一輪復(fù)習(xí) 7 平面解析幾何

[歸納·知識(shí)整合]1．直線(xiàn)的傾斜角與斜率

(1)直線(xiàn)的傾斜角①一個(gè)前提：直線(xiàn)l與x軸

；一個(gè)基準(zhǔn)：取

作為基準(zhǔn)；兩個(gè)方向：x軸正方向與直線(xiàn)l向上的方向．②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定：它的傾斜角為

.③傾斜角的取值范圍為

．

(2)直線(xiàn)的斜率①定義：若直線(xiàn)的傾斜角θ不是90°，則斜率k=

.②計(jì)算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線(xiàn)不垂直于x軸，則k＝.相交x軸0°[0，π)tanα[探究]

1.直線(xiàn)的傾角θ越大，斜率k就越大，這種說(shuō)法正確嗎？2．兩條直線(xiàn)的斜率與它們平行、垂直的關(guān)系[探究]

2.兩條直線(xiàn)l1，l2垂直的充要條件是斜率之積為－1，這句話(huà)正確嗎？

提示：不正確，當(dāng)一條直線(xiàn)與x軸平行，另一條與y軸平行時(shí)，兩直線(xiàn)垂直，但一條直線(xiàn)斜率不存在．3．直線(xiàn)方程的幾種形式名稱(chēng)條件方程適用范圍點(diǎn)斜式斜率k與點(diǎn)(x0，y0)_______________不含直線(xiàn)x＝x0斜截式斜率k與截距b___________不含垂直于x軸的直線(xiàn)y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b名稱(chēng)條件方程適用范圍兩點(diǎn)式兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)不含直線(xiàn)x＝x1(x1＝x2)和直線(xiàn)y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)截距式截距a與b不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線(xiàn)都適用Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)[自測(cè)·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)若直線(xiàn)x＝2的傾斜角為α，則α(

)答案：C

2．(教材習(xí)題改編)過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線(xiàn)的斜率等于1，則m的值為

(

)A．1

B．4C．1或3 D．1或4答案：A

3．過(guò)兩點(diǎn)(0,3)，(2,1)的直線(xiàn)方程為

(

)A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0答案：B

4．直線(xiàn)l的傾斜角為30°，若直線(xiàn)l1∥l，則直線(xiàn)l1的斜率k1＝________；若直線(xiàn)l2⊥l，則直線(xiàn)l2的斜率k2＝________.5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三點(diǎn)共線(xiàn)，則x等于________．答案：－36．若直線(xiàn)l與直線(xiàn)y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線(xiàn)l的斜率為(

)答案：B

直線(xiàn)的平行與垂直的判斷及應(yīng)用3．已知l1的傾斜角為45°，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)m＝________.答案：－64．已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)，B(m,4)的直線(xiàn)與直線(xiàn)2x＋y－1＝0平行，則m的值為_(kāi)_______．答案：－8易誤警示——有關(guān)直線(xiàn)方程中“極端”情況的易誤點(diǎn)[典例]

(2013·常州模擬)過(guò)點(diǎn)P(－2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____________________．[答案]

x＋y－1＝0或3x＋2y＝01．因忽略截距為“0”的情況，導(dǎo)致求解時(shí)漏掉直線(xiàn)方程3x＋2y＝0而致錯(cuò)．所以，可以借助幾何法先判斷，再求解，避免漏解．

2．在選用直線(xiàn)方程時(shí)，常易忽視的情況還有：

(1)選用點(diǎn)斜式與斜截式時(shí)忽視斜率不存在的情況；

(2)選用兩點(diǎn)式方程時(shí)忽視與x軸垂直的情況及與y軸垂直的情況．[歸納·知識(shí)整合]交點(diǎn)坐標(biāo)(1)若方程組有唯一解，則兩條直線(xiàn)

，此解就是

；相交交點(diǎn)的坐標(biāo)(2)若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)

，此時(shí)兩條直線(xiàn)

，反之，亦成立．無(wú)公共點(diǎn)平行[探究]

1.如何用兩直線(xiàn)的交點(diǎn)判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系？提示：當(dāng)兩條直線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩直線(xiàn)相交；沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，兩條直線(xiàn)平行，有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩條直線(xiàn)重合．2．距離點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝

點(diǎn)P0(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝兩條平行線(xiàn)Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝[探究]

