第一章《集合與常用邏輯用語》復(fù)習(xí)課-2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第1章《集合與常用邏輯用語》復(fù)習(xí)課一、本章知識結(jié)構(gòu)二、回顧與思考

本章我們學(xué)習(xí)了集合的有關(guān)概念、關(guān)系和運(yùn)算，還學(xué)習(xí)了充分條件、必要條件、充要條件，全稱量詞、存在量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.

這些知識在后續(xù)學(xué)習(xí)中會得到大量應(yīng)用，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).

為了有效使用集合語言表述數(shù)學(xué)的研究對象，首先應(yīng)掌握集合語言的表述方式.為此，我們先學(xué)習(xí)了集合的含義，明確了集合中元素的確定性、無序性和互異性等特征;再學(xué)習(xí)了列舉法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了研究對象的某種特征，需要先理解研究對象的性質(zhì);類比數(shù)與數(shù)的關(guān)系，我們研究了集合之間的包含關(guān)系與相等關(guān)系，這些關(guān)系是由元素與集合的關(guān)系決定的，其中集合的相等關(guān)系很重要;類比數(shù)的運(yùn)算，我們學(xué)習(xí)了集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，通過這些運(yùn)算可以得到與原有集合緊密關(guān)聯(lián)的集合，由此可以表示研究對象的某些關(guān)系，從中我們可以體會到，數(shù)學(xué)中的運(yùn)算并不局限于數(shù)的運(yùn)算，這對提升我們的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是很有意義的.在學(xué)習(xí)中，要注意“集合的含義與表示一集合的關(guān)系一集合的運(yùn)算”這個研究路徑.二、回顧與思考

常用邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是邏輯思維的基本語言，也是數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的工具，結(jié)合初中學(xué)過的平面幾何和代數(shù)知識，我們學(xué)習(xí)了常用邏輯用語，發(fā)現(xiàn)初中學(xué)過的數(shù)學(xué)定義、定理、命題都可以用常用邏輯用語表達(dá)，利用常用邏輯用語表述數(shù)學(xué)內(nèi)容、進(jìn)行推理論證，可以大大提升表述的邏輯性和準(zhǔn)確性，從而提升我們的邏輯推理素養(yǎng).

本章的學(xué)習(xí)不僅要為后續(xù)學(xué)習(xí)做好知識技能的準(zhǔn)備，更重要的是要為整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好心理準(zhǔn)備，初步形成適合高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式方法，使我們能更好地適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

請你帶著下面的問題，復(fù)習(xí)一下全章的內(nèi)容吧!二、回顧與思考

1.集合中的元素具有確定性、互異性和無序性，你能結(jié)合例子說明這些特性嗎?

2.你能用集合表示平面內(nèi)線段AB的垂直平分線嗎?結(jié)合集合的描述法談?wù)勀愕捏w會.

3.用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，可以使我們更深刻地理解數(shù)學(xué)知識。本章中，我們類比數(shù)與數(shù)的關(guān)系和運(yùn)算研究了集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算.你認(rèn)為這樣的類比對發(fā)現(xiàn)和提出集合的問題有什么意義?你能類比數(shù)的減法運(yùn)算給出集合的減法運(yùn)算嗎?

4.對給定的p和q，如何判定p是q的充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件?你能舉例說明嗎?

5.如何否定含有一個量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題?你能舉例說明嗎?三、典型例題

一、集合的綜合運(yùn)算

1.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算的綜合應(yīng)用既是高考的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn).解決集合的混合運(yùn)算時,首先弄清交、并、補(bǔ)的運(yùn)算符號,然后弄清交、并、補(bǔ)的概念.求解思路是:

一般先計(jì)算括號內(nèi)的部分，再計(jì)算其他部分.

2.有限集合混合運(yùn)算可借助Venn圖，與不等式有關(guān)的無限集的混合運(yùn)算可借助數(shù)軸.三、典型例題例1

(1)(2023全國甲卷文科)設(shè)全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4},

N={2,5}，則NU

UM=(

)

A.{2,3,5}

B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}

D.{2,3,4,5}

(2)(2023全國乙卷理科)設(shè)集合U=R，集合M={x|x<1},

N={x|-1<x<2}，則{x|x≥2}=(

)

A.

U(MUN)

B.NU

UMC.

U(M∩N)

D.MUUN三、典型例題訓(xùn)練1

(1)(2023全國乙卷文科)設(shè)全集U={0,1,2,4,6,8}，集合

M={0,4,6},

N={0,1,6}，則MUUN=(

)

A.{0,2,4,6,8}

B.{0,1,4,6,8}

C.{1,2,4,6,8}

D.U

(2)(2023全國新課標(biāo)一卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},

N={x|x2-x-6≥0}，則M∩N=(

)

A.{-2,-1,0,1}

B.{0,1,2}C.{-2}

D.{2}

解題策略

1.進(jìn)行集合運(yùn)算時,

首先看集合能否化簡,

能化簡的先化簡,再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算.

2.涉及與集合的補(bǔ)集有關(guān)的集合運(yùn)算問題,

要求出補(bǔ)集后再求解.

3.由Venn圖給出的集合運(yùn)算問題,

首先將Venn圖轉(zhuǎn)化為集合之間的運(yùn)算關(guān)系后再求解.

4.若由集合的元素性質(zhì)具有明顯的幾何意義的兩曲線構(gòu)成的集合交集問題,

可以利用解方程組的方法求解,

涉及點(diǎn)集時,

也可以利用列舉法求解.三、典型例題三、典型例題

二、含有參數(shù)的集合綜合問題

1.含有參數(shù)的集合問題是集合的基本關(guān)系或基本運(yùn)算的逆向考查,不僅要把握住包含關(guān)系的概念，還要熟練掌握交、并、補(bǔ)三大基本運(yùn)算，然后借助Venn圖或數(shù)軸加以分析,找到滿足題意的約束條件,同時對空集是任何集合的子集的要理解全面到位.

