極值點(diǎn)偏移問題（解析版）

極值點(diǎn)偏移問題思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對(duì)稱性，極值點(diǎn)偏移問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中，這類題往往對(duì)思維要求較高，過程較為煩瑣，計(jì)算量色．1.已知函數(shù)f(x)圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是極值點(diǎn)x0，若f(x)＝c的兩根的中點(diǎn)剛好滿足eq\f(x1＋x2,2)＝x0，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是說極值點(diǎn)沒有偏移，此時(shí)函數(shù)f(x)在x＝x0兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，如圖(1)所示．2.若eq\f(x1＋x2,2)≠x0，則極值點(diǎn)偏移，此時(shí)函數(shù)f(x)在x＝x0兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢不同，如圖(2)(3)所示．圖(1)(無偏移，左右對(duì)稱，二次函數(shù))若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝2x0圖(2)(左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2>2x0圖(3)(左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2<2x0

母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)考法1對(duì)稱構(gòu)造法求極值點(diǎn)偏移問題【例1】(2022·啟東模擬)已知函數(shù)，若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、．證明：【解題指導(dǎo)】由→令→求導(dǎo)→由的單調(diào)性→函數(shù)求導(dǎo)→分析的單調(diào)性→得到結(jié)論【解析】由，得，令，則，由，得；由，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于、是方程的實(shí)根，不妨設(shè)，【技巧】不妨設(shè)，（只要證明一種情況即可）要證，只要證．由于在單調(diào)遞減，故只要證，由于，故只要證，令，【技巧】對(duì)稱構(gòu)造則，因?yàn)椋?，，所以，即，所以，所以在上為增函?shù)．所以，即有成立，所以．【例2】（2022·黑龍江·鶴崗一中高三期末）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.【解題指導(dǎo)】→函數(shù)求導(dǎo)→分析的單調(diào)性→得到結(jié)論【解析】由題意，假設(shè)，要證明，只需證明.只需證，又.即只需證，構(gòu)造函數(shù).【卡殼點(diǎn)】對(duì)稱構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)，所以在單調(diào)遞減.，即成立，即所以原命題成立.【解題技法】對(duì)稱變換求極值點(diǎn)偏移的三步驟第一步：求導(dǎo)，獲得的單調(diào)性,極值情況,作出的圖像,由得,的取值范圍；第二步：構(gòu)造輔助函數(shù)（對(duì)結(jié)論,構(gòu)造；對(duì)結(jié)論,構(gòu)造）,求導(dǎo),限定范圍（或的范圍）,判定符號(hào),獲得不等式；第三步：代入（或）,利用及的單調(diào)性證明最終結(jié)論．【跟蹤訓(xùn)練】（2022·山東省青島二中高三模擬）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【解析】（1）由得，令，，由得，函數(shù)在單調(diào)遞增，由得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值同時(shí)也是最小值，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，則要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（2）證明：，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，由圖象知，且，不妨設(shè)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為增函數(shù)，，即，即，，，，由（1）知，在上為減函數(shù)，，即．考法2消參減元法求極值點(diǎn)偏移問題【例3】已知函數(shù),為常數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，試證明：【解題指導(dǎo)】由函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2→lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0→→轉(zhuǎn)化為證lnx1+lnx2＞2→lnx1+lnx2＝a（x1+x2）→證明（x1＞x2）→換元后利用導(dǎo)數(shù)得到證明．【解析】不妨設(shè),∵,∴,∴,欲證明,即證.∵,∴即證,∴原命題等價(jià)于證明,即證：,令,【卡殼點(diǎn)】利用參數(shù)作為媒介消參，換元后構(gòu)造新函數(shù)構(gòu)造，在上單調(diào)遞增，又（1），（1），，即．【例4】（2022屆廣東省普寧市高三期中）已知函數(shù),存在,有成立,證明：．【解題指導(dǎo)】由→→令→轉(zhuǎn)化為證lnx1+lnx2＞2→lnx1+lnx2＝a（x1+x2）→證明（x1＞x2）→換元后利用導(dǎo)數(shù)得到證明．【解析】設(shè),由,∴,即．令,,則,即該函數(shù)在單調(diào)遞增,∴,即,∴,∴．【點(diǎn)撥】注意要證,只需證明,令,即,只需證明,設(shè),則在上,【卡殼點(diǎn)】利用參數(shù)作為媒介消參，換元后構(gòu)造新函數(shù)∴在上單調(diào)遞減,,即成立,∴,得證.【解題技法】含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題,在原有的兩個(gè)變?cè)幕A(chǔ)上,又多了一個(gè)參數(shù),故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù),從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介,構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).由于可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn),也是方程的實(shí)根,所以有些與零點(diǎn)或方程實(shí)根有關(guān)的問題可以利用求解極值點(diǎn)偏移問題的方法去解決.【跟蹤訓(xùn)練】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，．證明：．【解析】由題意得，令，兩式相除得，變形得，欲證，即證，即證，記，，故在上單調(diào)遞減，從而，即，所以，得證．考法3比（差）值換元法求極值點(diǎn)偏移問題【例5】已知函數(shù)，如果，且．證明：．【解題指導(dǎo)】函數(shù)求導(dǎo)→函數(shù)的單調(diào)性→由→→令→→→→函數(shù)→利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值→得到結(jié)論.【解析】由題意，函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，得，化?jiǎn)得…①，不妨設(shè)，可得，令，則，代入①式，可得，解得，則，故要證，即證，又因?yàn)?，等價(jià)于證明：…②，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，，從而也在上單調(diào)遞增，，即證②式成立，也即原不等式成立．【例5】（2022·山東棗莊滕州一中高三模擬）已知f(x)＝xlnx－eq\f(1,2)mx2－x，若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求證：x1x2＞e2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．【解題指導(dǎo)】f(x)求導(dǎo)→極值點(diǎn)為→→→→→→可證得結(jié)論.【解析】，在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且

