2021屆高考數學教學案第2章第講函數的奇偶性與周期性含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高考數學人教版一輪創(chuàng)新案：第2章第3講 函數的奇偶性與周期性含解析第3講函數的奇偶性與周期性［考綱解讀］ 1.了解函數奇偶性的含義．2．會運用基本初等函數的圖象分析函數的奇偶性（重點）3了解函數周期性最小正周期的含義會判斷應用簡單函數的周期性(重點)［考向預測］ 從近三年高考情況來看，函數的奇偶性與周期性是高考的一個熱點預測2021年高會側以下點①函奇偶性判斷應用②函周性的斷及用；綜利用函數奇性、期性單調求數的或解等式.1。函數的奇偶性!奇偶性 定義 圖象點!一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個偶函數 x,都有錯誤f－xfx， 關于錯誤!y軸對稱那么函數f(x）就叫做偶函數一般地，如果對于函數f（x）的定義域內任意一奇函數 個x,都有錯誤!f(－x）＝－f(x),那么函數f(x就叫做

關于04原點對稱學必求其心得，業(yè)必貴于專精奇函數2．周期性(1數＝（x如果在一非常數T,使得當x取定義域內的任何值時，都有01f（x＋T）＝f(x，那么就稱函數＝f()為周期函稱T為這個函數的周期．(2）最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個錯誤最小的正數那么這錯誤最小正數就叫f)的最小正周期．1．概念辨析（1“ab＝0“函數f(x間ab（a≠b偶性（ )(2)若函數f（x)是數有f(）＝0.( )（3數＝（＋a數＝f(關線＝a．( ）(4)若函數＝（＋b數＝（)的圖象關于點(b)中（ )（5)已知函數＝f（）是定義在R上的偶函若在（，0)上是減函則(0,＋∞）上是增函數（ )（6)若T為y＝f(x）的一個周期，那么nT（n∈）也是函數f（)的周期( ）答案 (1)√ （）×(3)√ √（5）√ (6)×2．小題熱身（1)下列函中為函數是(A．＝2sinx．＝|ln｜

)．＝2cosxD．＝2－x學必求其心得，業(yè)必貴于專精答案 A解析 A是奇函數,B是偶函數，D是非奇非偶函數．(2若f(x)是R為2足f(11（2＝2則f（3)－f(4)＝________.答案 －1解析 因為f（x）是R上周期為2的函數，所以f（3）f（＝1，f(4)＝f2)2,所以f（3）－f（＝1－2＝－1.（3）設f（x)是定義在R當x>0時，f(x）＝x2＋1,則f(－2)＋f(0）＝________。案 －5析 為f(x)是定義在R，以f－2－f(2）＝－22＋－5，f(0)＝0，所以f（－2）＋f)－5.(4）偶函數y＝f(x）的圖象關于直線x＝2對稱f＝3則f(－1）＝________.答案 3解析 因為函數y＝f(x)是偶函數，所以f(－1)＝f1，因為函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以f(1）＝f3＝3。綜上可知（1)＝3.(5）設奇函數f（x)的定義域為［5,5]，若當x［0,5]時（x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為________．答案 (－2，)（2,5]學必求其心得，業(yè)必貴于專精解析 因為函數f(x)是奇函數所以其圖象關于原點中心對稱，作出其圖如右,觀察圖象可知，不等式f(x)＜0學必求其心得，業(yè)必貴于專精題型一 函數的奇偶性角度1 判斷函數的奇偶性1（2020·成都市高階段試）知y＝f(x）是定義在R上的奇函，則列函中為函數是( ）①y＝f（|x｜)；②y＝f(－x)；③y＝xf（x；④y＝f（x)＋x.A③ ③④ D④案 D析 為y＝f（x）是定義在R以f（－x）＝－f(x,由（|－x｜＝f(｜x|),知①是偶函數由f[－(－x)]＝f(x)＝－（－x由y＝f(x）是定義在R上的奇函數，且y＝x是定義在R上的奇函數奇奇＝知③是偶函數由f(－x）＋(－x)＝－[f（x）＋x］,知④是奇函數．2．判斷下列函數的奇偶:(1)f(x)＝3－x2＋錯誤!；（2）f(x)＝（1－x)錯誤；(3）f（x）＝錯誤!；x2＋x，(4）f(x）＝，－x2＋x，x>0.解 （1)錯誤得x2＝3，解得x＝±錯誤!，即函數f（x)的定義域為{－錯誤,錯誤}，∴f（x)＝錯誤!＋錯誤＝0。學必求其心得，業(yè)必貴于專精∴f(－x)＝－f(x)且f（－x）＝f(x)，∴函數f（x)既是奇函數又是偶函數．(2)錯誤≥0得－1≤x〈1，所以f(x)的定義域為［1，1，所以函數f(x）是非奇非偶函數．(3）錯誤得定義域(－1,0）∪(0,1)，關原對．∴x－2<0，∴｜x－2｜－2＝－x，∴f（x)＝錯誤!.又f（－x)＝錯誤!＝錯誤!＝－f（x，∴函數f(x）為奇函數．(4）顯然函數f（x)的定義域為(－∞，0)∪（0，＋∞）,關于原點對稱．∵當x<0時，－x>0,則f(－x）＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f（x；當x〉0時，－x<0，則f（－x）＝（－x)2－x＝x2－x＝－f（x)；意x，有f（－x）＝－f(x)，∴函數f（x)為奇函數．度2 用3．(·衡擬)知f（x）是定義在R若x＞0時,f(x）＝xlnx，則x＜0時，f（x)＝（ ）A．xlnxC．－xlnx

