博弈論及其應用-課節(jié)

教案5教案5――第二章完全信息靜態(tài)博弈 #教案4教學題目：（第一章完全信息靜態(tài)博弈，§2—§3）學時數(shù)2教學目的和要求：理解Nash均衡的表達。掌握Nash均衡的應用。教學基本內(nèi)容：基本方法：理解Nash均衡的表達。掌握Nash均衡的應用。教學重點與難點：重點在于Nash均衡的應用；難點在于例2.6的討論。教學過程：課前復習理解博弈均衡的概念。講授新課：§2.2Nash均衡我們再以囚徒困境為例討論如下：囚徒B坦白囚徒B抗拒囚徒A坦白-6,-60,-10囚徒A抗拒-10,0-1,-1顯然，不論囚徒A選擇坦白還是抗拒，囚徒B的最優(yōu)策略都是坦白;不論囚徒B選擇坦白還是抗拒，囚徒A的最優(yōu)策略都是坦白;由收益函數(shù)：UA（抗拒，坦白）=」10;UA（坦白，坦白）=-6;

UA（抗拒，抗拒）=—1;UA（坦白，抗拒）=0。UB（抗拒，坦白）=0;UB（坦白，坦白）=-6;

UB（抗拒，抗拒）=—;UB（坦白，抗拒）=—10。UA（坦白，。）＞UA（抗拒O）；Ub（O,坦白）＞Ub（O,抗拒）；這時，“坦白”策略就成為囚徒A,B的嚴格優(yōu)策略，如果一個博弈中的所有局中人都存在嚴格優(yōu)策略，那么由這些嚴格優(yōu)策略組成的局勢，就是該博弈的惟一均衡解。在囚;困境中的囚徒A,B的嚴格優(yōu)策略“坦白”組成的局勢（坦白，坦白）就是該博弈的惟-均衡解記S斗=（仆2,…，s^，s加…，Sn），則局勢s^Ss?,…，S斗S，S如…，Sn）=（s，sJES=3宀咒S。定義2—2（嚴格優(yōu)策略）在n人博弈G=N,S,U沖，除局中人i夕卜，其余n—1個局中人的所有可能的局勢s_j=（q,s2,…，第，s十,…,sn），局中人i存在著一個自己的策略s*，使得對一切的SiES（Si式s），有**Ui（Si,S_J=Ui（si,s2,…，匚，s，sm…，sj＞Ui（q,…，Si「’，Sn）=Ui（Si，St）,則稱S*?Si是局中人i的嚴格優(yōu)策略。囚徒A,B在囚徒困境中都有自己儼格優(yōu)策略“坦白”組成的局勢(坦白，坦白)為該博弈的惟一均衡解。這種現(xiàn)象是一般規(guī)律嗎？命題2—1在n人博弈G=〈N,S,U〉中，如果每一個局中人都有自己的嚴格優(yōu)策略s*(i=1,…，n),那么，n個局中人每人的嚴格優(yōu)策略組成的局勢s*=(s*,…，s*,…，s；)是博弈G=〈N,S,U)的惟一均衡解并稱S*=(s*,…,S*,…,s；)為嚴格優(yōu)策略均衡局勢或嚴格優(yōu)策略均衡解。證明：由以上的討論，n個局中人的嚴格優(yōu)策略組成的局勢*=(『??■,s*,…，s；)是博弈G=(N,S,U〉的一個均衡解。如果博弈G=〈N,S,U〉有兩個均衡解s*,s**，則至少有一個局中人j有兩個嚴*************格優(yōu)策略Sj, Sj ,設S=(s,…,Sj，…,sn), s= (s,,…，Sj ,…，sj.因為s*是局中人j的嚴格優(yōu)策略所以***(1) Uj(S)>Uj(S)；又因為Sj也是局中人j的嚴格優(yōu)策略所以***⑵ Uj(sp"Uj(s).結(jié)合(1)(2)兩式有：****Uj(S)>Uj(S)=Uj(S), 、,******此為矛盾因此，Sj=Sj.從而S=S,即解是唯一的口定義2—4(優(yōu)策略)在n人博弈G=〈N,S,U〉中，除局中人i外，其余n—1個局中人的所有可能的局