且，即設(shè)，則要證，即證只需證明，即證明設(shè)，則則在上單調(diào)遞增，即

【解題技法】比(差)值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)之比(差)作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值或差值(一般用t表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問題．【跟蹤訓(xùn)練】（2022屆黑龍江省大慶市高三二模）已知函數(shù)，若有兩個(gè)相異零點(diǎn),求證：.【解析】因?yàn)橛袃蓚€(gè)相異零點(diǎn),,由（1）可知,,不妨設(shè),因?yàn)?,所以,,所以,要證,即證,等價(jià)于證明,而,所以等價(jià)于證明,也就是.（*）令,則,于是欲證（*）成立,等價(jià)于證明成立,設(shè)函數(shù),求導(dǎo)得,所以函數(shù)是上的增函數(shù),所以,即成立,所以成立.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)討論在上的單調(diào)性；(2)若時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，求證：．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2）令，原不等式即證，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)通過單調(diào)性證明.【詳解】（1）由題意得．因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，則．①若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；②若，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：方程，即，因?yàn)?，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根，，令，，則關(guān)于t的方程也有兩個(gè)實(shí)根，，且，要證，即證，即證，即證，由已知，所以，整理可得，不妨設(shè)，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故原不等式成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.2．（2023·遼寧阜新·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)若時(shí)，求的最值；(2)若函數(shù)，且為的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)法求最值；（2）由導(dǎo)數(shù)法說明單調(diào)性及，則，則轉(zhuǎn)為證，最后再構(gòu)造函數(shù)證明即可.【詳解】（1），，，，所以當(dāng)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增.所以在處有唯一極小值，即最小值，為，無極大值，即無最大值.（2）證明：，令因?yàn)?，所以單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，所以.因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以，且.所以在、，，單調(diào)遞增；在，，單調(diào)遞減；因?yàn)?，則，則，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，因?yàn)樵?，單調(diào)遞減，所以.所以要證，只需證，即，令，令.所以在單調(diào)遞增，，所以在單調(diào)遞增，，所以，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題，先由導(dǎo)數(shù)法說明極值點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合和函數(shù)單調(diào)性，將不等式放縮，再構(gòu)造函數(shù)由導(dǎo)數(shù)法證明即可.3．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)，分類討論通過判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定函數(shù)單調(diào)性.（2）對(duì)分類討論，求得有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍，及的范圍，構(gòu)造函數(shù)，研究在上的單調(diào)性，可得，又，及的單調(diào)性可得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：時(shí)，由（1）知至多有一個(gè)零點(diǎn).時(shí)，由（1）知當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，即，故沒有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，即，又，由（1）知在上有一個(gè)零點(diǎn).又，由（1）知在有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為不妨設(shè)，則，且，令，則，由于（且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，又，所以，即，又，所以，又由于，且在上單調(diào)遞增，所以即.【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題是根據(jù)極值點(diǎn)的偏移情況，即極值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異構(gòu)造關(guān)于其中一個(gè)極值點(diǎn)的一元差函數(shù)（或比函數(shù)），然后通過探究該函數(shù)的單調(diào)性解決問題。4．（2022·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知，(1)不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，求證：.【分析】（1）方法一：不等式變形得到，，構(gòu)造，求導(dǎo)后利用根的判別式進(jìn)行分類討論，求出的取值范圍；方法二：同樣不等式變形為，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后對(duì)導(dǎo)函數(shù)變形為，結(jié)合基本不等式，分與兩種情況討論，求出的取值范圍；（2）求導(dǎo)后，轉(zhuǎn)化為是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，記，求導(dǎo)后，研究其單調(diào)性及圖象特征得到，得到，在第一問的基礎(chǔ)上，取，得到，將分別代入，變形得到，，從而證明出結(jié)論.（1）方法一：當(dāng)時(shí)，不等式兩邊同除以得：，，記，則，①當(dāng)即時(shí)，則，所以在上遞增，滿足要求，②當(dāng)時(shí)，則在上遞增，滿足要求③當(dāng)時(shí)，令得，所以在上遞減，與題設(shè)不符，舍去，綜上，的取值范圍為；方法二：化為，，記，則①當(dāng)時(shí)，由基本不等式可知：則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以在上遞增，滿足要求；②當(dāng)時(shí)，令得，所以在上遞減，此時(shí)與題設(shè)不符綜上，的取值范圍為；（2）定義域?yàn)?