傅立葉變換與拉普拉斯變換

附錄A傅里葉變換1周期信號的頻譜分析一里葉級數(shù)FS狄立赫雷條件：在同一個周期71內(nèi)，間斷點的個數(shù)有限；極大值和極小值的數(shù)目有限；信號絕對可積j丁If(t)dt<*。傅里葉級數(shù)：正交函數(shù)線性組合。正交函數(shù)集可以是三角函數(shù)集｛1，conwit，si應(yīng)①J:nEN｝或復(fù)指數(shù)函數(shù)集化"唯：neZ｝，函數(shù)周期為匕，角頻率為2兀f=%T1任何滿足狄義赫利條件周期函數(shù)都可展成傅里葉級數(shù)。傅里葉級數(shù)：f(t)=a。+乙(ancon%t+bnsinn")n=1系數(shù)an和bn統(tǒng)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。稱f=1/7(/=?1)為信號的基波、基頻；f(七,i=2?n)為信號的n次諧波。ein?t+e~in(^t On3t—e~in(^t根據(jù)歐拉公式：cosn^t= ,sinnwt= 2 2i復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)：f(t)=E""%n=一8(1)周期信號的傅里葉頻譜：稱FJ為信號的傅里葉復(fù)數(shù)頻譜，簡稱傅里葉級數(shù)譜或FS譜。稱玲|｝為信號的傅里葉復(fù)數(shù)幅度頻譜，簡稱FS幅度譜。稱為傅里葉復(fù)數(shù)相位頻譜，簡稱FS相位譜。周期信號的FS頻譜僅在一些離散點角頻率nq(或頻率nf1)上有值。FS也被稱為傅里葉離散譜，離散間隔為％=2兀/71。FS譜、FS幅度譜和相位譜圖中表示相應(yīng)頻譜、頻譜幅度和頻譜相位的離散線段被稱為譜線、幅度譜線和相位譜線，分別表示FS頻譜的值、幅度和相位2非周期信號的頻譜分析一傅里葉變換(FT)信號f(t)的傅里葉變換：F(①)=jf(t)ef出=F'f(t』—8是信號f(t)的頻譜密度函數(shù)或FT頻譜，簡稱為頻譜(函數(shù))。頻譜密度函數(shù)F(w)的逆傅里葉變換為：f(t)=慕'F(3)"'以血=F—1[F("J2冗一8稱e-j"t為FT的變換核函數(shù)，ej"t為IFT的變換核函數(shù)。FT與IFT具有唯一性。如果兩個函數(shù)的FT或IFT相等，則這兩個函數(shù)必然相等。FT具有可逆性。如果f[f(t)]=F(w)，則必有F-1[F(w)]=f(t)；反之亦然。(6)信號的傅里葉變換一般為復(fù)值函數(shù)，可寫成F(w)=F(w)le79(W)

