2022-2023學(xué)年湖南省長沙市高一年級下冊學(xué)期第二次大練習(xí)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022—2023學(xué)年度高一第二學(xué)期第二次大練習(xí)數(shù)學(xué)時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（）A. B. C. D.2.下列說法正確的是（）A.正棱錐的各條棱長都相等B.所有的空間幾何體的表面都能展開成平面圖形C.棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點D.用一平面去截棱錐，得到兩個空間幾何體，一個是棱錐，另一個是棱臺3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.水平放置的平面四邊形ABCD的斜二測直觀圖是一個長為3，寬為的矩形，則四邊形ABCD的實際面積為（）A12 B.6 C. D.5.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間為（）A. B.C. D.6.已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則（）A.6 B. C.2 D.二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法不正確的是（）A.若直線，不共面，則，為異面直線B.若直線平面，則與內(nèi)無數(shù)條直線平行C.若直線平面，平面平面，則D.如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等10.下列命題正確的是（）A.若非零向量，，滿足，，則B.向量，共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得成立C.在中，，，，則該三角形不存在D.若，，為銳角，則實數(shù)的取值范圍是11.已知棱長為1的正方體，平面與對角線垂直，則（）．A.正方體的每條棱所在直線與平面所成角均相等B.平面截正方體所得截面面積的最大值為C.直線與平面內(nèi)任一直線所成角的正弦值的最小值為D.當(dāng)平面與正方體各面都有公共點時，其截面多邊形的周長為定值12.已知函數(shù)，定義域均為，且，．若的圖象關(guān)于直線對稱，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.2023年是全面貫徹黨的二十大精神的開局之年，某中學(xué)為了解教師學(xué)習(xí)“黨的二十大精神”的情況，采用比例分配分層隨機抽樣的方法從高一、高二、高三的教師中抽取一個容量為30的樣本，已知高一年級有教師80人，高二年級有教師72人，高三年級有教師88人，則高一年級應(yīng)抽取______人.14.現(xiàn)有一個底面半徑為、高為的圓柱形鐵料，若將其熔鑄成一個球形實心工件，則該工件的表面積為______（損耗忽略不計）．15.求“方程的解”有如下解題思路：構(gòu)造函數(shù)，其表達式為，易知函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，且，故原方程有唯一解．類比上述解題思路，不等式的解集為______．16.無字證明（proofwithoutwords）是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明數(shù)學(xué)命題，如圖是某三角恒等式的無字證明，那么該圖證明的三角恒等式為__________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖四邊形ABCD是矩形，平面BCE，，點F為線段BE的中點.（1）求證：平面ABE；（2）求證：平面ACF18.高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂A處測得這三點的俯角分別為、、，計劃沿直線BF開通穿山隧道，現(xiàn)已測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3、1、2.（1）求出線段AE的長度；（2）求出隧道CD的長度.19.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點；（2）若鈍角三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.20.如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點，，將沿著翻折，使得直線與不在同一個平面．（1）求直線與所成的角的大??；（2）在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．21.已知函數(shù)（其中在上單調(diào)遞減，點，，是函數(shù)圖象上三點，滿足．（1）求證：，，三點不共線；（2）求證：是鈍角三角形．22.已知函數(shù)，．（1）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)不斷，證明：函數(shù)有且只有一個零點，且．時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】由題意得，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，故選：D．2.下列說法正確的是（）A.正棱錐的各條棱長都相等B.所有的空間幾何體的表面都能展開成平面圖形C.棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點D.用一平面去截棱錐，得到兩個空間幾何體，一個是棱錐，另一個是棱臺【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正棱錐的定義、可知A不正確；根據(jù)球的表面不能展開成平面圖形，可知B不正確；根據(jù)棱臺的定義可知，C正確；D不正確．【詳解】正棱錐的各條棱長并不是都相等，應(yīng)該為正棱錐的側(cè)棱長都相等，故A不正確；不是所有的空間幾何體的表面都能展開成平面圖形，例如球的表面不能展開成平面圖形，B不正確；棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，故各條側(cè)棱的延長線一定交于一點，C正確；只有用一個平行于底面的平面去截棱錐，得到的兩個幾何體才能一個是棱錐，另一個是棱臺，故D不正確．故選：C．3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式得到兩個不等式的解集，根據(jù)兩個集合的包含關(guān)系可得答案.