北京高考近5年三角、數(shù)列考題

./2017數(shù)列〔2017年文科數(shù)列1道大題〔2017年理科數(shù)列1小題、1大題2017年北京高考文科第15題15.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足,,．〔1求的通項公式；〔2求和：．15.〔1等差數(shù)列,,,可得：,解得,所以的通項公式：．

〔2由〔Ⅰ可得,等比數(shù)列滿足,,可得〔等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同,所以,是等比數(shù)列,公比為,首項為,．2017年北京高考理科第10題〔10若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=–1,a4=b4=8,則=_______.[答案]1[解析]2017年北京高考理科第20題20.設(shè)和是兩個等差數(shù)列,記,其中表示,,,這個數(shù)中最大的數(shù)．〔1若,,求,,的值,并證明是等差數(shù)列；〔2證明：或者對任意正數(shù),存在正整數(shù),當(dāng)時,；或者存在正整數(shù),使得,,,是等差數(shù)列．20.〔1,,,,,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,下面證明：對,且,都有,當(dāng),且時,則由,且,則,則,因此,對,且,,,又,所以對均成立,所以數(shù)列是等差數(shù)列．

〔2設(shè)數(shù)列和的公差分別為,,下面考慮的取值,由,,,,考慮其中任意〔,且,則下面分,,三種情況進(jìn)行討論,①若,則,當(dāng),,則對于給定的正整數(shù)而言,,此時,所以數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng),,則對于給定的正整數(shù)而言,,此時,所以數(shù)列是等差數(shù)列；此時取,則,,,是等差數(shù)列,命題成立；②若,則此時為一個關(guān)于的一次項系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù),故必存在,使得時,,則當(dāng)時,因此當(dāng)時,,此時,故數(shù)列從第項開始為等差數(shù)列,命題成立；③若,此時為一個關(guān)于的一次項系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù),故必存在,使得時,,則當(dāng)時,因此,當(dāng)時,,此時令,,,下面證明：對任意正整數(shù),存在正整數(shù),使得,,若,取,表示不大于的最大整數(shù),當(dāng)時,此時命題成立；若,取,當(dāng)時,此時命題成立,因此對任意正數(shù),存在正整數(shù),使得當(dāng)時,；綜合以上三種情況,命題得證．2017三角〔2017文科一小題一大題〔2017理科一小題一大題2017年北京高考文科第9題9.在平面直角坐標(biāo)系中,角與角均以為始邊,它們的終邊關(guān)于軸對稱,若,則．9.2017年北京高考文科第16題16.已知函數(shù)．〔1求的最小正周期；〔2求證：當(dāng)時,16.〔1所以,所以的最小正周期為．

〔2因為,所以,所以,所以．2017年北京高考理科第12題〔12在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若,=___________.[答案][解析]2017年北京高考理科第15題〔15〔本小題13分在△ABC中,=60°,c=a.〔Ⅰ求sinC的值；〔Ⅱ若a=7,求△ABC的面積.[答案]〔1根據(jù)正弦定理〔2當(dāng)時,,△ABC中2016數(shù)列〔2016文科一大題〔2016理科一小題一大題2016年北京高考文科第15題15.已知是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,且,,,．〔1求的通項公式；〔2設(shè),求數(shù)列的前項和．15.〔1等比數(shù)列的公比,所以,．設(shè)等差數(shù)列的公差為．因為,,所以,即．所以．

〔2由〔1知,,．因此．從而數(shù)列的前項和2016年北京高考理科第12題12.已知為等差數(shù)列,為其前項和,若,,則．12.[解析]為等差數(shù)列,,所以,,解得．所以．2016年北京高考理科第20題20.設(shè)數(shù)列：,,,．如果對小于的每個正整數(shù)都有,則稱是數(shù)列的一個"時刻"．記是數(shù)列的所有"時刻"組成的集合．〔1對數(shù)列：,,,,,寫出的所有元素；〔2證明：若數(shù)列中存在使得,則；〔3證明：若數(shù)列滿足,則的元素個數(shù)不小于．20.〔1的元素為和．

