北京十二中2024屆數(shù)學高一上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

北京十二中2024屆數(shù)學高一上期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，若，則x的取值范圍為（）A. B.C. D.2．設函數(shù)f(x)=若，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.3．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為半圓畫，則該幾何體的體積為（）A B.C. D.4．直線與函數(shù)的圖像恰有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.5．已知集合和關系的韋恩圖如下，則陰影部分所表示的集合為（）A. B.C. D.6．函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最大值為A. B.C. D.7．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關于軸對稱，則正數(shù)的最小值是（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點，是該圖象與軸的交點，過點作直線交該圖象于兩點，點是的圖象的最高點在軸上的射影，則的值是A B.C.1 D.29．函數(shù)f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒過定點A.（–1，–1） B.（–1，1）C.（0，2a–1） D.（0，1）10．的零點所在區(qū)間為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直三棱柱的個頂點都在球的球面上，若，，，，則球的直徑為________12．直線與函數(shù)的圖象相交，若自左至右的三個相鄰交點依次為、、，且滿足，則實數(shù)________13．已知函數(shù)，方程有四個不相等的實數(shù)根（1）實數(shù)m的取值范圍為_____________；（2）的取值范圍為______________14．已知冪函數(shù)在為增函數(shù)，則實數(shù)的值為___________.15．已知函數(shù)，且函數(shù)恰有兩個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.16．已知函數(shù)若函數(shù)有三個不同的零點，且，則的取值范圍是____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）在直角坐標系中用“五點畫圖法”畫出一個周期內的圖象.（要求列表、描點）（2）求函數(shù)的最小正周期、對稱中心、對稱軸方程.18．已知函數(shù)．求函數(shù)的值域19．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式，并判定函數(shù)在區(qū)間上的單調性（無需證明）；（2）已知函數(shù)且，已知在的最大值為2，求的值.20．函數(shù)的最小值為.（1）求；（2）若，求a及此時的最大值.21．已知函數(shù).（1）當時，試判斷并證明其單調性.（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】首先判斷函數(shù)的單調性和定義域，再解抽象不等式.【題目詳解】函數(shù)的定義域需滿足，解得：，并且在區(qū)間上，函數(shù)單調遞增，且，所以，即，解得：或.故選：C【題目點撥】關鍵點點睛：本題的關鍵是判斷函數(shù)的單調性和定義域，尤其是容易忽略函數(shù)的定義域.2、C【解題分析】由于的范圍不確定，故應分和兩種情況求解.【題目詳解】當時，，由得，所以，可得：，當時，，由得，所以，即，即，綜上可知：或.故選：C【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)，解不等式的關鍵是對的范圍討論，分情況解，屬于中檔題.3、C【解題分析】由三視圖可知，該幾何體為半個圓柱，故體積為.4、C【解題分析】解方程組，得，或由直線與函數(shù)的圖像恰有三個公共點，作出圖象，結合圖象，知∴實數(shù)的取值范圍是故選C【題目點撥】本題考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意數(shù)形結合思想的合理運用5、B【解題分析】首先判斷出陰影部分表示，然后求得，再求得.【題目詳解】依題意可知，，且陰影部分表示.，所以.故選：B【題目點撥】本小題主要考查根據韋恩圖進行集合的運算，屬于基礎題.6、D【解題分析】∵由得，∴函數(shù)（且）的圖像恒過定點，∵點在直線上，∴，∵，當且僅當，即時取等號，∴，∴最大值為，故選D【名師點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤7、A【解題分析】圖象關于軸對稱，則其為偶函數(shù)，根據三角函數(shù)的奇偶性即可求解.【題目詳解】將的圖象向左平移個單位后得到，此時圖象關于軸對稱，則，則，當時，取得最小值故選：A.8、B【解題分析】分析：由圖象得到函數(shù)的周期，進而求得．又由條件得點D,E關于點B對稱，可得，然后根據數(shù)量積的定義求解可得結果詳解：由圖象得，∴，∴又由圖象可得點B為函數(shù)圖象的對稱中心，∴點D,E關于點B對稱，∴，∴故選B點睛：本題巧妙地將三角函數(shù)的圖象、性質和向量數(shù)量積的運算綜合在一起，考查學生分析問題和解決問題的能力．