稱F皿)1為幅度頻譜密度函數(shù)，簡稱幅度譜，表示信號的幅度密度隨頻率變化的幅頻特性；稱偵雨=Arg(F(^))為相位頻譜密度函數(shù)，簡稱相位譜函數(shù)，表示信號的相位隨頻率變化的相頻特性。⑺FT頻譜可分解為實部和虛部：f(①)=Fr(①)+jF.(①)、， ■r、/i、’Fr(④)=F(④)1cosCp(④))F(①)I=\.'F2(①)、， ■r、/i、’Fr(④)=F(④)1cosCp(④))F.(q)=F(Q)lsinCp(Q)).f(t)\dt<8。S⑻FT存在的充分條件：時域信號f(t).f(t)\dt<8。S注意：這不必要條件。有一些并非絕對可積的信號也有FT。(2)FT及IFT在赫茲域的定義：F(f)=j8f(t)e-Pft；f(t)J8F(f)jfdf—8 —8⑶比較FS和FT：FSFT分析對象周期信號非周期信號頻率定義域離散頻率，諧波頻率處連續(xù)頻率，整個頻率軸函數(shù)值意義頻率分量的數(shù)值頻率分量的密度值3典型非周期信號的FT頻譜(1)單邊指數(shù)信號：(2)偶雙邊指數(shù)信號：f(2)偶雙邊指數(shù)信號：f(t)=e/(a>0)(3)矩形脈沖信號(b)頻譜(b)頻譜圖3(a)矩形脈沖信號(5)階躍信號：不滿足絕對可積條件，但存在FT圖6單位階躍函數(shù)及其幅度譜附錄B拉普拉斯變換及反變換一.拉普拉斯變換及逆變換定義式：設(shè)有一時間函數(shù)f(t)[0,8]或0WtW8單邊函數(shù)Mf(t)e-stdt=F(s)0-其中，S=。+j3是復(fù)參變量，稱為復(fù)頻率。左端的定積分稱為拉普拉斯積分，又稱為f(t)的拉普拉斯變換；右端的F(S)是拉普拉斯積分的結(jié)果，此積分把時域中的單邊函數(shù)f(t)變換為以復(fù)頻率S為自變量的復(fù)頻域函數(shù)F(S)，稱為f(t)的拉普拉斯象函數(shù)。以上的拉普拉斯變換是對單邊函數(shù)的拉普拉斯變換，稱為單邊拉普拉斯變換。如f(t)是定義在整個時間軸上的函數(shù)，可將其乘以單位階躍函數(shù)，即變?yōu)閒(t)￡(t)，則拉普拉斯變換為

F(S)=J"f(t)8(t)e-stdt0-其中積分下標(biāo)取0而不是0或0，是為了將沖激函數(shù)＜5(t)及其導(dǎo)函數(shù)納入拉普拉斯變換的范圍。+1 b+/"拉普拉斯反變換：f(t)=萬可8(t)Jb.F(S)eStdS這是復(fù)變函數(shù)的積分拉氏變換和拉氏反變換可簡記如下F(S)=L[f(t)] ；f(t)=L-i[F(s)]拉氏變換的基本性質(zhì)1線性定理齊次性L[af(t)]=aF(s)疊加性L[f(t)土f(t)]=F(s)土F(s)12 122微分定理一般形式df(t)L[dfj~1]=sF(s)-f(0)dtL[d/(t)]=s2F(s)-sf(0)-f(0)dt2:L[ f()]=snF(s)一切sn-kf(k-1)(0)dt"k=1r (八 d卜\f(t)f(k-1)(t)=,dtk-1初始條件為零時TVdnf(t)L[ ]=snF(s)dtn3積分定理一般形式lJf^)出]=地+ikys sL由f(t)(dt)2]=坦+也性+由f(t)(dt)2]t0s2 s2 sL[共n'Jf(t)(dt)n]=胃+E士[共k'^f(t)(dt)"],=°初始條件為零時k=1L[f.'jf(t)(dt)n]=嘗sn4延遲定理(或稱t域平移定理)L[f(t-T)1(t-T)]=e-TsF(s)5衰減定理(或稱s域平移定理)L[f(t)e-at]=F(s+a)

6終值定理limf(t)=limsF(s)ts st07初值定理limf(t)=limsF(s)tt0 ss8卷積定理L[f'f(t-T)f(T)d]=LJ'f(t)f(t-T)&]=F(s)F(s)01 2 01 2 1 2常用函數(shù)的拉氏變換和z變換表序號拉氏變換E(s)時間函數(shù)e(t)Z變換E(s)11<5(t)121—e-Ts5t(t)=Y5(t-nT):一13s1(t):一14tT(z-1)25t2T2z(z+1)2(z-1)36sn+1tnn!limi旦(-^)aT0n!danz一e-aT7s+ae—atz一e-aT8(s+a)2te—atTze—aT(z-e-aT)29os2+o2sinotzsinoTz2-2zcosoT+110s2+O2cosotz(z一cosoT)z2-2zcosoT+1二.拉普拉斯反變換的應(yīng)用用查表法進行拉氏反變換的關(guān)鍵在于將變換式進行部分分式展開，然后逐項查表進行反變換。設(shè)F(s)是s的有理真分式，即TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/、B(s)bsm+bsm-ihfbs+b / 、F(s)= =—m m-i 1o(n>m)A(s)asn+asn-i+ +as+an n-1 1 0式中，系數(shù)a,a，…,a,a和b,b,,b,b都是實常數(shù)；m,n是正整數(shù)。按代數(shù)01n-1n01 m-1m定理可將F(s)展開為部分分式。分.以下兩種情況討論。(1)A(s)=0無重根：這時，F(xiàn)(s)可展開為n個簡單的部分分式之和的形式，

