2023學(xué)年完整公開課版數(shù)系的擴(kuò)充

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念雙遼一中高二數(shù)學(xué)組姜爽計(jì)數(shù)的需要自然數(shù)（正整數(shù)與零）解方程x+3=1整數(shù)解方程3x=5有理數(shù)解方程x2=2實(shí)數(shù)NZQR可以發(fā)現(xiàn)數(shù)系的每一次擴(kuò)充，解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不能實(shí)施的矛盾，且原數(shù)集中的運(yùn)算規(guī)則在新數(shù)集中得到了保留數(shù)系的擴(kuò)充14:26解方程x2+1=0發(fā)現(xiàn)此方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，說明現(xiàn)有的數(shù)集不能滿足我們的需求，那么我們必須把數(shù)集進(jìn)一步擴(kuò)充合情推理，類比擴(kuò)充情境引入14:26為了解決負(fù)數(shù)開平方問題，數(shù)學(xué)家大膽引入一個新數(shù)

i，把

i

叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定：(1)i2

1；(2)實(shí)數(shù)可以與

i

進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算,并且在進(jìn)行運(yùn)算時,原有的加法與乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律)仍然成立.問題解決14:26形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),實(shí)部虛部復(fù)數(shù)的代數(shù)形式全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，

通常用字母z表示.一般用字母C表示C={a+bi|a,bR}.復(fù)數(shù)的概念14:26如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等.即▲復(fù)數(shù)相等思考若14:26若2

-

3i

=

a

-

3i,求實(shí)數(shù)a的值；若8

+

5i

=

8

+

bi,求實(shí)數(shù)b的值；若4

+

bi

=

a

-

2i，求實(shí)數(shù)a,b的值。練一練14:261、復(fù)數(shù)z=a+bi2.復(fù)數(shù)集、虛數(shù)集、實(shí)數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a∈

R、b∈

R)能否表示實(shí)數(shù)？2.復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間有什么關(guān)系？復(fù)數(shù)的分類14:26虛數(shù)（純虛數(shù)（a=0且b≠0））復(fù)數(shù)z=a+bi(a∈

R、b∈

R)實(shí)數(shù)1、若a=0,則z=a+bi(a∈

R、b∈

R)為純虛數(shù).2、若z=a+bi(a∈

R、b∈

R)為純虛數(shù),則a=0.判斷（假）（真）3、a=0是z=a+bi(a∈

R、b∈

R)為純虛數(shù)的

條件.必要不充分練一練14:26例實(shí)數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)

是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解:（1）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)．（2）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．（3）當(dāng)即時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．練習(xí):當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時，復(fù)數(shù)是（1）實(shí)數(shù)（2）虛數(shù)（3）純虛數(shù)14:26能否找到用來表示復(fù)數(shù)的幾何模型呢？我們知道實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示。x01一一對應(yīng)實(shí)數(shù)數(shù)軸上的點(diǎn)(形)(數(shù))實(shí)數(shù)的幾何模型:復(fù)數(shù)的幾何意義14:26復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)xy0Z(a,b)建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面——復(fù)平面x軸——實(shí)軸y軸——虛軸ab（數(shù)）（形）一一對應(yīng)z=a+bi一一對應(yīng)一一對應(yīng)14:26復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)（數(shù)）（形）一一對應(yīng)一一對應(yīng)一一對應(yīng)xy0Z(a,b)abz=a+bi一一對應(yīng)14:26實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義:復(fù)數(shù)的模其實(shí)是實(shí)數(shù)絕對值概念的推廣xOAa|a|=|OA|實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離.xOz=a+biy|z|=|OZ|復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離.的幾何意義:Z(a,b)14:26(A)在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上；(B)在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上；(C)在復(fù)平面內(nèi),實(shí)軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù);(D)在復(fù)平面內(nèi),虛軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù).1.下列命題中的假命題是（）D2.“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)所對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上”的()(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)不充分不必要條件C3.已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第二、四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.練一練1.虛數(shù)單位i的引入；2.復(fù)數(shù)有關(guān)概念：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)的分類3.幾何意義小結(jié)14:261545年意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”

卡丹

第一次開始

討論負(fù)數(shù)開平方的問題，當(dāng)時復(fù)數(shù)被他稱作“詭辯量”.幾乎過了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個名字——虛數(shù)．但是又過了140年，歐拉還是說這種數(shù)只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虛幻的

縮寫）來表示它的單位.后來德國數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定