解題的關鍵是讀懂題意，通過圖象求得參數(shù)；另外，根據函數(shù)圖象的對稱中心將向量進行化簡，從而達到能求向量數(shù)量積的目的9、B【解題分析】令x+1=0，求得x和y的值，從而求得函數(shù)f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒過定點的坐標【題目詳解】令x+1=0，求得x=-1，且y=1，故函數(shù)f（x）=2ax+1–1（a＞0且a≠1）恒過定點（-1，1），故選B.【題目點撥】】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調性和特殊點，屬于基礎題10、C【解題分析】根據零點存在性定理進行判斷即可【題目詳解】，，，，根據零點存在性定理可得，則的零點所在區(qū)間為故選C【題目點撥】本題考查零點存性定理，屬于基礎題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】根據題設條件可以判斷球心的位置，進而求解【題目詳解】因為三棱柱的個頂點都在球的球面上，若，，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，側棱與底面垂直，的外心是斜邊的中點，上下底面的中心連線垂直底面，其中點是球心，即側面，經過球球心，球的直徑是側面的對角線的長，因為，，，所以球的半徑為：故答案為：12、或【解題分析】設點、、的橫坐標依次為、、，由題意可知，根據題意可得出關于、的方程組，分、兩種情況討論，求出的值，即可求得的值.【題目詳解】設點、、的橫坐標依次為、、，則，當時，因為，所以，，即，因為，得，因為，則，即，可得，所以，，可得，所以，；當時，因為，所以，，即，因為，得，因為，則，即，可得，所以，，可得，所以，.綜上所述，或.故答案為：或.13、①.②.【解題分析】利用數(shù)形結合可得實數(shù)m的取值范圍，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質可得，再利用正弦函數(shù)的對稱性及二次函數(shù)的性質即求.【題目詳解】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，則可知實數(shù)m的取值范圍為，由題可知，，∵，∴，即，又，，∴，又函數(shù)在上單調遞增，∴，即.故答案為：；.【題目點撥】關鍵點點睛；本題的關鍵是數(shù)形結合，結合對數(shù)函數(shù)的性質及正弦函數(shù)的性質可得，再利用二次函數(shù)的性質即解.14、4【解題分析】根據冪函數(shù)的定義和單調性，即可求解.【題目詳解】解：為遞增的冪函數(shù)，所以，即，解得：，故答案為：415、【解題分析】作出函數(shù)的圖象，把函數(shù)的零點轉化為直線與函數(shù)圖象交點問題解決.【題目詳解】由得，即函數(shù)零點是直線與函數(shù)圖象交點橫坐標，當時，是增函數(shù)，函數(shù)值從1遞增到2(1不能取)，當時，是增函數(shù)，函數(shù)值為一切實數(shù)，在坐標平面內作出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當時，直線與函數(shù)圖象有2個交點，即函數(shù)有2個零點，所以實數(shù)的取值范圍是：.故答案為：16、；【解題分析】作圖可知:點睛：利用函數(shù)零點情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】（1）列表、描點即可用五點畫圖法作出函數(shù)圖像；（2）結合函數(shù)的圖像，可直接寫出其最小正周期，結合正弦函數(shù)的性質可得出其對稱中心以及對稱軸.【題目詳解】(1)列表：0131-11(2)最小正周期為，由得，所以對稱中心為；由得，所以對稱軸方程為.【題目點撥】本題主要考查五點作圖法，以及三角函數(shù)的性質，熟記函數(shù)性質即可求解，屬于基礎題型.18、【解題分析】將化為，分和分別應用均值不等式可得答案.【題目詳解】解：，當時，，當且僅當，即時取等號；當時，，當且僅當，即時取等號綜上所述，的值域為19、（1）；函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增（2）或【解題分析】（1）根據奇函數(shù)的性質及，即可得到方程組，求出、的值，即可得到函數(shù)解析式，再根據對勾函數(shù)的性質判斷即可；（2）分和兩種情況討論，結合對數(shù)型復合函數(shù)的單調性計算可得；【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，且，且又.經檢驗，滿足題意，故.當時，時等號成立，當時，單調遞減；當時，單調遞增.【小問2詳解】解：①當時，是減函數(shù)，故當取得最小值時，且取得最大值2，而在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上最小值為，故的最大值是，所以.②當時，是增函數(shù)，故當取得最大值時，且取得最大值2，而在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上的最大值為，故的最大值是，所以.綜上所述，或.20、（1）（2），的最大值5【解題分析】（1）通過配方得，再通過對范圍的討論，利用二次函數(shù)的單調性即可求得；（2）由于，對分與進行討論，即可求得的值及的最大值【小問1詳解】∵，∴，且，∴若，即，當時，；若，即，當時，；若，即，當時，.綜上所述，.【小問2詳解】∵，∴若，則有，得，與矛盾；若，則有，即，解得或（舍），∴時，，即，∵，∴當時，取