勢s」=（q,s2,…，s」s扣…,sn），局中人i存在著一個自己的策略s*，使得對一切的s€S，有Ui（s*,s_J=Ui（3,s2,…，s*,s和…,sn）>Ui（s「…，Si,…,Sn）=Ui（s,S」），并且局中人i至少存在著一個自己的策略s"eS，使得Ui（s*,s」）=Ui（s, ,Si“s*,s1, , sn） Ui（Si, ,Si, , Sn）二Ui（s, s」），則稱s?Si是局中人i的優(yōu)策略。顯然,嚴格優(yōu)策略一定是優(yōu)策略但在許多情況下，不要說嚴格優(yōu)策略，就是優(yōu)策略都未必存在!我們以例2-1（獵鹿博弈）為例討論如下獵人B-獵鹿獵人B-獵兔獵人A-獵鹿何河0,1獵人A-獵兔1,0I1, □由收益函數(shù):UAUA（獵鹿，獵鹿）=10;UA（獵鹿，獵兔）=0;UB（獵鹿，獵鹿）=10;UB（獵鹿，獵兔）=0;UA（獵兔，獵鹿）=1;UA（獵兔，獵兔）=1UB（獵兔，獵鹿）=1;UB（獵兔，獵兔）=1但是，UA（獵鹿，o）>uA（獵兔，。）不成立，因為UA（獵鹿，獵鹿）=10>UA（獵兔，獵鹿）=1;UA（獵鹿，獵兔）=0<UA（獵兔，獵兔）=1;因此，獵人A沒有優(yōu)策略，更沒有嚴格優(yōu)策略。對獵人B的討論也同樣沒有優(yōu)策略

但卻存在兩個Nash均衡解。博弈解的第一組值為（10,10）（雙值），對應博弈的解為（獵鹿，獵鹿）;博弈解的第二組值為（1, 1）（雙值），對應博弈的解為（獵兔獵兔），它們都是Nash均衡，即此博弈有2個解，或兩個均衡點。問題是：這兩個解應當如何去看？如果將博弈改為獵人乙-獵鹿獵人乙-獵兔獵人甲-獵鹿10,100,1獵人甲-獵兔1,00,0請同學們發(fā)表意見。毛澤東的思考Ua（獵鹿,Ua（獵鹿,獵鹿）=10;Ua（獵兔,獵鹿）=0;Ua（獵鹿,獵兔）=1;Ua（獵兔,獵兔）=0Ub（獵鹿,獵鹿）=10;Ub（獵兔,獵鹿）=1;Ub（獵鹿,獵兔）=0;Ub（獵兔，獵兔）=0<Ua（獵鹿,?)>Ua（獵兔,?)成立，顯然,因為UA（獵鹿，獵鹿）=10>UA（獵兔，獵鹿）=1;UA（獵鹿，獵兔）=1>UA（獵兔，獵兔）=0;因此，獵人A有嚴格劣策略’獵兔”同理，獵人B也有嚴格劣策略“昔兔”我們在上述基本式中剔除嚴格劣策略，我們就只剩下一個均衡解:

獵人B孑昔鹿獵人A-獵鹿10,10我們?yōu)槭裁匆钯Y本主義的尾巴？智豬博弈產(chǎn)生了，我的經(jīng)歷：獵鹿博弈=智豬博弈=囚徒困境例2-2斗雞博弈首先，依據(jù)情景描述寫出博弈的基本式再列出博弈雙方的收益矩陣雙矩陣）飛車黨黨徒B讓飛車黨黨徒B撞飛車黨黨徒A讓—10—10—10+10飛車黨黨徒A撞+10—10——OO ——OO最后，用相對優(yōu)勢策略的劃線法求解飛車黨黨徒B讓飛車黨黨徒B撞飛車黨黨徒A讓—10—10飛車黨黨徒A撞+0—10——OO ——OO博弈解的第一組值為（一10,+10）（雙值），對應博弈的解為（讓，撞）；博弈解的第二組值為（+10,—10）（雙值），對應博弈的解為（撞讓），它們都是Nash均衡，即此博弈有2個解，或兩個均衡點。例2-3雙寡頭壟斷博弈（Cournot模型（1838年））首先，依據(jù)情景描述寫出博弈的基本式；再列出博弈雙方的收益矩陣雙矩陣）企業(yè)乙-定咼價企業(yè)乙-定低價企業(yè)甲-定咼價1000,1000500, 1500企業(yè)甲-定低價1500, 500700, 700最后，用相對優(yōu)勢策略的劃線法求解企業(yè)乙-定咼價企業(yè)乙-定低價企業(yè)甲-定咼價1000,1000500, 1500企業(yè)甲-定低價〔1500, 500匝，殛博弈的值為（700,700）（雙值），對應博弈的解為（低價，低價）;它是Nash均衡。思考它與哪一個博弈是一致的？例2—4（雙人抬物）

博弈G「博弈G「N,S,U的基本式為局中人的集合N=｛1,2｝；策略空間S1S,=收益函數(shù)：Ui（出力，出力）=v-c?0,U1（出力，不出力）=v-2c：：0,U1（不出力，出力）=v0,U1（不出力，不出力）=0。容易看出局中人1的偏好序為：（不出力，出力）「（出力，出力）容易看出局中人2的偏好序為：（出力，不出力）—（出力，出力）顯然，兩局中人均有｛出力，不出力｝X｛出力，不出力;U2（出力，出力）=v-c?0,U2（出力，不出力）=v-2s0,

