2022-2023學(xué)年江蘇省南京市高一下學(xué)期期末六校聯(lián)合體聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市高一下學(xué)期期末六校聯(lián)合體聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，若，則m的值為（

）A．－1 B．1 C． D．【答案】D【分析】由兩向量平行的坐標(biāo)表示列出等式，即可解出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?故選：D2．已知復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)的除法,即可得出,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?所以實(shí)部是.故選:C.3．甲、乙、丙、丁四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口比為，為了解某種疾病的感染情況，采用分層抽樣方法從這四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中抽取容量為n的樣本，已知樣本中甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)比乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)多20人，則樣本容量n的值是（

）A．200 B．240 C．260 D．280【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解．【詳解】甲、乙、丙、丁四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口比為，利用分層抽樣方法抽取一個(gè)樣本量為的樣本，因?yàn)闃颖局屑奏l(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)比乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人數(shù)多20人，則，解得．故選：B．4．塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)建筑.如圖，為測(cè)量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為，則塔的總高度為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】先在中利用正弦定理求出的長(zhǎng)，再在直角利用三角函數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】在中，，，則，，由正弦定理得，即，所以，得，在直角中，，則，故選：D5．從數(shù)字1，2，3，4中，無放回地抽取2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于5的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得出所有的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)，再列舉出其各位數(shù)字之和為5的兩位數(shù)，根據(jù)古典概率公式可得選項(xiàng).【詳解】?jī)晌粩?shù)共有個(gè)，其各位數(shù)字之和為5的兩位數(shù)有：14，41，23，32共4個(gè)數(shù)，所以各位數(shù)字之和等于5的概率為，故選：A.6．已知圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓，過圓錐高的中點(diǎn)且與底面平行的平面截此圓錐所得的圓臺(tái)體積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意易知圓錐的高為，母線長(zhǎng)為2，底面圓半徑為1，再由大圓錐的體積減小圓錐的體積即可得出圓臺(tái)體積.【詳解】設(shè)圓錐的高為，母線長(zhǎng)為，底面圓半徑為，則，解得：，，所以，所以圓臺(tái)體積為：，故選：A7．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件列方程組可求出和，再利用兩角差的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得，所以，故選：C8．在平行四邊形ABCD中，，，則的最小值為（

）A．－10 B．－13C． D．【答案】B【分析】設(shè)，求得，令，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，且，在中，由余弦定理可得，即，可得可得，，所以，設(shè)，可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：B.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．若，則【答案】AB【分析】利用虛數(shù)單位的意義判斷A；利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法結(jié)合模的意義判斷B；舉例說明判斷CD作答.【詳解】對(duì)于A，由，得，因此，A正確；對(duì)于B，令，則，，，即，B正確；對(duì)于C，令，，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，顯然，而，且，D錯(cuò)誤.故選：AB10．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，A表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3”，B表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，C表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，D表示事件“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．A與B互斥 B．A與C互斥C．B與C獨(dú)立 D．B與D對(duì)立【答案】BC【分析】寫出事件所包含的基本事件，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念進(jìn)行判斷ABD；求出，得到C正確.【詳解】先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，樣本空間，故事件，事件，事件，事件.A選項(xiàng)，，故A與B不互斥，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故A與C互斥，B正確；C選項(xiàng)，，故，又，，故，所以B與C獨(dú)立，C正確；D選項(xiàng)，，但，所以B與D不對(duì)立，D錯(cuò)誤.故選：BC11．已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，且該三角形有兩解，則C．若，則為等腰三角形D．若，則為銳角三角形【答案】ABD【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角及正弦定理判斷A，根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合可判斷B，由正弦定理及三角恒等變換判斷C，由兩角和的正切公式變形可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理，可知，故A正確；如圖，，，且該三角形有兩解，所以，即，故B正確；由正弦定理可得，，即，所以，因?yàn)?，所以或，即或，所以三角形為等腰或直角三角形，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，即為銳角，所以為銳角三角形，故D正確.故選：ABD12．如圖，正方體中，M，N，Q分別是AD，，的中點(diǎn)，，則下列說法正確的是（

