實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書誤差模板

資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請聯(lián)系改正或者刪除。實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書_誤差一、誤差的來源在運(yùn)用計算方法解決實(shí)際問題的過程中,會出現(xiàn)各種各樣的誤差,必須注重誤差分析.否則,一種合理的計算也可能得出錯誤的結(jié)果.例1用差商求在處導(dǎo)數(shù)的近似值.(1)取和,用手工計算,取五位數(shù)字計算;(2)取,,=0.000000000000001和=0.0000000000000001分別用MATLAB軟件計算,取十五位數(shù)字計算;(3)比較以上的運(yùn)算結(jié)果,說明是否越小則計算結(jié)果越準(zhǔn)確.解根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,能夠用差商求在處導(dǎo)數(shù)的近似值.從理論上講,越小則計算結(jié)果越準(zhǔn)確.如果用手工計算,取五位數(shù)字計算.當(dāng)時,得0.3280,與導(dǎo)數(shù)的精確值比較,這項計算還是可取的.可是當(dāng)時,得,算出的結(jié)果反而毫無價值.如果應(yīng)用MATLAB軟件計算,取十五位數(shù)字計算,結(jié)果就完全不同了.在MATLAB工作窗口輸入下面程序>>formatlongg;a=3;h=0.1;y=log(a+h)-log(a);yx=y/h運(yùn)行后得yx=0.91將此程序中改為0.0001,運(yùn)行后得yx=0.85后者比前者好.再取h=0.000000000000001,運(yùn)行后得yx=0.06不如前者好.取h=0.0000000000000001,運(yùn)行后得yx=0算出的結(jié)果反而毫無價值.例2計算的近似值.解泰勒級數(shù),取,得.(1.1)這是一個無限過程,計算機(jī)無法求到精確值.只能在(1.1)取有限項時計算,再估計誤差.如果取有限項作為的值必然會有誤差,根據(jù)泰勒余項定理可知其截斷誤差為.如果取(1.1)的前九項,輸入程序>>n=8;s=1;S=1;fork=1:ns=s*k;S=S+1/s,ends,S,R=3/(s*(n+1))或>>S1=1+1+1/2+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+1/(1*2*3*4*5)+1/(1*2*3*4*5*6)+1/(1*2*3*4*5*6*7)+1/(1*2*3*4*5*6*7*8),R1=3/(1*2*3*4*5*6*7*8*9)運(yùn)行后結(jié)果S=R=2.7278.2678e-006因?yàn)榻財嗾`差為因此e的近似值2.71828.二、誤差和有效數(shù)字例1取作為的四舍五入近似值時,求其絕對誤差.解在MATLAB工作窗口輸入程序>>jueduwucha=exp(1)-2.71828運(yùn)行后輸出結(jié)果為jueduwucha=1.828459045505326e-006例2計算d的近似值,并確定其絕對誤差和相對誤差.解因?yàn)楸环e函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),故用泰勒級數(shù)求之.,(1.1)這是一個無限過程,計算機(jī)無法求到精確值.可用(1.1)的前四項代替被積函數(shù),得d)d==.根據(jù)泰勒余項定理和交錯級數(shù)收斂性的判別定理,得到絕對誤差=WU,在MATLAB命令窗口輸入計算程序如下:symsxf=1-x^2/(1*2*3)+x^4/(1*2*3*4*5)-x^6/(1*2*3*4*5*6*7)y=int(f,x,0,pi/2),y1=double(y)y11=pi/2-(pi/2)^3/(3*3*2)+(pi/2)^5/(5*5*4*3*2)-(pi/2)^7/(7*7*6*5*4*3*2)infd=double(inf),inf=int(sin(x)/x,x,0,pi/2)WU=(pi/2)^9/(9*9*8*7*6*5*4*3*2),R=infd-y11因?yàn)檫\(yùn)行后輸出結(jié)果為:1.37076216815449,=1.37074466418938,1.75039651049147e-005,WU=1.782679830970664e-005.因此,的絕對誤差為,故d.的相對誤差為<0.0073%.三、數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題一個數(shù)值問題的解決,往往要經(jīng)過多次運(yùn)算.每一步運(yùn)算都可能產(chǎn)生誤差,在重復(fù)多次計算的過程中,必然產(chǎn)生誤差的傳播和積累.顯然,當(dāng)誤差積累偏大時,會使計算結(jié)果失真.因此,在每一步計算中,都應(yīng)該防止產(chǎn)生誤差升級的現(xiàn)象.例1求數(shù)的近似值.解(1)直接用MATLAB命令>>x=(7^15)*(sqrt(1+8^(-19))-1)運(yùn)行后輸出結(jié)果x=0問題出現(xiàn)在兩個相近的數(shù)與相減時,計算機(jī)運(yùn)行程序>>sqrt(1+8^(-19))-1運(yùn)行后輸出結(jié)果ans=0由于計算機(jī)硬件只支持有限位機(jī)器數(shù)的運(yùn)算,因此在計算中可能引入和傳播舍入誤差.因?yàn)橛行?shù)字的嚴(yán)重?fù)p失,導(dǎo)致輸出的結(jié)果為0,計算機(jī)不能再與數(shù)繼續(xù)進(jìn)行真實(shí)的計算,因此,最后輸出的結(jié)果與的精確值不符.(2)如果化為,再用MATLAB命令>>x=(7^15)*((8^(-19))/(sqrt(1+8^(-19))+1))運(yùn)行后輸出結(jié)果x=1.6471e-005這是因?yàn)榛癁楹?計算機(jī)運(yùn)行程序>>x=(8^(-19))/(sqrt(1+8^(-19))+1)運(yùn)行后的結(jié)果為x=3.4694e-018由于有效數(shù)字的損失甚少,因此運(yùn)算的結(jié)果再與繼續(xù)計算,最后輸出的結(jié)果與的精確值相差無幾.例2求數(shù)的近似值.解(1)直接用MATLAB程序>>x=30;x1=sqrt(x^2-1)運(yùn)行后輸出結(jié)果x1=29.9833輸入MATLAB程序>>x=30;x1=29.9833;y=log(x-x1)運(yùn)行后輸出結(jié)果y=-4.0923(2)因?yàn)橹械暮艽?如果采用倒數(shù)變換法,即.輸入MATLAB程序>>x=30;y=-log(x+sqrt(x^2-1))運(yùn)行后輸出結(jié)果y=-4.0941(3)輸入MATLAB程序>>x=30;y=log(x-sqrt(x^2-1