1.使用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和兩條平行線(xiàn)間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？

提示：使用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式時(shí)要注意將直線(xiàn)方程化為一般式．使用兩條平行線(xiàn)間距離公式時(shí)，要將兩直線(xiàn)方程化為一般式且x、y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．[自測(cè)·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)原點(diǎn)到直線(xiàn)x＋2y－5＝0的距離是(

)答案：D

2．點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,4)，則AB的長(zhǎng)為

(

)A．10 B．5C．8 D．6解析：設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)．答案：A

答案：B

3．若三條直線(xiàn)2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一點(diǎn)，則b＝

(

)答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝05．點(diǎn)(2,3)關(guān)于直線(xiàn)x＋y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是________．答案：(－4，－3)

[例1]

經(jīng)過(guò)直線(xiàn)l1：x＋y＋1＝0與直線(xiàn)l2：x－y＋3＝0的交點(diǎn)P，且與直線(xiàn)l3：2x－y＋2＝0垂直的直線(xiàn)l的方程是________．[歸納·知識(shí)整合]1．圓的定義

(1)在平面內(nèi)，到

的距離等于

的點(diǎn)的軌跡叫做圓．

(2)確定一個(gè)圓的要素是

和

．定點(diǎn)定長(zhǎng)圓心半徑2．圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程①兩個(gè)條件：圓心(a，b)，

；②標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.半徑r(2)圓的一般方程①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②方程表示圓的充要條件為：

；③圓心坐標(biāo)，半徑r＝.D2＋E2－4F>0[探究]

1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圓嗎？

提示：不一定．只有當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，上述方程才表示圓．2．如何實(shí)現(xiàn)圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化？

提示：一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化，可用下圖表示：3．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)理論依據(jù)：

與

的距離與半徑的大小關(guān)系．(2)三個(gè)結(jié)論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)①

?點(diǎn)在圓上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)．點(diǎn)圓心(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2[自測(cè)·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是

(

)A．(2,3)

B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析：圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)．答案：D

2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

(

)A．－1<k<4 B．－4<k<1C．k<－4或k>1 D．k<－1或k>4解析：由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.答案：D

答案：A3．若點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，則a的取值范圍是

(

)解析：∵點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，∴(2a)2＋a2<5，解得－1<a<1.4．以線(xiàn)段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為

(

)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8答案：B

5．(教材習(xí)題改編)經(jīng)過(guò)圓(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圓心，且與直線(xiàn)2x＋y＝0垂直的直線(xiàn)方程是______________．答案：x－2y－3＝0求圓的方程[例1]

(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線(xiàn)2x－y－3＝0上的圓的方程為_(kāi)_____________．

(2)已知圓C的圓心是直線(xiàn)x－y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線(xiàn)x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為_(kāi)_______．[答案]

(1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)

(2)(x＋1)2＋y2＝21．求下列圓的方程：(1)圓心在直線(xiàn)y＝－4x上，且與直線(xiàn)l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；(2)過(guò)三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．2．已知點(diǎn)M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)M的最短弦所在直線(xiàn)的方程是________．答案：x＋y－1＝0[歸納·知識(shí)整合]1．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系設(shè)直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，設(shè)d為圓心(a，b)到直線(xiàn)l的距離，聯(lián)立直線(xiàn)和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交相切相離d<rΔ>0d＝rΔ＝0d>rΔ<0[探究]

1.在求過(guò)一定點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)注意什么？

提示：應(yīng)首先判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線(xiàn)只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線(xiàn)應(yīng)有兩條；若點(diǎn)在圓內(nèi)，則切線(xiàn)不存在．方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離________________相外切______________________相交__________________________________相內(nèi)切___________________________內(nèi)含_________________________d>r1＋r2無(wú)解d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解[探究]

2.若兩圓相交時(shí)，公共弦所在直線(xiàn)方程與兩圓的方程有何關(guān)系？

提示：兩圓的方程作差，消去二次項(xiàng)得到關(guān)于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直線(xiàn)方程．[自測(cè)·牛刀小試]答案：A

1．直線(xiàn)l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是

(

)A．相交B．相切C．相離

D．不確定2．(2012·山東高考)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為

(

)A．內(nèi)切

B．相交C．外切

D．相離答案：B

答案：A

答案：D

4．已知圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－6x＋6y＋14＝0關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l的方程是

