天成大聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高一上期末經(jīng)典試題含解析

天成大聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高一上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)與面積都是5，則這個(gè)扇形圓心角的弧度數(shù)為A. B.C. D.2．命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，3．命題“，是4倍數(shù)”的否定為（）A.，是4的倍數(shù) B.，不是4的倍數(shù)C.，不是4倍數(shù) D.，不是4的倍數(shù)4．已知扇形的圓心角為2弧度，其所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則扇形的弧長(zhǎng)等于A. B.C. D.5．下列關(guān)于向量的敘述中正確的是（）A.單位向量都相等B.若，，則C.已知非零向量，，若，則D.若，且，則6．設(shè)向量=（1.）與=（-1，2）垂直，則等于A. B.C.0 D.-17．化簡(jiǎn)：（）A B.C. D.8．下面各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，9．已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.10．定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則方程在上的所有根的和為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上是減函數(shù)，若、是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，對(duì)（1），為奇數(shù)；（2）；（3）；（4）；（5）.則以上結(jié)論中正確的有______________.(填入所有正確結(jié)論的序號(hào)).12．對(duì)于定義在上的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①在區(qū)間上是單調(diào)遞增的；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域也是，則稱是函數(shù)的一個(gè)“遞增黃金區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“遞增黃金區(qū)間”的是：___________.（填寫正確函數(shù)的序號(hào)）①；②；③；④.13．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為________.14．函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.15．若函數(shù)過點(diǎn)，則的解集為___________.16．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為2，寫出點(diǎn)A的一個(gè)坐標(biāo)：____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的定義域和值域均為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對(duì)任意的，總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（可能用到的不等關(guān)系參考：若，且，則有）18．已知函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱（1）求k的值；（2）若此函數(shù)的圖像在直線上方，求實(shí)數(shù)b的取值范圍（提示：可考慮兩者函數(shù)值的大?。?9．（1）計(jì)算：，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（2）已知，求的值.20．某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資x成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；B產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資x的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示（注：利潤(rùn)y與投資x的單位均為萬元）（1）分別求A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)y關(guān)于投資x的函數(shù)解析式；（2）已知該企業(yè)已籌集到200萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)①若將200萬元資金平均投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，可獲得總利潤(rùn)多少萬元？②如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這200萬元資金，可使該企業(yè)獲得總利潤(rùn)最大？其最大利潤(rùn)為多少萬元？21．已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）設(shè)，，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】，又，故選D考點(diǎn)：扇形弧長(zhǎng)公式2、C【解題分析】由全稱命題的否定是特稱命題可得答案.【題目詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以“，”的否定為“，”.故選：C.3、B【解題分析】根據(jù)特稱量詞命題的否定是全稱量詞命題即可求解【題目詳解】因?yàn)樘胤Q量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以命題“，是4的倍數(shù)”的否定為“，不是4的倍數(shù)”故選：B4、A【解題分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出半徑r，再計(jì)算弧長(zhǎng)【題目詳解】如圖所示，，，過點(diǎn)O作，C垂足，延長(zhǎng)OC交于D，則，；中，，從而弧長(zhǎng)為，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用問題，求出扇形的半徑是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題5、C【解題分析】A選項(xiàng)：?jiǎn)挝幌蛄糠较虿灰欢ㄏ嗤蔄錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，與不一定共線，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：兩邊平方可得，故C正確；D選項(xiàng)：舉特殊向量可知D錯(cuò)誤.【題目詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)閱挝幌蛄考扔写笮∮钟蟹较?，但是單位向量方向不一定相同，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，但與不一定共線，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：對(duì)兩邊平方得，，所以，故C正確；D選項(xiàng)：比如：，，，所以，，所以，但，故D錯(cuò)誤.故選：C.6、C【解題分析】：正確的是C.點(diǎn)評(píng)：此題主要考察平面向量的數(shù)量積的概念、運(yùn)算和性質(zhì)，同時(shí)考察三角函數(shù)的求值運(yùn)算.7、D【解題分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值即可.【題目詳解】,故選：D8、B【解題分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同分析判斷即可【題目詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)镽，而的定義域?yàn)?，兩函?shù)的定義域不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，兩個(gè)函數(shù)的定義域都為R，定義域相同，，這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，而的定義域是R，兩個(gè)函數(shù)的定義城不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，的定義域?yàn)椋亩x域是R，兩個(gè)的數(shù)的定義域不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù).故選：B.9、B【解題分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可【題目詳解】∵，，∴；∵，∴；∵，∴，∴，又，，∴，∴綜上可知故選：B10、D【解題分析】首先由題所給條件計(jì)算函數(shù)的周期性與對(duì)稱性，作出函數(shù)圖像，在上的所有根等價(jià)于函數(shù)與圖像的交點(diǎn)，從兩函數(shù)的交點(diǎn)找到根之間的關(guān)系，從而求得所有根的和.