B．xln(－x）D．－xln(－x）答案 B解析 設x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝－xln(－x．又f(x）是定義在R以f(－x－（x)以（x＝xn(－x)．4數f（x)＝錯誤!的最大值為M最小值為，則（M＋N－1)200為（ )學必求其心得，業(yè)必貴于專精A．1．22020

．2D．32020答案 A解析 由已知x∈R，f（x）＝錯誤＝錯誤＝錯誤＋1。令g(）＝錯誤，易知g（x）為奇函數，由于奇函數在對稱區(qū)間上的最大值與最小值和為0,所以＋＝）5．若(ex＋1）＋ax是偶函數，則a＝_______。3答案 23解析 為e3x＋＋ax是以f－x＝f（x以3x＋)＋a，所以－3a＝a,解得a＝－錯誤。解法二函數e3x＋)＋ax為偶函故f(－x＝（)，即（3x＋1＋a，化簡得2ax，即錯誤＝2ax，整理得2ax＋3x＝1.所以2a＋3x＝0,解得a＝－錯誤。1．判斷函數奇偶性的三種方法（1)定義（舉例明2）學必求其心得，業(yè)必貴于專精(2）圖象法(3)性質法如例明1（③，4）設f(x)(定域是D12，它共義奇,奇偶,偶＋偶＝偶,偶偶＝偶奇偶＝奇．2．函數奇偶性的應用(1求函數:將待求值利用奇偶性轉化為求已知解析式的區(qū)間上的函數值．(2)求求到間上義明3.(3)求解析中參數:利用待系法解根據f(x（－）＝0到于數恒式由數對性等恒立條件得方程(組)，進而得出參的值．舉例說明5。（4)區(qū)．（5）求特殊值：利用奇函數的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結構的函數值．如舉例說明4。注意：對于定義域為I的奇函數f（),若0∈I，則f（0）＝0。學必求其心得，業(yè)必貴于專精1．已知R上的奇函數,當則f（－2)等( )A．－3 B．－錯誤!C.錯誤! D．3答案A解析 由已知得f(0＝20＋0。解得＝1.當所以f（2)＝f(2)＝－221－3。2．(·遼寧名校考函數錯誤的圖象（ )A．關于x．關于直線x

．關于原點對稱D．關于y答案 B解析 記錯誤!,定義域為(－,－2)∪(,＋∞．∵f為函即數錯誤的圖象關于原點對稱．3（2020·武漢聯(lián)考)若義在R上函數 )e）

答案 D解析 又學必求其心得，業(yè)必貴于專精由①②解得g(x)＝錯誤故選。題型二 函數的周期性1．(2019·溫州模擬已知義在R上的函數f（）的最小正周期等于T，則下列函數的最小正周期一定等錯誤的是（ )A．f（2x)．2f（）

B．f錯誤!D．f（2)答案 A解析 由已知得f(x＋T＝f(x所以f2x＋T)＝(2x即錯誤!T＝（2)所以函數f(2x)的周期是2f錯誤＝錯誤即f錯誤＝錯誤，所以函數f錯誤的周期是2T2f(x＋)2（)，數2（)的是T數f（x2）．T學必求其心得，業(yè)必貴于專精2已知定義在R上的函數fx)滿足f(x＋2)＝f