〔2因為存在使得,所以．記,則,且對任意正整數(shù),．因此．從而．

〔3當(dāng)時,結(jié)論成立．以下設(shè)．由〔2知．設(shè),．記,則．對,記．如果,取,則對任何,．從而且．又因為是中的最大元素,所以．從而對任意,,特別地,．對,．因此．所以．因此的元素個數(shù)不小于．2016三角〔2016文科一小題一大題〔2016理科一小題一大題2016年北京高考文科第13題13.在中,,,則．13.[解析]在中,由正弦定理知,又,,所以,解得,又為銳角,所以,,所以．2016年北京高考文科第16題16.已知函數(shù)的最小正周期為．〔1求的值；〔2求的單調(diào)遞增區(qū)間．16.〔1因為,.所以．

〔2由可知,,,,．所以單調(diào)遞增區(qū)間是．2016年北京高考理科第7題7.將函數(shù)圖象上的點向左平移個單位長度得到點．若位于函數(shù)的圖象上,則 A.,的最小值為 B.,的最小值為 C.,的最小值為 D.,的最小值為7.A [解析]因為點在的圖象上,所以．點向左平移個單位長度得到．因為在的圖象上,所以．所以,所以．又,所以．2016年北京高考理科第15題15.在中,．〔1求的大??；〔2求的最大值．15.〔1因為,所以,所以．

〔2在中,,所以當(dāng)時,的最大值為．2015數(shù)列〔2015文科一大題〔2015理科一小題一大題2015年北京高考文科第16題16.已知等差數(shù)列滿足,．〔1求的通項公式；〔2設(shè)等比數(shù)列滿足,,問：與數(shù)列的第幾項相等?16.〔1設(shè)等差數(shù)列的公差為．因為,所以．又因為,所以,故．所以〔．

〔2設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,,所以,,所以．由得,所以與數(shù)列的第項相等．2015年北京高考理科第6題6.設(shè)是等差數(shù)列,下列結(jié)論中正確的是 A.若,則 B.若,則 C.若,則 D.若,則6.C [解析]數(shù)列是等差數(shù)列,如數(shù)列,滿足,則；如數(shù)列,滿足,則；所以A,B不正確；對于等差數(shù)列,所以D不正確；等差數(shù)列若,則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,有,所以C正確．2015年北京高考理科第20題20.已知數(shù)列滿足：,,且記集合．〔1若,寫出集合的所有元素；〔2若集合存在一個元素是的倍數(shù),證明：的所有元素都是的倍數(shù)；〔3求集合的元素個數(shù)的最大值．20.〔1,,．

〔2因為集合存在一個元素是的倍數(shù),所以不妨設(shè)是的倍數(shù)．由可歸納證明對任意,是的倍數(shù)．如果,則的所有元素都是的倍數(shù)．如果,因為或,所以是的倍數(shù),于是是的倍數(shù)．類似可得,,都是的倍數(shù)．從而對任意,是的倍數(shù),因此的所有元素都是的倍數(shù)．綜上,若集合存在一個元素是的倍數(shù),則的所有元素都是的倍數(shù)．

〔3由,可歸納證明〔．因為是正整數(shù),所以是的倍數(shù)．從而當(dāng)時,是的倍數(shù)．如果是的倍數(shù),由〔2知對所有正整數(shù),是的倍數(shù)．因此當(dāng)時,,這時的元素個數(shù)不超過．如果不是的倍數(shù),由〔2知對所有正整數(shù),不是的倍數(shù)．因此當(dāng)時,,這時的元素個數(shù)不超過．當(dāng)時,有個元素．綜上可知,集合的元素個數(shù)的最大值為．2015三角〔2015文科一小題一大題〔2015理科一小題一大題2015年北京高考文科第11題11.在中,,,,則．11.2015年北京高考文科第15題15.已知函數(shù)．〔1求的最小正周期；〔2求在區(qū)間上的最小值．15.〔1因為,所以的最小正周期為．

〔2因為,所以．當(dāng),即時,取得最小值．所以在區(qū)間上的最小值為．2015年北京高考理科第12題12.在中,,,,則．12.[解析]因為中,,,,所以,,所以,,所以．2015年北京高考理科第15題15.已知函數(shù)．〔1求的最小正周期；〔2求在區(qū)間上的最小值．15.〔1由題意得,所以的最小正周期為．

