高中數(shù)學第三章三角函數(shù)31弧度制與任意角311角的概念的推廣課件湘教版必修2

第3章——三角函數(shù)第3章——三角函數(shù)3.1弧度制與任意角3.1.1角的概念的推廣[學習目標]1.掌握正角、負角和零角的概念,理解任意角的意義.2.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念,會用集合符號表示這些角．3.1弧度制與任意角[學習目標]1.掌握正角、負角和零角的1預習導學挑戰(zhàn)自我，點點落實2課堂講義重點難點，個個擊破3當堂檢測當堂訓練，體驗成功1預習導學挑戰(zhàn)自我，1．手表慢了5分鐘,如何校準？手表快了半小時,又如何校準？答

可將分針順時針方向旋轉30°；可將時針逆時針方向旋轉180°.2．在初中角是如何定義的？答

定義1：有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫做角．定義2：平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角．3．初中所學角的范圍是什么？答

角的范圍是[0°,360°]．[知識鏈接]1．手表慢了5分鐘,如何校準？手表快了半小時,又如何校準？[1．角的概念(1)角的定義：角可以看成平面內(nèi)

繞著

從一個位置

到另一個位置所成的圖形．(2)角的表示方法：①常用大寫字母

等表示；②也可以用希臘字母

,

,

等表示；③特別是當角作為變量時,常用字母

表示．[預習導引]一條射線端點旋轉A,B,Cαβγx1．角的概念[預習導引]一條射線端點旋轉A,B,Cαβγx(3)角的分類：一條射線繞著端點以

的旋轉為正向,所成的角稱為

,用

來表示；

旋轉所成的角稱為

,用負的角度來表示；不旋轉所成的角稱為

,用

表示．逆時針方向正角正的角度順時針方向負角零角0°(3)角的分類：逆時針方向正角正的角度順時針方向負角零角0°2．象限角角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,那么,角的終邊(除端點外)在第幾象限,就說這個角是

.如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限．3．終邊相同的角設α＝∠AOB,則所有以OA為始邊,OB為終邊的角都是α與______________的和,組成集合

,即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與

的和.第幾象限角整數(shù)個周角整數(shù)個周角S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}2．象限角第幾象限角整數(shù)個周角整數(shù)個周角S＝{β|β＝α＋k例1

在下列說法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③鈍角都是第二象限角；④小于90°的角都是銳角.其中錯誤說法的序號為________要點一任意角概念的辨析例1在下列說法中：要點一任意角概念的辨析解析①0°～90°的角α是指0°≤α＜90°,0°角不屬于任何象限,所以①不正確.②120°是第二象限角,390°是第一象限角,顯然390°>120°,所以②不正確.③鈍角α的范圍是90°＜α＜180°,顯然是第二象限角,所以③正確.④銳角α的范圍是0°＜α＜90°,小于90°的角也可以是零角或負角,所以④不正確.答案①②④解析①0°～90°的角α是指0°≤α＜90°,0°角不屬于規(guī)律方法判斷說法錯誤,只需舉一個反例即可.解決本題關鍵在于正確理解各類角的定義.隨著角的概念的推廣,對角的認識不能再停留在初中階段,否則判斷容易錯誤.規(guī)律方法判斷說法錯誤,只需舉一個反例即可.解決本題關鍵在于跟蹤演練1

設A＝{小于90°的角},B＝{銳角},C＝{第一象限角},D＝{小于90°而不小于0°的角},那么有(

)A.B

C

A B.B

A

CC.D

(A∩C) D.C∩D＝B跟蹤演練1設A＝{小于90°的角},B＝{銳角},C＝{第解析銳角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范圍,如下表所示.角集合表示銳角B＝{α|0°<α<90°}0°～90°的角D＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90,k∈Z}答案D解析銳角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范要點二象限角的判定例2

在0°～360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因為－150°＝－360°＋210°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與－150°角終邊相同的角是210°角,它是第三象限角.(2)因為650°＝360°＋290°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與650°角終邊相同的角是290°角,它是第四象限角.(3)因為－950°15′＝－3×360°＋129°45′,所以在0°～360°范圍內(nèi),與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角,它是第二象限角.要點二象限角的判定例2在0°～360°范圍內(nèi),找出與下列規(guī)律方法本題要求在0°～360°范圍內(nèi),找出與已知角終邊相同的角,并判斷其為第幾象限角,這是為以后證明恒等式、化簡及利用誘導公式求三角函數(shù)的值打基礎.規(guī)律方法本題要求在0°～360°范圍內(nèi),找出與已知角終邊相跟蹤演練2