1x

,當x∈[0,2)時，f(x）＝x＋ex，則f（2020）＝________.答案 1解析 因為定義在R上的函數f(x)滿足f（x＋2）＝錯誤!，所以f（x＋4)＝錯誤!＝f（x）,所以函數f（x）的周期為4.當x∈[0,2）時，f（x)＝x＋ex，所以f（2020）＝(50540)f（0＝0＋0＝1.1．求函數周期的方法方法 解讀 適合題型具體步驟為:對于函數y＝f（x)，如定義法

果能夠找到一個非零常數T使得當數T定x有（x的函數，如舉例說明＋T＝f(x,那么T數y＝f(x）1期采用遞推的思路進行,再結合定義確遞推定周期．:若f(x＋a)＝－f（x）,則法 f(x＋2a＝f[(x＋a)＋a－f(x＋a)＝f(x),所以2a為f(x)的一個周期

含有（x＋a)與f（x)的關系式，如舉例說明2通過換元思路將表達式化簡為定義換元式的結如:若f（x＋a)＝f(x－a)，f(bx±a)fbx±c)關法 令x－a＝t，則x＝t＋a，則ft＋)式＝f(t＋a＋a）＝f（t＋a－a）＝f(t),學必求其心得，業(yè)必貴于專精所以2a為f(x）的一個周期2．函數周期性的應用根據函數的周期性,可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉化到已知區(qū)間的功能．在解決具體問題時，要注意結論：若T函期,則kT（k∈Z且k≠0)也是函數的周期．如舉例說明2。1（2019·綿擬)函數f（x)＝錯誤!則f(9）_____。答案 1解析 f(9)f9－)＝f)＝f5－)＝（1)＝2×11＝1.2．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數，且當0≤x<2時，f（x）＝x3－x,則函數y＝f（x)的圖象在區(qū)間[0,6］上與x的為_．案 7析 當0≤x〈2時，f(x)＝x3－x,又f（x）是R上最小正周期為2的周期函數，且f（0）＝，則f（6)＝f(4)f2)＝f0）0。又f（1)＝0，∴f（3）f5＝(1）＝0，故函數y＝f(x）的圖象在區(qū)間[0，6］上與x軸的交點有7個．題型三 函數性質的綜合應用角度1 單調性與奇偶性結合1(2019·數（x為R當x≥0時f(x單調遞減若（2)＞f1－)則a取圍（ ）學必求其心得，業(yè)必貴于專精A。錯誤! B。錯誤!C。錯誤! D。錯誤!答案 C解析 因為函數（x為R以f(2a)（1－a)f｜a｜)＞(1－a｜又當x≥0時fx單調遞減所以|2a｜＜1－a以(a）2＜（1a）2即3a2＋a－1－1＜a＜錯誤。角度2 周期性與奇偶性結合2(2018·知f(x為(－∞＋∞函足f(1－x）＝f（1＋x．若f(1＝2則f(1＋(2)＋）＋…＋f(50)＝（ )A．－50 ．0．2 D．50答案C解析 因為f（x)是定義域(－∞，＋∞)的奇函數,且滿足f（1－x)＝（1＋x以（1＋x)－f(x－1)f(x＋4)＝f[1（x＋3)]＝（－x－2)＝－f(x＋2)＝－［1－(x＋1)]＝－f(－x)＝（x)以f(x)為4的函．此f(1＋f(2）(3＋＋f(50）＝2［（12＋（34＋f(1f(2),因為（3f（1)，f(4)＝－f(2，所以f（1）＋f（2）f（3）f（4）0,因為f(2）f(24＝f(－2）＝f，所以f(2）0從而f（1)＋f(2）f3)＋＋f(50)＝(1），故選C。角度3 單調性、奇偶性和周期性結合3（2019·青島二中擬）知定在R上的函數f(x)滿足:①f（x＋2＝（x)②（x－2）函③當x∈[01錯誤!＞0（x1≠x2成立f錯誤，f（4)f錯誤的大小關系正確的是（ )學必求其心得，業(yè)必貴于專精A．f錯誤＞f(4)＞錯誤!B．f（4）＞錯誤＞f錯誤!C．f錯誤＞f(4）＞錯誤!D．f錯誤＞f錯誤＞f(4）答案 C解析 由f(x＋2)＝f(x)可知函數（x的周期為2,所以f(x)＝f(x－2，又f（x－2)為奇函數，所以f(x）為奇函數，所以f錯誤＝f錯誤＝錯誤,f(4）＝f4－2＝f（0＝0.f錯誤＝錯誤＝f錯誤，又x∈[0，1)時，f(x)單調遞增．故奇函數f(x)在（－1，1）上單調遞增．所以f錯誤＞f（0）錯誤，即f錯誤＞f(4）＞錯誤。函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略（1)個質:數（x)是偶函數，那么f(x)＝（|x｜)．②奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性．如舉例說明1.（2)利用奇偶性及周期性進行變換,將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．如舉例說明2。（3)利用周期性、奇偶性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用單調性求學必求其心得，業(yè)必貴于專精解．如舉例說明3。1．已知函數f(x）＝(m＋n)(x－1)為偶函數，且（－∞，0）上單遞，則f（2－＞0解集（ )A（1，3)．(－1，1)