U2（出力，不出力）=v0,U2（不出力，不出力）=0。（不出力，不出力）—（出力，不出力）;（不出力，不出力）-（不出力，出力）;U1（不出力＞U1（出力，O）,U2（不出力U2（出力，。）;即，選擇“不出力”是兩局中人的嚴格優(yōu)策略，因此，惟一的Nash均衡為（不出力，不出力）博弈的值為（0,0）。我們還可以用劃線法解決：局中人2出力局中人2不出力局中人1出力v—C,v—Cv-2c,v局中人1不出力v,v-2c0,0討論：例2—5（雙人抬物）和哪一個博弈一致?關于道德風險；如何從技術上改變這種情況？例2-6（雙虎爭獵物）博弈G「N,S,U的基本式為局中人的集合N二｛A,B｝;策略空間S=SASB=｛堅持，放棄堅持，放棄;收益函數(shù)：Ua（堅持,堅持）=UB（堅持,堅持0,Ua（堅持,放棄）=UB（放棄，堅持）=f0,Ua（放棄，堅持）=Ub（堅持,放棄）=0,Ua（放棄，放棄）=ue｝（放棄,,放棄）=0。容易看出兩老虎沒有嚴格優(yōu)策略，我們還是用劃線法解決:老虎B堅持老虎B放棄老虎A堅持—C，一cf,0老虎A放棄0,f0,0因此，Nash均衡為（堅持，放棄）和（放棄，堅持），博弈的值分別為（f,0）和（0,f）。討論：例2-10和哪一個博弈一致？現(xiàn)實中有何意義？例2—7（情侶分歧）博弈G=N,S,U的基本式為局中人的集合N=｛甲（男），乙（女）｝；策略空間S二S乙二｛古典音樂，流行音樂古典音樂，流行音樂｝收益函數(shù)用矩陣表示為：乙-古典音樂乙-流行音樂甲一古典音樂a,b0,0甲一流行音樂0,0b,a,用劃線法解決:乙-古典音樂乙-流行音樂甲一古典音樂a,b0,0甲一流行音樂0,0因此，Nash均衡為（古典音樂，古典音樂）和（流行音樂，流行音樂）博弈的值分別為（a,b）和小,a）,（O^b^a）。討論：例2—7和哪一個博弈一致？協(xié)調(diào)型博弈在現(xiàn)實中有何意義？（總收益高）例2—8（公共產(chǎn)品的提供一一集資建橋博弈G“N,S,U的基本式為局中人的集合N二｛1,2，…，n｝;策略空間S2 Sn-｛出資，不出資｝乂……x｛出資，不出資;收益函數(shù)根據(jù)參加出資的人數(shù)有不同的情況：1）出資人數(shù)k二n（人人出資才能建橋）5=u2「二un（出資，……，出資）T-t0,出資居民i的收益Uj（至少有一個人不出資）=t舟0,不出資居民j的收益Uj（至少有一個人不出資）=0。我們簡化問題為兩個局中人的情況：局中人j出資局中人j不出資局中人i出資V-1,V-1-t,o局中人i不出資o, -t0,0因此，Nash均衡為（出資，……，出資）和（不出資，……，不出資）2）出資人數(shù)kn如果恰有k個居民出資而n-k個居民不出資。有2種情況，討論如下：如果已經(jīng)有k-1個居民出資而n-k個居民不出資，局中人將選擇出資:k-1個局中人出資，n-k個局中人不出資局中人i出資v-1>0局中人i不出資0如果已經(jīng)有k個居民出資而n-k-1個居民不出資k個局中人出資，n-kT個局中人不出資局中人i出資v-1a0局中人i不出資vNash均衡出現(xiàn)了：（k個居民出資，n-k個居民不出資）；根據(jù)組合的知識，這樣的均衡共有Ck種。如果已經(jīng)有0咗mk-1個居民出資，那么局中人的選擇是不出資，因為0蘭m*k-1個局中人出資局中人i出資-t局中人i不出資0由于每一個局中人面對m（0乞m”：kT）個局中人出資時，必選擇不出資，因此，Nash均衡為（不出資，……，不出資。對m（m-k）個居民出資，局中人的選擇是不出資，因為m（m-k）個局中人出資