，，令得，由題意，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，記，則，令得：，令，，故在上遞增，在上遞減，因?yàn)?，又，且?dāng)時(shí)，恒成立，所以，則，由（1）取，則時(shí)，，又代入，并整理得，，同理，，所以.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)處理極值點(diǎn)偏移問題，通常構(gòu)造差函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，圖象特征，從而確定兩根的范圍，結(jié)合單調(diào)性，證明出不等式，也可以根據(jù)函數(shù)特征將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題進(jìn)行求解.5．（2022·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明；(2)若存在極值點(diǎn)，且對(duì)任意滿足的，都有，求a的取值范圍．【分析】（1）利用切線放縮可得，且等號(hào)不同時(shí)成立，則結(jié)論可證；（2）多次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系轉(zhuǎn)化問題為，再由即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，設(shè)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，且等號(hào)不同時(shí)成立，所以；（2）函數(shù)，，若存在極值點(diǎn)，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，不妨設(shè)，若，則；若，由可得，則，所以，即對(duì)恒成立，令，則，則，設(shè)，則，，令，，則，，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，存在，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，，，不符合題意；所以，由單調(diào)遞增可得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是通過多次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系轉(zhuǎn)化不等關(guān)系.6．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中a，b為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，現(xiàn)有如下三個(gè)命題：①；②；③；請(qǐng)從①②③中任選一個(gè)進(jìn)行證明．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【分析】（1）分，討論，當(dāng)時(shí)，求的最小值，根據(jù)可得；（2）將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，先利用導(dǎo)數(shù)研究?jī)蓚€(gè)零點(diǎn)的范圍，然后由，，作商取對(duì)數(shù)得.若選①，令，構(gòu)造函數(shù)，若選②，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)偏移問題的方法可證；若選③，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可證.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí)不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，要，只需，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，則由得，所以，故實(shí)數(shù)b的取值范圍為．（2）當(dāng)時(shí)，，，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，若，則，單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，則，設(shè)，因?yàn)?，，則，因?yàn)?，所以，，則，取對(duì)數(shù)得，令，，則，即①令，則，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，亦即，因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增，所以，則，整理得，所以，故①成立②令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，即，故②成立．③令，，則，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，∴，則，兩邊約去后化簡(jiǎn)整理得，即，故③成立．【點(diǎn)睛】雙變量的不等式證明問題，主要通過換元構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明即可.本題屬極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)膶?duì)稱函數(shù).7．（2022·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求證：.【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）對(duì)要證明的不等式進(jìn)行變形，然后構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.【解析】（1），.①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，，單調(diào)遞增，由得，，單調(diào)遞減.綜上：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，不妨設(shè)，∴在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，，∴，由得，，單調(diào)遞減，由得，，單調(diào)遞增，，，，，∴要證，即證，又∵，只要證，即證，∵，即證即證，即證，即證令，，∴，令，，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，∴，∴，∴∴在上遞增，∴，∴∴.【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題，需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性及極值，最值等進(jìn)行求解.8．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：；(3)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.【分析】（1）利用參變量分離法得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明出，即可證得結(jié)論成立；（3）分析可得，證得，利用基本不等式可得出，構(gòu)造函數(shù)，分析看可知函數(shù)在上為增函數(shù)，分析得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：由可得，可得，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，；（2）解：要證，即證，由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)楹腿〉鹊臈l件不同，故，即；（3）解：由題知①，②，①②得③，②①得④.③④得，不妨設(shè)，記.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，即，所以