．(－∞，1）∪(3＋)D（－,－1)∪1，)答案 A解析 f(x)＝(x－)(m＋n）＝m2＋(n－m）x－n。∵數f（x（mx＋n)（x－1)為偶函數，∴f（－）＝f（x)．即m2＋(n－m)x－nm2－(n－m)－n，得（n－m)＝（－)，即n－m＝則m＝n，則f（＝m2－m，∵f（x)在(－∞，0增∴m＜0，由f（2－＞0，得m（2－)2－m＞0，即(2－x)21＜02－4＋3＜0，得1＜＜3，即不等式的解集(1,3)．2(2019·廣東模擬)定在R上數（足f(＝f2－x),f(x)＝－－且［01]上有fx＝2則f錯誤＝( )A。錯誤! B.錯誤!C．錯誤! D．錯誤!答案 D解析 因為f（x）＝－f(－x，所以f(）是奇函數，因為f(x）＝f(2－)，所以f(－x）＝f（＋）＝f(x所以f（4＋x）＝f－2－)＝f(2＋）＝f（，學必求其心得，業(yè)必貴于專精所以函數f（x）是以4為周期的函,所以f錯誤＝f錯誤＝錯誤!＝f錯誤,因為在0，1有f（x）＝x2，以f錯誤＝錯誤2＝錯誤，所以f錯誤＝－f錯誤＝錯誤。3在R數f（x)滿足f(x－4）＝－f（x)，且間 )A．f（－25)<f（)〈f（0）．f（80）<f（f－25)．f（<f（<f(－5）D．f(－25）<f(80〈f（)案 D析 為（x－4)＝－f(x,所以f(x－8)＝－f(x－4)＝（x,所以函數f(x）的周期T＝8，所以（－25）f（1),f（1＝f（3－f(1)f（1，f(8）f)數f（x）在區(qū)f（x）在區(qū)間［－2,2］上是增函數，所以f（－1）f(0〈f（1),所以f(25)f（80)〈1．學必求其心得，業(yè)必貴于專精組 基礎關1．(0·武威模擬)下列函數中，既是奇函數，又在區(qū)間(0,＋∞)上單遞增是( )A．f（）＝x－e－x．f（＝＋錯誤!

．f（)＝tanxD．f（)＝x|答案 A解析 （)＝|x｜是偶函數,排除Df(x)＝x＋錯誤（0＋∞)上先后增,排除C；f()＝tanx在(0，＋∞)上不單函，排除B;f（x＝ex－－x符合題意．2數＝f(xy＝g(數y＝f(x·g(x)為( )案 A析為（)為（)以＝)·g(x)為奇函數，排除B;由兩函數的圖象可知當x∈錯誤!時，y＝學必求其心得，業(yè)必貴于專精f(x)·g(x)<0；當x∈錯誤時＝f（）·g(）0項A符選A.73（2020·煙臺應練習)已知在R上函數（x)的周期為2，且足f（x）＝錯誤若f錯誤＝f錯誤則f(5)等于（ ）7A16 B．－錯誤!C.錯誤! D.錯誤!答案B解析 由于函數（)的周期為2以f錯誤＝f錯誤＝－錯誤＋a錯誤＝f錯誤＝錯誤＝錯誤,所以錯誤＋a＝錯誤以a錯誤，因此f（5a）(3)＝f(－1）＝1錯誤＝錯誤。故選。4．已知函數y＝（）x是偶函數，且f（2)1,則－2)＝（ ）A．2 ．3．4 D．5答案D解析 ∵＝（＋xf(－x)－)＝f(x＋，∴f(－x＝f（x)＋2x＝2f(－2＝f2＋45,故選D.5（219·成若數f(x)＝1錯誤的圖象關于原點對稱，則實數a等于（ )A．2 ．1．1答案 A解析 由已知,函數

