蘭大《線性代數(shù)》二

線性代數(shù)二、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）1.設(shè)矩陣A=[00`0001則A-1等于37B）A.’300120、001B.r0、0V012000J）001001C.D.00300、001\J.設(shè)兩個(gè)向量組αι,α2,???,α3口βι,β2,???,βs均線性相關(guān)，則（D）A.有不全為0的數(shù)λ1,λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和入1β1+λ2β2+…λβs=0B.有不全為0的數(shù)人1，入2，?：入,使λ1（ɑ1+81）+λ2（ɑ2+82）+???+λs（&）8「=0C.有不全為0的數(shù)人1，入2，…,λs使λ1（ɑ1-81）+λ2（ɑ2-82）+…+λsJ-Bs）=0D.有不全為0的數(shù)λ1,λ2,…，λs和不全為0的數(shù)μ1,μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+???+λsɑs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0.設(shè)A；=b是一非齊次線性方程組，η1,η2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（aA.η1+η2是Ax=O的一個(gè)解B.1η1+1η是Ax=b的一個(gè)解2 12 2C.η1-η2是Ax=O的一個(gè)解D.2η1-η2是Ax=b的一個(gè)解4.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（BA.|A|2必為1C.A-1=ATB.∣A∣必為1D.A的行（列）向量組是正交單位向量組5.下列矩陣中是正定矩陣的為（C）V34JB.'23、（3』02310-35111D.120Jo2J、填空題（每題4分，共20分）a1.若11a21a11a2103a 0123a 0226 1a22[1001[10012.設(shè)A為三階可逆陣，A-1=210，則A*=—210v321Jv32"「00]210 321k?Nj√.若A為m義n矩陣，則齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是__R（A）＜n .設(shè)矩陣A=[1「210-310（21已知&=-1是它的一個(gè)特征向量，則α所對(duì)應(yīng)的特征值為?V2J1.5,若α=GkI)T與β=G-21>正交，則k=_1三、計(jì)算題（每題15分，共45分）1.試計(jì)算行列式31—12—513—4201—11—53—31.解3—5211—1130 1—53—4 —11—3 —51 —1 11 3 —10 1 0—5 3 0a12=1,則61-3J，2 5035 1 1=—111—1—5—50511-620—5—50—6—52=30+10=40.—52.設(shè)A=[31-1242(23—1、,0,B= .求(1)ABt；(2)|4A1-240)(12.解(1)ABt=34IT201(21八—1’10)(8 6]=1810.1310j(2)∣4A∣=43∣A∣=64∣A∣，而120∣A∣=340=—2.—121所以∣4A∣=64?(-2)=-128一(0-22L………工—……

3.設(shè)矩陣A=-2—34的全部特征值為1,1和-8.求正父矩陣T和對(duì)角矩陣D,、2 4—3√T-1AT=D.使解A的屬于特征值λ=1的2個(gè)線性無關(guān)的特征向量為ξ1=(2,-1,0)τ,ξ2=(2,0,1)τ.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，(245/5]得η1=-J/5/50k?7,η:L2儼5/15、4石/15.石/3< 7λ=-8的一個(gè)特征向量為(1、ξ3=2，經(jīng)單位化得η3、-2j(1/3、2/3

1-2/37(2<5/5所求正交矩陣為T=—%'15/5、02<15/154^5/15v5/3、-2/37對(duì)角矩陣D=J0:0<00-8,（也可取T=/_Ip-一2,5/5

0[W/52√15∕15

—/5/3

-4R/15_、1/32/3-2/3,.)四、證明題（15分）設(shè)η為AX=b（b≠0）的一個(gè)解，ξ,ξ……ξ為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組AX=0的基