一要注意易漏空集，二要注意求出的參數(shù)滿足集合的互異性.

2.這類問題常見的分析手段就是數(shù)軸，可化抽象為直觀,所涉及的方法有分類討論法.

3.這類問題的關(guān)鍵是理解運(yùn)算對象,掌握運(yùn)算法則，選擇運(yùn)算方法,求得運(yùn)算結(jié)果，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).三、典型例題例2(1)(2023全國新課標(biāo)二卷)設(shè)集合A={0,-a}，B={1,a-2,2a-2},

若AB，則a=(

)

A.2B.1C.

D.-1

(2)(2020全國Ⅰ卷)設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且

A∩B={x|-2≤x≤1},則a等于()A.-4B.-2 C.2 D.4三、典型例題訓(xùn)練2(1)(2021寧夏高三聯(lián)考)已知集合A={1,a2}(a∈R),

B={-1,0,1},若A∪B=B,則A中元素的和為()

A.0 B.1

C.2 D.-1

(2)已知集合M={x|x2-3x+2≤0},N={x|y=

},若M∩N=M,則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.a>1B.a≥1C.a<1D.a≤1

解題策略

求解含參數(shù)的集合運(yùn)算問題,主要有以下方法：

(1)涉及離散的集合運(yùn)算求參數(shù),

要注意所求參數(shù)是否滿足集合中元素的性質(zhì).

(2)與集合的運(yùn)算性質(zhì)有關(guān)的集合運(yùn)算,

要注意將運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系.

(3)涉及與連續(xù)的數(shù)集有關(guān)的集合運(yùn)算,

要注意借助數(shù)軸轉(zhuǎn)化為與參數(shù)有關(guān)的不等式(組),

此時要注意集合端點(diǎn)的取值.三、典型例題三、典型例題

三、充分條件與必要條件

1.充分條件、必要條件和充要條件是常用的邏輯用語.準(zhǔn)確判斷條件類型的前提是清楚的理解充分條件、必要條件的定義.一般地，"若p，則q"為真命題,是指由p通過推理可以得出q.這時,我們就說，p是q的充分條件，q是p的必要條件；從定義中得知,弄清p與q的推斷關(guān)系也是重中之重.

2.在判斷p與q的關(guān)系時，可以結(jié)合現(xiàn)有的定理、公式、知識，加上基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算，借助“小推大”這樣一個原則，準(zhǔn)確找出二者的推斷關(guān)系，再結(jié)合充分條件.

必要條件的定義給出條件類型.三、典型例題例3(1)(2019浙江)若a>0,b>0,則“a+b≤4”是“ab≤4”的(

)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)不等式x->0成立的一個充分不必要條件是()

A.-1<x<0或x>1

B.x<-1或0<x<1C.x>-1 D.x>1三、典型例題訓(xùn)練3(1)(2019上海)若a、b∈R,則“a2>b2”是“|a|>|b|”的(

)

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分又非必要條件

(2)使a>0,

b>0成立的一個必要不充分條件是()

A.a+b>0

B.a-b>0

C.ab>1

D.

>1

解題策略

判斷充分、必要條件的3種方法：

(1)定義法:

根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷,適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法:

根據(jù)p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷,多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題.

(3)數(shù)形結(jié)合法:

充要條件的判定問題中,若給出的條件與結(jié)論之間有明顯的幾何意義,且可以作出滿足條件的幾何圖形,則可作出其幾何圖形后利用數(shù)形結(jié)合思想求解.三、典型例題

判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向,要注意“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的區(qū)別,要正確理解“p的一個充分不必要條件是q”的含義.注意三、典型例題

四、全稱量詞和存在量詞

1.掌握全稱量詞的種類和存在量詞的種類,并能加以區(qū)分從數(shù)學(xué)遇輯的角度.用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鏊季S,理解帶有全稱量詞或存在量詞的語句的含義是準(zhǔn)確解答此類問題的先決條件.

2.正確寫出這兩類命題的否定的同時，認(rèn)識到含有一個量詞的全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，含有一個量詞的存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

3.理解全稱量詞的語句與存在量詞的語句之間互補(bǔ)的關(guān)系.利用這種補(bǔ)集的思想，可以解決“正難則反”的問題.

4.理解使用邏輯用語表達(dá)數(shù)學(xué)對象、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的方法,體會邏輯用語在表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和論證數(shù)學(xué)結(jié)論中的作用，學(xué)會使用集合和邏輯語言表達(dá)和交流數(shù)學(xué)問題，提升交流的邏輯性和準(zhǔn)確性.三、典型例題例4(1)(2015全國Ⅰ卷)命題“?n∈N，n2>2n”的否定為()

A.?n∈N，n2>2nB.?n∈N，n2≤2n

C.?n∈N，n2≤2nD.?n∈N，n2=2n

(2)命題“?x∈R,x2+x≥0”的否定是()

A.?x0∈R,x02+x0≤0

B.?x0∈R,x02+x0<0

C.?x∈R,x2+x≤0

D.?x∈R,x2+x<0三、典型例題訓(xùn)練4(1)命題“?x0∈R,1<y≤2”的否定形式是(

)A.?x∈R,1<y≤2B.?x0∈R，1<y≤2C.?x0∈R，y≤1或y>2D.?x∈R，y≤1或y>2

(2)已知p:

存在x0∈R,mx02+1≤0，q:

任意x∈R,x2+mx+