【詳解】由，可得，解得，即解集為(0，2)，又由，可得，解得，即解集為，因為集合為集合真子集，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.水平放置的平面四邊形ABCD的斜二測直觀圖是一個長為3，寬為的矩形，則四邊形ABCD的實際面積為（）A.12 B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知，先計算出該圖形斜二測直觀圖的面積，然后再根據(jù)原圖形面積S與直觀圖面積S′之間的關(guān)系換算關(guān)系，可直接求解出四邊形ABCD的實際面積.【詳解】解：由題意得，矩形的面積為．由斜二測畫法，得四邊形ABCD的實際面積為．故選：A5.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象得出函數(shù)的周期，從而可得減區(qū)間．【詳解】由題意周期是，，，所以減區(qū)間是，故選：B．6.已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】，即，即.對于A，成立.對于B，，成立.對于C，，即.故C錯誤；對于D，成立.故選：C.7.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，函數(shù)與互為反函數(shù)，求得，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)得出答案.【詳解】由題意，函數(shù)與互為反函數(shù)，則，所以，由，解得或，即函數(shù)的定義域為或，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則（）A.6 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象，再根據(jù)函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，得函數(shù)有兩個零點，一個等于，一個等于，最后根據(jù)韋達定理可得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)的圖象，經(jīng)過沿軸翻折變換，可得函數(shù)的圖象，再經(jīng)過向右平移1個單位，可得的圖象，最終經(jīng)過沿軸翻折變換，可得的圖象，如下圖：則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，則，由圖可知，當(dāng)時，有個零點，當(dāng)時，有個零點，因為函數(shù)有6個不同的零點，所以函數(shù)有兩個零點，一個等于，一個大于，又因為的最小的零點為，且，所以函數(shù)的兩個零點，一個等于，一個等于，根據(jù)韋達定理得，，即，，則．故選：B．二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法不正確的是（）A.若直線，不共面，則，為異面直線B.若直線平面，則與內(nèi)無數(shù)條直線平行C.若直線平面，平面平面，則D.如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)異面直線的定義、直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系以及等角定理進行判斷可得答案.【詳解】由異面直線的定義可得A正確；若直線平面，則內(nèi)與平行的直線有無數(shù)條，故B正確；若直線平面，平面平面，則或，故C錯誤；如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補，故D錯誤．故選：CD．10.下列命題正確的是（）A.若非零向量，，滿足，，則B.向量，共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得成立C.在中，，，，則該三角形不存在D.若，，為銳角，則實數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】A選項，根據(jù)向量的平行和共線的關(guān)系進行判斷；B選項，根據(jù)向量的共線定理進行判斷；C選項，根據(jù)正弦定理進行判斷；D選項，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合夾角的范圍計算參數(shù)范圍.【詳解】若，則共線，，則共線，由于，，是非零向量，則共線，于是，故A正確；若向量為零向量，為非零向量，則，共線時，不存在實數(shù)，使得成立，故B不正確；中，，，，由正弦定理得，解得，所以該三角形不存在，故C正確；若，，又不同時成立，則，又為銳角，則，解得，當(dāng)共線時，根據(jù)共線的充要條件：，得，說明時兩個向量不可能共線，于是．故D正確．故選：ACD．11.已知棱長為1的正方體，平面與對角線垂直，則（）．A.正方體的每條棱所在直線與平面所成角均相等B.平面截正方體所得截面面積的最大值為C.直線與平面內(nèi)任一直線所成角的正弦值的最小值為D.當(dāng)平面與正方體各面都有公共點時，其截面多邊形的周長為定值【答案】ABD【解析】【分析】本題需要利用正方體的性質(zhì)，且當(dāng)平面位置變化時，平面始終與對角線垂直入手去考慮.【詳解】如圖建立空間之間坐標(biāo)系.對于A：因平面與對角線垂直，所以平面的一個法向量為，，,,，同理,所以直線,,分別與直線所成角相等，所以直線,,與平面所成角也相等，根據(jù)正方體性質(zhì)可知，正方體的每條棱所在直線與平面所成角均相等，故A正確；對于B：如圖，點、、、、、分別為棱、、、、、的中點，則正六邊形為平面過正方體中心時截正方體所成圖形，由正方體性質(zhì)可知，當(dāng)平面由此位置向或趨近時，截面面積變小，故截面面積最大即為正六邊形的面積，其中,所以正六邊形的面積為，故B正確；對于C：直線與平面內(nèi)任一直線所成角的正弦值的最小值即為直線與平面所成角的正弦值，設(shè)直線與平面所成角為，則，故C錯誤；對于D:當(dāng)平面與正方體各面都有公共點時，截圖為六邊形，如圖陰影部分，，同理可得,故六邊形周長定值，所以D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：平面位置變化時，平面始終與對角線垂直,截面從等邊三角形到六邊形，再到三角形，熟知截圖的變化，找到其中不變的量如：平面與平面的交線始終平行與直線，從變化中的定量即規(guī)律，可解決本題.12.已知函數(shù)，的定義域均為，且，．