【題目詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，所以，則的對(duì)稱軸為：，由知函數(shù)周期為8，作出函數(shù)圖像如下：在上的所有根等價(jià)于函數(shù)與圖像的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)按如圖所示順序排列，因?yàn)?，，所以兩圖像在y軸左側(cè)有504個(gè)交點(diǎn)，在y軸右側(cè)有506個(gè)交點(diǎn)，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的解析式推出周期性與對(duì)稱性，考查函數(shù)的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、（1）（4）（5）【解題分析】令，結(jié)合偶函數(shù)得到，根據(jù)題意推出函數(shù)的周期為，可得（1）正確；根據(jù)函數(shù)在上是減函數(shù)，結(jié)合周期性可得在上是增函數(shù)，利用、是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性可得，，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得（4）（5）正確，當(dāng)時(shí)，可得（2）（3）不正確.【題目詳解】∵，令，得，又是偶函數(shù)，則，∴，且，可得函數(shù)是周期為2的函數(shù).故，為奇數(shù).故（1）正確；∵、是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，∴，可得，∵在區(qū)間上是增函數(shù)，，∴，即鈍角三角形的兩個(gè)銳角、滿足，由在區(qū)間上是減函數(shù)得，∵函數(shù)是周期為2的函數(shù)且在上是減函數(shù)，∴在上也是減函數(shù)，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，可得在上是增函數(shù).∵鈍角三角形的兩個(gè)銳角、滿足，，且，，∴，.故（4）（5）正確；當(dāng)時(shí)，，，，，故（2）（3）不正確.故答案為：（1）（4）（5）【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.12、②③【解題分析】由條件可得方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，然后逐一判斷即可.【題目詳解】∵在上單調(diào)遞增，由條件②可知，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；∵x+1=x無實(shí)數(shù)解，∴①不存在“遞增黃金區(qū)間”；∵的兩根為：1和2，不難驗(yàn)證區(qū)間[1，2]是函數(shù)的一個(gè)“遞增黃金區(qū)間”；在同一坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下：由圖可得方程有兩個(gè)根，∴③也存在“遞增黃金區(qū)間”；在同一坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下：所以沒有實(shí)根，∴④不存在.故答案為：②③.13、【解題分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到，代入不等式得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解得答案.【題目詳解】?jī)绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故，解得.，故，，.當(dāng)時(shí)，不關(guān)于軸對(duì)稱，舍去；當(dāng)時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱，滿足；當(dāng)時(shí)，不關(guān)于軸對(duì)稱，舍去；故，，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故或或，解得或.故答案為：14、(1,2)【解題分析】令真數(shù)，求出的值和此時(shí)的值即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)【題目詳解】令得：，此時(shí)，所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，故答案為：15、【解題分析】由函數(shù)過點(diǎn)可求得參數(shù)a的值，進(jìn)而解對(duì)數(shù)不等式即可解決.詳解】由函數(shù)過點(diǎn)可得，，則，即，此時(shí)由可得即故答案為：16、（2，0，0）（答案不唯一）【解題分析】利用空間兩點(diǎn)間的距離求解.【題目詳解】解：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，所以，故答案為：（2，0，0）（答案不唯一）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）.【解題分析】(1)確定函數(shù)的對(duì)稱軸，從而可得函數(shù)的單調(diào)性，利用的定義域和值域均是，建立方程，即可求實(shí)數(shù)的值；(2)由函數(shù)的單調(diào)性得出在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而求出在上的最大值和最小值，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】易知的對(duì)稱軸為直線，故在上為減函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，即，，代入解得或（舍去）.故實(shí)數(shù)的值為2.【小問2詳解】∵在是減函數(shù)，∴.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∴，，又，∴.∵對(duì)任意的，總有，∴，即，解得，又，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)的定義，求參數(shù)的值；（2）由題意可知恒成立，分離參數(shù)后可得，轉(zhuǎn)化求函數(shù)的值域，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，解得：；【小問2詳解】，由題意可知，恒成立，即，轉(zhuǎn)化為，令，函數(shù)的值域是，所以.19、（1）2；（2）.【解題分析】（1）由條件利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求得要求式子的值．（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方即可求解【題目詳解】（1）原式.（2）因?yàn)椋瑑蛇呁瑫r(shí)平方，得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟記公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題20、（1）A產(chǎn)品的利潤(rùn)y關(guān)于投資x的函數(shù)解析式為：；B產(chǎn)品的利潤(rùn)y關(guān)于投資x的函數(shù)解析式為：.（2）①萬元；②當(dāng)投入B產(chǎn)品的資金為萬元，投入A產(chǎn)品的資金為萬元，該企業(yè)獲得的總利潤(rùn)最大，其最大利潤(rùn)為萬元.【解題分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)，運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可；（2）①：利用代入法進(jìn)行求解即可；②利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)锳產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資x成正比，所以設(shè)，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以有，所以；因?yàn)锽產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資x的算術(shù)平方根成正比，所以設(shè)，由函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，，所以有，所以；【小問2詳解】①:將200萬元資金平均投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，所以A產(chǎn)品的利潤(rùn)為，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為，所以獲得總利潤(rùn)為萬元；②：設(shè)投入B產(chǎn)品的資金為萬元，則投入A產(chǎn)品的資金為萬元，設(shè)企業(yè)獲得的總利潤(rùn)為萬元，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，所以當(dāng)投入B產(chǎn)品的資金為萬元，投入A產(chǎn)品的資金為萬元，該企業(yè)獲得的總利潤(rùn)最大，其最大利潤(rùn)為萬元.21、(1)(2)【解題分析】(1)由題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義得到關(guān)于a的表達(dá)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定的取值范圍即可；(2)利用換元法將原問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，然后求解實(shí)數(shù)的取值范