F(s)= 1—+ 2—H \~ i—H \~ n—=Y i— (F-1)s-ss-ss-ss-s.]s-s式中，s,s，…,s是特征方程A(s)=0的根；c為待定常數(shù)，1 2 n數(shù)，可按下列兩式計算：c=lim(s-s.)F(s) (F-2)B(s)if'或 c=———稱為F(s)在si處的留(F-3)從式(F-1)可求得原(稱為F(s)在si處的留(F-3)從式(F-1)可求得原(F-4)f(t)=L-1F(s)]=L-1才-i=1c h s一si'寸乙ces.ii=1設(shè)A(s)=0有r重根s設(shè)A(s)=0有r重根s1，F(xiàn)(s)可寫為F(s)=—(s—s)r(s—s)?..(s—s)CCj+...+ Cns-ss-s其中，c]，.?,，c二? + \(s—s)r(s—s)r-1式中，s為F(s)的r重根，s,仍按式(F-2)或式(F-3)計算，"

+??-+ 1+r+4——+??-+(s-s)s-s…，s為F(s)的n-r個單根;cy…，c1則按下式計算:(F-5)c—lim(s-s)rF(s)r sTs1 1d—lim—[(s-s)rF(s)]sts.ds 1cr-1cr—j=—lim"")(s-s)rF(s)j!sts1ds(j) 1原函數(shù)f(t)為f(t)=L-1[F(s)]—L-1c—r 1 r—1 (s-s)r(s-s)r-1cc—r tr-1+ r—tr-2+??-+ct+c(r-1)! (r-2)! 2 1c—r+—sr+1c+…+——s-sic+…+ n—s-snt+切cestlii=r+1(F-6)用拉普拉斯變換解微分方程:例1求解常微分方程x"'+3x"+3X+x=6e-tx(0)=x'(0)=x〃(0)=0.解：令X(s)=l[x(t)]，在方程兩邊取Laplace變換，并應(yīng)用初始條件，得S3X(s)+3s2X(s)+3sX(s)+X(s)=—，s+1 3!求解此方程得X(s)= ，(s+1)4.、 、、,…一 「3!I求Laplace逆變換，得x(t)=l-i[X(s)]=l-1 =13e-.L(s+1)4_例2求解常微分方程x"+4x+3x=e-，x(0)=x'(0)=1.解：令X(s)=l[x(t)]，在方程兩邊取Laplace變換，并應(yīng)用初始條件，得s2X(s)-s-1+4(sX(s)-1)+3X(s)=—，求解此方程得X(s)求解此方程得X(s)=(s*二%7 7 1 ，4(s+1)2(s+1)24(s+3)(71)—+—te-t—142)求Laplace求Laplace逆變換，得x(t)=—e-3t.4? … 八3—1例3求解常微分方程組｛x-x-2y=et,x(0)=-^,x例3求解常微分方程組｛x'-y〃-2y=t2,y(0)=1,y'(0)=-：.解：X(s)=l[x(t)],Y(s)=l[y(t)]，在方程組兩邊取Laplace變換，并應(yīng)用初始條件得TOC\o"1-5"\h\z31 1s2X(s)+—s--X(s