若的圖象關(guān)于直線對稱，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】由的圖象關(guān)于直線對稱，則，結(jié)合得，推出為偶函數(shù)，結(jié)合推出，采用賦值法即可求得的值，判斷；繼而對，賦值，求得，判斷A；再推得函數(shù)的周期性，利用周期性求得的值，判斷D.【詳解】由題意知函數(shù)，的定義域均為，的圖象關(guān)于直線對稱，則，，，，故為偶函數(shù)，由，得，代入，得，令，則，，則，故B正確，C錯誤；，令，則，即，A正確；由，故，故由得，，故，是以4為周期的周期函數(shù)，由，，令，則，得，則，又，令得，得，又，故，D錯誤．故選：AB．【點睛】方法點睛：解答此類抽象函數(shù)的相關(guān)問題時，要根據(jù)題設(shè)條件推出函數(shù)具有的相關(guān)性質(zhì)，這里主要用到整體代換的方法，從而推出抽象函數(shù)具有的相關(guān)等式，推出其具有的奇偶性以及對稱性和周期性等，求函數(shù)值時，常常要采用賦值法，即令取特殊值代入求值.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.2023年是全面貫徹黨的二十大精神的開局之年，某中學(xué)為了解教師學(xué)習(xí)“黨的二十大精神”的情況，采用比例分配分層隨機抽樣的方法從高一、高二、高三的教師中抽取一個容量為30的樣本，已知高一年級有教師80人，高二年級有教師72人，高三年級有教師88人，則高一年級應(yīng)抽取______人.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)高一年級教師所占的比例抽取即可.【詳解】高一年級教師所占的比例為：，則高一年級應(yīng)抽取的教師人數(shù)為：.故答案為：10.14.現(xiàn)有一個底面半徑為、高為的圓柱形鐵料，若將其熔鑄成一個球形實心工件，則該工件的表面積為______（損耗忽略不計）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓柱的體積等于球的體積求出球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，所以該工件的表面積為.故答案為：.15.求“方程的解”有如下解題思路：構(gòu)造函數(shù)，其表達式為，易知函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，且，故原方程有唯一解．類比上述解題思路，不等式的解集為______．【答案】．【解析】【分析】引入函數(shù)，由其單調(diào)性解方程．【詳解】設(shè)，它在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，不等式，即，所以，得，解得：或，所以不等式的解集為.故答案為：16.無字證明（proofwithoutwords）是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，如圖是某三角恒等式的無字證明，那么該圖證明的三角恒等式為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積關(guān)系以及三角形的面積公式列式可得結(jié)果.【詳解】如圖，左邊的三角形的面積為，中間三角形的面積為，右邊三角形的面積為，，，即．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖四邊形ABCD是矩形，平面BCE，，點F為線段BE的中點.（1）求證：平面ABE；（2）求證：平面ACF.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得答案；（2）連接交于點，連接，由中位線定理可得，再由線面平行的判定定理可得答案.【小問1詳解】因為平面BCE，平面BCE，所以，因為，，平面，所以平面ABE；【小問2詳解】連接交于點，連接，所以點為中點，因為點F為線段BE的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.18.高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側(cè)共線的三點，在山頂A處測得這三點的俯角分別為、、，計劃沿直線BF開通穿山隧道，現(xiàn)已測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3、1、2.（1）求出線段AE的長度；（2）求出隧道CD的長度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知在△AEF中，由正弦定理即可解得AE值；（2）由已知可得∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，可求BE的值，進而可求CD＝BE﹣BC﹣DE的值．【詳解】（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，在△AEF中，由正弦定理得：，即，解得；（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在Rt△ABE中，，所以隧道長度．【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19.已知向量，，函數(shù).（1）求函數(shù)的零點；（2）若鈍角的三內(nèi)角的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）化簡得出，由可求解；（2）由可得，由正弦定理化簡得出，根據(jù)的范圍即可求出.【詳解】（1）由條件可得：，∴，所以函數(shù)零點滿足，則，得，；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，∴，，又，得，∴代入上式化簡得：，又在鈍角中，不妨設(shè)為鈍角，有，則有.∴.20.如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點，，將沿著翻折，使得直線與不在同一個平面．（1）求直線與所成的角的大??；（2）在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊前后的圖形幾何性質(zhì)結(jié)合線面垂直判定定理證得平面，從而得異面與垂直，從而得夾角大??；（2）平面公理與線面平行性質(zhì)定理可得為中點，從而可得結(jié)論.【小問1詳解】因為，是的中點，所以，故四邊形是菱形，從而，所以沿著翻折成后，，，又因為，平面，所以平面，又平面，所以，所以直線與所成的角的大小為．【小問2詳解】存在，理由如下：假設(shè)線段上是存在點，使得平面，過點作交于，連接，，如下圖，所以，所以，，，四點共面，又因為平面，平面平面，平