〔2因為,所以．當(dāng),即時,取得最小值．所以在區(qū)間上的最小值為．2014數(shù)列〔2014文科一大題〔2015理科兩小題一大題2014年北京高考文科第15題15.已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列．〔1求數(shù)列和的通項公式；〔2求數(shù)列的前項和．15.〔1設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意得：所以設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意得：解得．所以從而

〔2由〔1知,數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為所以數(shù)列的前項和為2014年北京高考理科第5題5.設(shè)是公比為的等比數(shù)列,則""是"為遞增數(shù)列"的 A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.D2014年北京高考理科第12題12.若等差數(shù)列滿足,,則當(dāng)時,的前項和最大．12.[解析]根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得,,于是,,即,,故為的前項和中的最大值．2014年北京高考理科第20題20.對于數(shù)對序列,記,,其中表示和兩個數(shù)中最大的數(shù)．〔1對于數(shù)對序列,,求,的值；〔2記為四個數(shù)中最小值,對于由兩個數(shù)對,組成的數(shù)對序列,和,,試分別對和時兩種情況比較和的大??；〔3在由個數(shù)對,,,,組成的所有數(shù)對序列中,寫出一個數(shù)對序列使最小,并寫出的值．〔只需寫出結(jié)論20.〔1

〔2當(dāng)時,因為是中最小的數(shù),所以,從而當(dāng)時,因為是中最小的數(shù),所以,從而綜上,這兩種情況下都有．

〔3數(shù)對序列〔不唯一對應(yīng)的最小,此時．2014三角〔2014文科一小題一大題〔2014理科一小題一大題2014年北京高考文科第12題12.在中,,,,則；．12.,2014年北京高考文科第16題16.函數(shù)的部分圖象如圖所示．〔1寫出的最小正周期及圖中,的值；〔2求在區(qū)間上的最大值和最小值．16.〔1的最小正周期為,,．

〔2因為,所以于是,當(dāng),即時,取得最大值；當(dāng),即時,取得最小值．2014年北京高考理科第14題14.設(shè)函數(shù)〔,,是常數(shù),,．若在區(qū)間上具有單調(diào)性,且,則的最小正周期為．14.[解析]記的最小正周期為．由題意知,又,且,可作出示意圖如圖所示〔一種情況：所以,,所以,所以．2014年北京高考理科第15題15.如圖,在中,,,點在上,且,．〔1求；〔2求的長．15.〔1因為所以

〔2在中,即解得在中,所以．2013數(shù)列〔2013文科一小題一大題〔2013理科一小題一大題2013年北京高考文科第11題11.若等比數(shù)列滿足,,則公比；前項和．11.,2013年北京高考文科第20題20.給定數(shù)列,,,,對,,,,該數(shù)列前項的最大值記為,后項,,,的最小值記為,．〔1設(shè)數(shù)列為,,,,寫出,,的值；〔2設(shè),,,是公比大于的等比數(shù)列,且,證明：,,,是等比數(shù)列；〔3設(shè),,,是公差大于的等差數(shù)列,且,證明：,,,是等差數(shù)列．20.〔1,,．

〔2因為,公比,所以,,,是遞增數(shù)列．因此,對,,,,,．故,,,,因此,且,即,,,是等比數(shù)列．

〔3設(shè)為,,,的公差．對,因為,,所以又因為,所以從而,,,是遞增數(shù)列．因此又因為所以因此,所以所以因此對,,,都有即,,,是等差數(shù)列．2013年北京高考理科第10題10.若等比數(shù)列滿足,,則公比；前項和．10.,2013年北京高考理科第20題20.已知是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前項的最大值記為,第項之后各項的最小值記為,．〔1若為,是一個周期為的數(shù)列〔即對任意,寫出的值；〔2設(shè)是非負(fù)整數(shù),證明：的充分必要條件為是公差為的等差數(shù)列；〔3證明：若,則的項只能是或者,且有無窮多項為．20.〔1．

〔2〔充分性因為