）A．若，則平面MPNB．若，則平面MPNC．若平面MPQ，則D．若，則平面MPN截正方體所得的截面是五邊形【答案】ACD【分析】根據(jù)線線平行即可判斷A，根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得矛盾判斷B,根據(jù)線面線面垂直的性質(zhì)即可判斷C，根據(jù)平行關(guān)系，即可由線段成比例得線線平行，即可求解截面.【詳解】對(duì)于A,連接,在正方體中，可知，當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，則,所以，由于平面,平面,所以平面MPN，故A正確，對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，與點(diǎn)重合，連接交于點(diǎn),連接,若平面MPN,則平面,且平面平面,則，由于是的中點(diǎn)，則為中點(diǎn)，這顯然不符合要求，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,若平面MPQ，則,由于平面平面,又,平面,所以平面,平面,則,顯然與平面不垂直，故,則,由于為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，故，C正確，對(duì)于D，取中點(diǎn),在上取點(diǎn),使得，在棱取,使得，在棱上取由于分別為的中點(diǎn)，所以,同理連接即可得到截面多邊形，故D正確，故選：ACD三、填空題13．已知，，則.【答案】【分析】由半角公式求解.【詳解】，則，由半角公式可得.故答案為：14．已知某個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為,現(xiàn)加入數(shù)字構(gòu)成一組新的數(shù)據(jù),這組新的數(shù)據(jù)的方差為.【答案】/【分析】利用方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)原數(shù)據(jù)為,則,,加入2后,所得4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,所得4個(gè)數(shù)據(jù)的方差為.故答案為:.15．在解析幾何中，設(shè)、為直線l上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則我們把及與它平行的非零向量都稱為直線l的方向向量，把直線l垂直的向量稱為直線l的法向量，常用表示，此時(shí).若點(diǎn)，則可以把在法向量上的投影向量的模叫做點(diǎn)P到直線l的距離.現(xiàn)已知平面直角坐標(biāo)系中，，，，則點(diǎn)P到直線l的距離為.【答案】【分析】利用向量法即可求得點(diǎn)到直線的距離.【詳解】由已知得，，，所以，在直線l上的投影向量的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)P到直線l的距離.故答案為：四、雙空題16．已知三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且三個(gè)側(cè)面的面積分別是，，1，則此三棱錐的外接球的體積為；此三棱錐的內(nèi)切球的表面積為.【答案】/【分析】由題意可知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，首先求得三條側(cè)棱的棱長(zhǎng)，然后計(jì)算外接球的半徑，最后計(jì)算其體積即可；等體積法計(jì)算三棱錐內(nèi)切球的半徑，從而求出內(nèi)切球的表面積.【詳解】解：設(shè)三棱錐中，面，面，面兩兩垂直，則三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可設(shè)三條側(cè)棱的長(zhǎng)度分別為a，b，c，由題意可得：，解得，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，即，外接球的體積；設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為，由勾股定理可知：，則，則有，解得：，則表面積為：.

故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三棱錐與其外接球和內(nèi)切球的綜合問題，求其內(nèi)切球半徑的關(guān)鍵是利用等體積法，考查空間想象能力，屬于較難題.五、解答題17．某商場(chǎng)為了制定合理的停車收費(fèi)政策，需要了解顧客的停車時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）.現(xiàn)隨機(jī)抽取了該商場(chǎng)到訪顧客的100輛車進(jìn)行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)若某天該商場(chǎng)到訪顧客的車輛數(shù)為1000，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該天停車時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間上的車輛數(shù)；(2)為了吸引顧客，該商場(chǎng)準(zhǔn)備給停車時(shí)長(zhǎng)較短的車輛提供免費(fèi)停車服務(wù).若以第30百分位數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)你根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費(fèi)停車時(shí)長(zhǎng)標(biāo)準(zhǔn)的建議（數(shù)據(jù)取整數(shù)）.【答案】(1)50(2)免費(fèi)停車時(shí)長(zhǎng)為分鐘【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1列出方程，求出的頻率，從而得到樣本中停車時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間上的頻率并估計(jì)該天停車時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間上的車輛數(shù)；（2）先確定第30百分位數(shù)位于之間，列出方程，求出答案.【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1，設(shè)的頻率為，可列等式為，，所以樣本中停車時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間上的頻率為，估計(jì)該天停車時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間上的車輛數(shù)是50；（2）設(shè)免費(fèi)停車時(shí)間長(zhǎng)不超過分鐘，又因?yàn)榈念l率為，并且的頻率為，所以位于之間，則滿足，，確定免費(fèi)停車時(shí)長(zhǎng)為分鐘.18．已知，，且，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，然后求得由兩角和的正切公式可得答案；（2）結(jié)合（1），利用，由兩角和的正切公式，結(jié)合可得答案.【詳解】（1）由題意所以