給出下列四個說法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角,其中正確的有(

)A.1個 B.2個

C.3個 D.4個跟蹤演練2給出下列四個說法：①－75°角是第四象限角；②2解析對于①：如圖1所示,－75°角是第四象限角；對于②：如圖2所示,225°角是第三象限角；對于③：如圖3所示,475°角是第二象限角；對于④：如圖4所示,－315°角是第一象限角.答案

D解析對于①：如圖1所示,－75°角是第四象限角；答案D要點三終邊相同的角的應用例3

在與角10030°終邊相同的角中,求滿足下列條件的角.(1)最大的負角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角.解(1)與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z),由－360°<k·360°＋10030°<0°,得－10390°<k·360°<－10030°,解得k＝－28,故所求的最大負角為β＝－50°.(2)由0°<k·360°＋10030°<360°,得－10030°<k·360°<－9670°,解得k＝－27,故所求的最小正角為β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10030°<720°,得－9670°≤k·360°<－9310°,解得k＝－26,故所求的角為β＝670°.要點三終邊相同的角的應用例3在與角10030°終邊相同規(guī)律方法求適合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構建不等式求出k的值.規(guī)律方法求適合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求跟蹤演練3

寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合,并把集合中適合不等式－720°≤β<360°的元素β寫出來.解由終邊相同的角的表示知與角α＝－1910°終邊相同的角的集合為：{β|β＝k·360°－1910°,k∈Z}.∵－720°≤β<360°,即－720°≤k·360°－1910°<360°(k∈Z),跟蹤演練3寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合,并把k＝4時,β＝4×360°－1910°＝－470°；k＝5時,β＝5×360°－1910°＝－110°；k＝6時,β＝6×360°－1910°＝250°.k＝4時,β＝4×360°－1910°＝－470°；要點四區(qū)域角的表示例4

寫出終邊落在陰影部分的角的集合.解設終邊落在陰影部分的角為α,角α的集合由兩部分組成.①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°,k∈Z}.②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°,k∈Z}.∴角α的集合應當是集合①與②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°,k∈Z}要點四區(qū)域角的表示例4寫出終邊落在陰影部分的角的集合.∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°,k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°,k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°,k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°,或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°,k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°,n∈Z}.∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°,規(guī)律方法解答此類題目應先在0°～360°上寫出角的集合,再利用終邊相同的角寫出符合條件的所有角的集合,如果集合能化簡的還要化成最簡.本題還要注意實線邊界與虛線邊界的差異.規(guī)律方法解答此類題目應先在0°～360°上寫出角的集合,再跟蹤演練4

已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°,k∈Z},集合B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°,k∈Z}.求：(1)A∩B；(2)A∪B.解

在直角坐標系中,分別畫出集合A,B所包含的區(qū)域,結合圖形可知,A∩B＝{θ|30°＋k·360°<θ<45°＋k·360°,k∈Z},A∪B＝{γ|k·360°－45<γ<k·360°＋90°或k·360°＋210°<γ<k·360°＋270,k∈Z}.跟蹤演練4已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α<k·1.－361°的終邊落在(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D12341.－361°的終邊落在()D12342.集合A＝{α|α＝k·90°－36°,k∈Z},B＝{β|－180°＜β＜180°},則A∩B等于(

)A.{－36°,54°} B.{－126°,144°}C.{－126°,－36°,54°,144°} D.{－126°,54°}解析令－180°＜k·90°－36°＜180°,則－144°＜k·90°＜216°,當k＝－1,0,1,2時,不等式均成立,所對應的角分別為－126°,－36°,54°,144°,故選C.1234C2.集合A＝{α|α＝k·90°－36°,k∈Z},B＝{β3.若角α滿足180°<α<360°,角5α與α有相同的始邊,且又有相同的終邊,那么角α＝________.解析由于5α與α的始邊和終邊相同,所以這兩角的差應是360°的整數(shù)倍,即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°,令k＝3,得α＝270°.1234270°3.若角α滿足180°<α<360°,角5α與α有相同的始邊4.寫出終邊落在坐標軸上的角的集合S.解終邊落在x軸上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°,k∈Z}；終邊落在y軸上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°,k∈Z}；∴終邊落在坐標軸上