D．2f（x）為奇函數，所以f（1）＋f（－1)＝0,即1－錯誤＋1錯誤＝0，1－a1＋2a0,解得a＝－2。6(2019·合肥模)已知偶函數（)［0＋∞)上，數a，b，“a>b"是“f（a）>f（b）”的( )學必求其心得，業(yè)必貴于專精A．充分不必要條件．充要條件

．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案 A解析 因為f（x)是偶函數，所以f(｜b）＝f（b．因為f（x）［0,＋∞)上單遞a＞b|≥0.以f(a＞(b＝f(b若fa）＞（)例－3＝(3)1而－3＜1｜.由f(a)f(b）到a＞b｜.以“a｜b｜”“（a＞fb要．7（2020·沈陽市高質檢已知數f（x）＝錯誤!,實數ab滿足不等式f（2a＋)＋4－3b）＞0，則下列不等關系恒成立的是（ )A．b－a＜2．b－a＞2

．a＋2b2D．a＋2b2答案 C解析 由題意知f（－x）＝錯誤!＝錯誤!＝－錯誤!＝－f（x),所以數f(x)為奇函數，又（x)＝錯誤＝錯誤＝錯誤－1以（x在R上為減函數，由f(2a＋b）＋f(－3b)＞0，得f（2a＋b）＞f（4－3)＝f3b4，故2a＋b3－4，即b－a2.故選C.8數（x)是奇函數，當x＞0時,（x＝lgx，則錯誤!的值_______．答案 －lg2解析 由已知得f錯誤＝lg錯誤＝2f－2＝f2＝g2，以f錯誤＝lg2.9已知奇函數（x)(x∈R)滿足（x＋4)＝f(x－2)且當x∈[－3,0)時，f（x）＝錯誤!＋3si錯誤!x，則f（2021）＝________。答案 －4解析 因為函數f(x)（x∈R）為奇函數滿足f（x＋4)＝f（x－學必求其心得，業(yè)必貴于專精2)，所以f(x＋)f（)，數f(x以6，當x∈[－3,0)時，f(x）＝錯誤＋3si錯誤x，所以f（2021）＝(33761）＝(－)＝錯誤＋3si錯誤＝4。10（202·甘肅天摸）設f(x)是定義在R上以2的當∈[0,1］時，f(x）＝log(x＋1，則函數f(x）在[1,］上的解析式_______．答案 f（x）＝log2(3－x）解析 因為f(x)是定義在R上以2為周期的函數，當x∈［0,1]時,f(x)＝log2（＋1)．所以設∈[1,2，則－2∈［－1，0，2－∈[0,1]．所以f(2－x)＝log［(2－x＋1]＝lo（3－x)，又f（)為偶函,所以f（x)＝f（x－2)＝f(2－x)＝lo2(3－)．組 能力關1．已知p：a，q：函數f（）＝ln（x＋錯誤)為奇函數，則p是q成立( ）A．充分不必要條件．充分必要條件

．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案 C解析 若函數f(x＝(＋a2＋x)為,則（－＋f(x)＝n(－x錯誤）n(＋錯誤）lna20，得a＝1.所以p是q成立的充分必要條件．2數（－aa＞0數,若g(x＝f(x＋2019，則g()的最大值最小之和為（ )學必求其心得，業(yè)必貴于專精A．0 ．1．2019 D．4038答案D解析 因為函數f（x）是定義在區(qū)間[－a，a］上的奇函數，）m m所以f(xm＋（x)mn＝0,所以g(x)m＋（）in＝[f(）a＋2019]＋[f(x）n＋2019＝f（)ma＋f(x）min＋4038）m m3(219·南擬數f(x)是周期為4數當［0，2（)＝x－1，式（x0在[－13為（ ）A（1,3)（－1，0)∪(1)

（－1，1）D．(－1,0）∪01）案 C析 若∈[－2，0－x∈[0，2],∵當x∈[0,2]時，f(x）＝－1，∴f（－x）＝－－1,∵f(x）是偶函數，∴（－)＝－x1＝f(x即當x∈[－20]時（)－－1，－22]內（)＝錯誤若［2,4]則x－4∈[－2，0，即f(x)＝f（x－4)＝－(x－4）－1＝－x＋3，x∈[2,4，作出函數f(