diǎn),所以過的球的最小半徑為的一半，而的計(jì)算可以通過構(gòu)造長方體并計(jì)算其體對角線的長度可得．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17。在中，角的對邊分別為,且（Ⅰ)求角的值;（Ⅱ）若邊上的中線，求的面積?！敬鸢浮浚á?(Ⅱ）【解析】試題分析:(1）由；（2）由，為等腰三角形．試題解析：(1）∵,∴由正弦定理，得，∴，∴．（2）∵，，可知為等腰三角形，在中，由余弦定理，得，即，∴，的面積．考點(diǎn):解三角形.18。如圖,在四棱錐中,底面是菱形，分別為的中點(diǎn)，（1）證明:平面；（2）若,求三棱錐的體積.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】試題分析：題設(shè)中為的中點(diǎn)，也就是的中點(diǎn)，這樣，根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷平面．（2)要求三棱錐的體積,可以把它轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積，因?yàn)榈狡矫娴母咭浊螅á瘢┻B接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又平面,平面，所以平面．（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接,因?yàn)?，所以；因?yàn)榱庑沃校?所以是等邊三角形，所以，由已知，得，故，而,所以平面．因平面,所以平面平面。過作于，則平面．因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以，所以．點(diǎn)睛：立體幾何中,證明線面平行的方法有：（1）利用線面平行的判斷定理,在已知平面找一條直線與已知直線平行；（2）構(gòu)造過已知直線的平面，證明該平面和已知平面平行，利用面面平行的性質(zhì)去證明線面平行．19.某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，先統(tǒng)計(jì)本校高三年級每個(gè)學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績平均分（采用百分制）,剔除平均分在分以下的學(xué)生后，共有男生名，女生名，現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了名學(xué)生，按性別分為兩組，并將兩組學(xué)生成績分為組,得到如下頻數(shù)分布表.（Ⅰ)估計(jì)男、女生各自的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表）,從計(jì)算結(jié)果看,能否判斷數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)；（Ⅱ)規(guī)定分以上為優(yōu)分(含分）,請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并判斷是否有％以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”，（，其中）【答案】（Ⅰ)見解析（Ⅱ）見解析。【解析】試題分析：（1)利用頻率分布表和平均數(shù)的計(jì)算公式即可.（2）可根據(jù)頻率分布表完成的列聯(lián)表，計(jì)算的值即可.（Ⅰ),從男、女生各自的平均分來看，并不能判斷數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān).(Ⅱ）有頻率分布表可知：在抽取的名學(xué)生中，“男生組"中的優(yōu)分有人，“女生組”中的優(yōu)分有人，據(jù)此可得列聯(lián)表如下:可得，因?yàn)椋詻]有%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”.20.已知拋物線，過點(diǎn)的動直線與相交于兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)。（Ⅰ）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(Ⅱ）求證：點(diǎn)在直線上；【答案】(Ⅰ），（Ⅱ)見解析?！窘馕觥吭囶}分析：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可以直接寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，注意焦點(diǎn)在軸上。又為兩條切線的交點(diǎn)，故可以求出兩條切線方程（它們與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)），聯(lián)立它們可以得到的坐標(biāo)。最后利用動直線過定點(diǎn)可以得到兩個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系,從而得到的縱坐標(biāo)為定值.（Ⅰ）解：焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為。（Ⅱ）證明：由題意,知直線的斜率存在,故設(shè)的方程為,由方程組，得.由題意得.設(shè),則.又，所以拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為,拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得,①。同理，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為②，聯(lián)立方程①②，得即，因?yàn)?所以，代入①，得，所以點(diǎn)，即所以點(diǎn)在直線上。21。已知函數(shù)，其中(Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范圍.【答案】（1）見解析（2)【解析】試題分析：(1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)數(shù)的符號相關(guān),而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，故可以根據(jù)的符號討論導(dǎo)數(shù)的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）若不等式在上有解，那么在上，。但在上的單調(diào)性不確定，故需分三種情況討論。（1）,①當(dāng)時(shí)，在上，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在上;在上；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。綜上所述,當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。(2)若在上存在，使得成立，則在上的最小值小于。①當(dāng)，即時(shí)，由(1)可知在上單調(diào)遞增，在上的最小值為，由，可得，②當(dāng)，即時(shí),由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上的最小值為，由，可得；③當(dāng)，即時(shí),由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的最小值為，因?yàn)?，所以，即，即，不滿足題意，舍去。綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為。點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性往往需要考慮導(dǎo)數(shù)的符號，通常情況下，我們需要把導(dǎo)函數(shù)變形，找出能決定導(dǎo)數(shù)正負(fù)的核心代數(shù)式,然后就參數(shù)的取值范圍分類討論.又不等式的恒成立問題和有解問題也常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值討論，比如:“在上有解”可以轉(zhuǎn)化為“在上，有”，而“在恒成立”可以轉(zhuǎn)化為“在上，有”。請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。22。選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為,（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸建立極坐標(biāo)系，曲線是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線與曲線交于點(diǎn)(Ⅰ）求曲線的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;（Ⅱ）在極坐標(biāo)系中，是曲線的兩點(diǎn),求的值?！敬鸢浮浚?）,。（2）【解析】試題分析：題設(shè)給出了曲線的參數(shù)方程，利用消去參數(shù)就能得到的普通方程，它為橢圓方程。對于曲線，題設(shè)只給出了圓心的位置和圓上一點(diǎn)，根據(jù)它們可以到圓心的坐標(biāo)和半徑，從而可得圓的直角坐標(biāo)方程.在（2）中,因?yàn)閮牲c(diǎn)的極角相差,故先求出的極坐標(biāo)方程，得到極徑與極角的關(guān)系,即可求出和為.（1)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)），則普通方程為，曲線是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓,射