所以（2）由為銳角，可得

所以19．已知中，，，，點(diǎn)D在邊BC上且滿足.

(1)用、表示，并求；(2)若點(diǎn)E為邊AB中點(diǎn)，求與夾角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可求解，（2）由向量的線性運(yùn)算表示向量，由數(shù)量積，利用夾角公式即可求解.【詳解】（1），

所以,（2）易知,所以,

又,所以,20．我校開展體能測(cè)試，甲、乙、丙三名男生準(zhǔn)備在跳遠(yuǎn)測(cè)試中挑戰(zhàn)2.80米的遠(yuǎn)度，已知每名男生有兩次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)，若第一跳成功，則等級(jí)為優(yōu)秀，挑戰(zhàn)結(jié)束；若第一跳失敗，則再跳一次，若第二跳成功，則等級(jí)也為優(yōu)秀，若第二跳失敗，則等級(jí)為良好，挑戰(zhàn)結(jié)束.已知甲、乙、丙三名男生成功跳過2.80米的概率分別是，，，且每名男生每跳相互獨(dú)立.記“甲、乙、丙三名男生在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中獲得優(yōu)秀”分別為事件A，B，C.(1)求、、；(2)求甲、乙、丙三名男生在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中恰有兩人獲得良好的概率.【答案】(1)、、；(2).【分析】（1）獲得優(yōu)秀，可以是第一跳成功，也可以是第一跳失敗第二跳成功，利用互斥事件的概率公式計(jì)算.（2）利用相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）記“甲、乙、丙三名男生第1跳成功”分別為事件A1，B1，C1，記“甲、乙、丙三名男生第2跳成功”分別為事件A2，B2，C2.記“甲、乙、丙三名男生在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中獲得“優(yōu)秀”為事件A，B，C.，

，

.，

甲、乙、丙三名男生在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中獲得優(yōu)秀的概率、、；（2）記“甲、乙、丙三名男生在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中恰有兩人獲得良好”為事件D，.

甲、乙、丙三名男生在這次跳遠(yuǎn)挑戰(zhàn)中恰有兩人獲得良好的概率.21．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合得到，利用輔助角公式得到，結(jié)合角的范圍得到；（2）法一：由（1）中，結(jié)合三角形面積公式得到，由正弦定理求出，得到面積的取值范圍；法二：由余弦定理得到，結(jié)合三角形為銳角三角形得到，從而求出，求出面積的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即；?）法一：由及（1）知的面積.由正弦定理得.由于為銳角三角形，故，.由（1）知，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，故，故，從而.因此面積的取值范圍是；法二：因?yàn)椋?，由余弦定理得，即，故，為銳角三角形，則，即，由①得，解得，由②得，解得或（舍去），綜上，所以.22．如圖，已知斜三棱柱中，平面平面，與平面所成角的正切值為，所有側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2，D是邊AC中點(diǎn).

(1)求證：∥平面；(2)求異面直線與所成的角；(3)F是邊一點(diǎn)，且，若，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接與交于點(diǎn)，連接，則可證得∥，再由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，則，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，所以即為與平面所成角，可求出，然后在中利用余弦定理得，再根據(jù)平行關(guān)系可求得結(jié)果；（3）由平面，可得，而，則平面，從而可得，然后在菱形中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，再利用向量可求得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接與交于點(diǎn)，連接，在斜三棱柱中，四邊形