局中人i出資v-1局中人i不出資vNash均衡出現(xiàn)了：(k個居民出資，n-k個居民不出資)；綜上所述，這樣的均衡共有2+C；種。討論：1.通過例2-7，談談集資建設和公共產(chǎn)品如何攤派和收取集資款?例2-8(經(jīng)濟學著名例子：公共地悲劇n個牧民共同擁有一片草地，每年，他們在這片草地上放牧養(yǎng)羊。設牧民i放牧的羊為qj(i=0,1/,n,…)只，則全體牧民養(yǎng)羊G=q q? qn照看一只羊的平均成本為c,當草地上有G只羊時，牧民養(yǎng)每只羊的價值為v(G)(v(G)0)。假設使草地上草的生長和羊群達到平衡的羊的只數(shù)為imax，如果羊的數(shù)量超過了Gmax，必將使草地的生態(tài)受到損害，從而使整個羊群不能吃飽，使羊的值v(G)下降(此地將自變量3看作連續(xù)變量)，這就可以用數(shù)學語言來表達為(1)dV(1)dV0,dG4<odG2公共地悲劇博弈W二N,S,U的基本式為局中人的集合N二{1,2, ,n};策略空間S2 Sn=[0,x……x[0,，)；收益函數(shù)：Uj(q,…，q「…，qn)=v(G)qj-cq1蘭i蘭n.博弈問題：每一個牧民如何確定自己羊群的數(shù)量（i=1/,n），以獲得自己的最大收益（僅僅考慮個人利益的最大化?根據(jù)微積分的知識，這需要去求n元函數(shù)Uj（q［，…，q,…，qn）的極值，而方法是先求n個變量的偏導數(shù):-Ui dvdG dv芥呵①^拓亦一^心^詰一。（T「n）.再令v(G)qidV=c(i「, ,n),dG當v（G）為已知函數(shù)時，由以上n個方程，可以解出n個數(shù)q；,…，q；，則得到Nash均衡局勢（q；,…，qn）=q。記我們以n二3,v（G）二kG=k（q1q2q3）為例，有3個方程構(gòu)成的方程組:2q^q^q3=c/kq「2q2q3=c/kg+q2+2q3二c/k解出qi二q2=q3C4k為簡單起見，我們進一步假設這1個牧民的基本情況相同，因此，我們不妨設q；=q*(仁i乞n),則n個收益函數(shù)成為Uj(q,…4,…，qn)二v(nq口一cq1G蘭n,于是據(jù)（2）式,v(G*)q*v(G*)=c仁i乞n,1*]**v(G) -Gv(G)=c.n那么，為什么稱作公共地悲劇呢？這n個牧民的總收益函數(shù)是⑶ U=nUj=nqv(G)-ncq=Gv(G)-cG.這n個牧民在Nash均衡q*下的總收益是(4) U=nUinqiv(G)-ncqi二Gv(G)-cG如果這塊草地是由政府管理的，專家認定最佳的放牧量是*=Gmax,即F*是使得收益最優(yōu)的值，即(5)收益最優(yōu)的值，即(5)F*二maxU，或?qū)σ磺械目偸找鍶冬F(xiàn)根據(jù)極值的必要條件應當有9^4=0(邊際收益=邊際成本)從(3)式推得dGdU

dG二dU

dG二v(G)Gv(G)-c,代入執(zhí)廠0有:v(F*)F*v(F*)二c.H(G)二v(G)Gv(G),我們首先有H(G)二2v(G)Gv(G)：0.所以函數(shù)H(G)是遞減的，其次H(G*)-H(F*)二v(G*)G*v(G*)-[v(F*)F*v(F*)]二v(G*)G*v(G*)-c1* * * * I * *二v(G)Gv(G)-[v(G)Gv(G)]nn-1Gv(G) 0.n我們得到H(G*)：：H(F*),即**GF.牧民在均衡處的羊多于專家設定的羊的最佳數(shù)量，又由于1*是使得收益函數(shù)取得最大值的點，有：U*g*蘭U*F* ?公共地悲劇指出：如果每個牧民僅僅考慮個人利益的最大化那么，在Nash均衡(q；,…，q；)二q*處羊群的數(shù)量G*大，但不如羊群為F*的收益，而且，草地將退化,所以生產(chǎn)應當是有組織的公共資源應當科學地開發(fā)怎么組織學問很深！公共地悲劇(P.87)公共衛(wèi)生一一國家資源一一 例2-9(密封式二級價格拍賣密封式二級價格拍賣——規(guī)則介紹分析局中人的集合：N二｛1,2, ,n｝;策略集A=(0,g)(i=1,2，…,n)，策略空間：A=A4…A；局勢：｛sA|^(b1,b2/,bn)｝是一個無限集。收益函數(shù):Uj(s)=?-sbi=1,2，…,n。表示為局中人12oooiooon標的物價值ViV2oooVioooVn競拍報價bb2ooobooobn收益VifoooV-bj°oooVn-S為討論方便，除第個局中人的報價b外，把其余的n-1個局中人報價的最大值記作眄刈口｝=bj°我們討論如下：fb=Vi￡bj°徑b“]bj05=v二Ui=v-bb>0.biVibjo:brtbjo口<? =5r-S>0bibjoVi:.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"v「bj bj =Ui二w-％ 0 :\o