(

)A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝05．(2012·重慶高考)設(shè)A，B為直線(xiàn)y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝

(

)解析：因?yàn)橹本€(xiàn)y＝x過(guò)圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)，所以所得弦長(zhǎng)|AB|＝2.答案：D

1．直線(xiàn)l：y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y－3＝0的位置關(guān)系是________．解析：將x2＋y2－2y－3＝0化為x2＋(y－1)2＝4.由于直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直線(xiàn)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，從而直線(xiàn)l與圓相交．答案：相交有關(guān)圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題

[例2](2012·北京高考)直線(xiàn)y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．—————————————————求圓的弦長(zhǎng)的常用方法答案：D

5．已知點(diǎn)M(3,1)，直線(xiàn)ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過(guò)M點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程；(2)若直線(xiàn)ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值．解：(1)圓心C(1,2)，半徑為r＝2，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，方程為x＝3.由圓心C(1,2)到直線(xiàn)x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時(shí)，直線(xiàn)與圓相切．當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y－1＝k(x－3)，[歸納·知識(shí)整合]1．橢圓的定義

(1)滿(mǎn)足以下條件的點(diǎn)的軌跡是橢圓①在平面內(nèi)；②與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之

等于常數(shù)；③常數(shù)大于

.(2)焦點(diǎn)：兩定點(diǎn)．

(3)焦距：兩

間的距離．

[探究]

1.在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡如何？

提示：當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是不存在的．和|F1F2|焦點(diǎn)2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)－aa－bbb－bax軸、y軸(0,0)－a(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2a2b2c(0,1)a2－b2[探究]

2.橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？[自測(cè)·牛刀小試]答案：D

答案：AA．6 B．5C．4 D．3解析：根據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長(zhǎng)為4a＝16，故所求的第三邊的長(zhǎng)度為16－10＝6.3．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為

(

)答案：A

答案：C

答案：4橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程答案：3答案：B

[歸納·知識(shí)整合]1．拋物線(xiàn)的定義滿(mǎn)足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)：

(1)在平面內(nèi)；

(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F距離與到定直線(xiàn)l的距離

；

(3)定點(diǎn)

定直線(xiàn)上．

[探究]

1.當(dāng)定點(diǎn)F在定直線(xiàn)l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

提示：當(dāng)定點(diǎn)F在定直線(xiàn)l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)F且與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)．相等不在2．拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)上任意一點(diǎn)M(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0有何關(guān)系？若拋物線(xiàn)方程為x2＝2py(p>0)，結(jié)果如何？2．拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離圖形1[自測(cè)·牛刀小試]1．設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－2，則拋物線(xiàn)的方程是

(

)A．y2＝－8x

B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x解析：拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－2知p＝4，且開(kāi)口向右，故拋物線(xiàn)方程為y2＝8x.答案：C

2．已知d為拋物線(xiàn)y＝2px2(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，則pd等于

(

)答案:D

4．若點(diǎn)(3,1)是拋物線(xiàn)y2＝2px的一條弦的中心，且這條弦所在直線(xiàn)的斜率為2，則p＝________.答案：21．(1)若點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝－1的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡方程是________．

(2)過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|等于_______．解析：(1)由題意可知點(diǎn)P到直線(xiàn)y＝－3的距離等于它到點(diǎn)(0,3)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以y＝－3為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，且p＝6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝12y.(2)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－1，則AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3－(－1)＝4.由拋物線(xiàn)的定義得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y

(2)8拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)[例2]

(1)拋物線(xiàn)y2＝24ax(a>0)上有一點(diǎn)M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點(diǎn)的距離是5，則拋物線(xiàn)的方程為(

)A．y2＝8x

B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x(2)設(shè)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)．若線(xiàn)段FA的中點(diǎn)B在拋物線(xiàn)上，則B到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)_______．2．已知直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)，則△ABP的面積為

(

)A．18B．24C．36D．48答案：C

3．已知直線(xiàn)y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線(xiàn)C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，求k的值．

[典例]

(2012·陜西高考)右圖是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬____________米．1．拋物線(xiàn)y＝x2上一點(diǎn)到直線(xiàn)2x－y－4＝0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是

(

)3．如圖，直線(xiàn)l：y＝x＋b與拋物線(xiàn)C：x2＝4y相切于點(diǎn)為A.(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程．(2)由(1)知b＝－1，方程(*)為x2－