12 --r礎(chǔ)解系，證明ξ,ξ……ξ,η線性無關(guān)。1 2 n-r證：由ξ,ξ……ξ為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，則ξ,ξ……ξ線12 n-r 12 n-r性無關(guān)。（3分）反證法：設(shè)ξ,ξ……ξ,η線性相關(guān)，則η可由ξ,ξ……ξ線性表示，即:12 n- 12 n-rη=λξ+…+λξ （8分）11 rr因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故η必是AX=0的解。這與已知條件η為AX=b（b≠0%勺一個(gè)解相矛盾。（9分）.有上可知，ξ,ξ……ξ,η線性1 2 n-r無關(guān)。（15分）一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）1.設(shè)矩陣A=[000]，則A-1等于<003?B)j3A0]001020110B.012000013)O01-20101-30O/IC.O1-301-20OD..設(shè)兩個(gè)向量組α1,α2,???,α3口β1,β2,???,βs均線性相關(guān)，則（D）A.有不全為0的數(shù)λ1,λ2,???,λs使λ1α1+λ2α『…+λsαs=0和λ1β1+λ2β式…入sβs=0B.有不全為0的數(shù)人1，入2，?：入,使λ1（ɑ1+81）+λ2（ɑ2+82）+???+λs（&）8「=0C.有不全為0的數(shù)人1，入2,….As使λ1（ɑ1-81）+λ2J-82）+…+λsQ-Bs）=0D.有不全為0的數(shù)λ1,λ2,…，λs和不全為0的數(shù)μ1,μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+???+λsɑs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0.設(shè)A；=b是一非齊次線性方程組，η1,η2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（aA.η1+η2是Ax=O的一個(gè)解η1+-1η是Ax=b的一個(gè)解2 12 2C.η1-η2是Ax=O的一個(gè)解D.2η1-η2是Ax=b的一個(gè)解.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（BA.|A|2必為1 B.∣A∣必為1C.A-1=Aτ D.A的行（列）向量組是正交單位向量組.下列矩陣中是正定矩陣的為（C）(234)6)(10 0]02-310-35)、填空題(每題4分,共20分)a3aaa11121.若1112=1,則a3aaa212221220611120J02)00=3（1.設(shè)A為三階可逆陣，A-1=2300[則A*=—(100)21021)321k?N?) .若A為mXn矩陣，則齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是R（A）＜n(0106、4.設(shè)矩陣A=1V-2108J（2A已知&=-1是它的一個(gè)特征向量，則α所對(duì)應(yīng)的特征值為?V2J1.5,若α=Gk1>與β=G-21>正交，則k=1三、計(jì)算題（每題15分，共45分）1?設(shè)矩陣A=(12V-12O］，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.3j解AB=A+2B即(A-2E)B=A，而(A-2E)(2I-；3]-1(1V-1-4-3、I5IJ所以(1B=(A-2E)-1A=1V-1-4-5

6-3](411V-12IJ1J212OJ(3-8-6]2-9-6V-2129J2.試判斷ɑ解一(-12

0給定向量組α(-2、(1](3](0)1-30-1=，αC=，αr=，ɑ=10，22，32，44V3jV4JV-LV9J?B若是，4是否為αι,\o"CurrentDocument"1 3 0 ]-3 0 -12 2 44 -1 9Jα2,α3的線性組合;(0一53-2]一1-30-10112V013-112J則求出組合系數(shù)。(10 3?01 1(1035]>0011V00-14-14JV0000J5、28(1002]>0101

0011V0000J解二所以&4=2\+%+&3，組合系數(shù)為(2,考慮α4=x1α1+x2α2+x3ɑ3，1,1).即—2X[+XG+3x?=01 2 3χ1—3x2=-12x2+2x3=43x1+4x°—XQ=9.、 1 2 3方程組有唯一解（2,1,1）T，組合系數(shù)為（2,1,1）.(1—2—10213.設(shè)矩陣A=-2[24—1326—6023334)求：（1）秩（A）；（2）A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。解對(duì)矩陣A施行初等行變換A >(1—2—102）0006—20328—2k0963—2) V(1 —2 —1 0 2)0 3 2 8 —30 0 0 6 —2、0 0 0 —21 7) V(1 —2 —1 0 2)0 3 2 8 —3=B0 0 0 3 —1、00 000)>>（1）秩（B）=3,所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）四、證明題（15分）\o"CurrentDocument"a a11 12設(shè)三階矩陣A= a