線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)第五章題目及答案(本)1686

第五章相似矩陣與二次型§5-1方陣的特征值與特征向量一、填空題1.已知四階方陣A的特征值為0，1，1，2，則|AE|＝(1)2(2)1012.設(shè)0是矩陣A的特征值，則a102010a3.已知三階方陣A的特征值為1，-1，2，則B3A22A的特征值為1,5,8；|A|＝-2；A的對(duì)角元之和為2.4.若0是方陣A的特征值，則A不可逆。5.A是n階方陣，|A|d，則AA*的特征值是d,d,,d（共n個(gè)）二、選擇題1.設(shè)，為n階矩陣A的特征值，，分別是A的屬于特征1212值，的特征向量，則（D）12（A）當(dāng)時(shí)，，必成比例1212（B）當(dāng)時(shí)，，必不成比例1212（C）當(dāng)時(shí)，，必成比例1212（D）當(dāng)時(shí)，，必不成比例12122.設(shè)a=2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則A1有一個(gè)特征值等于（C）A、2；B、-2;C、1;2D、-1;23.零為方陣A的特征值是A不可逆的（B）A、充分條件；C、必要條件;B、充要條件;D、無關(guān)條件;三、求下列矩陣的特征值和特征向量121.A2112解：A的特征多項(xiàng)式為A(3)(1)E21故A的特征值為13,1.2Ex0.當(dāng)3時(shí)，解方程A31由A3E22211r:2001得基礎(chǔ)解系p，故kp(k0)是3的全部特征向量.11112211當(dāng)1時(shí)，解方程AEx0.由AEr:002221得基礎(chǔ)解系p，故kP(k0)是1的全部特征向量.12221002.B020012解：B的特征多項(xiàng)式為10210BE00(1)(2)202故B的特征值為1,12.23當(dāng)1時(shí)，解方程1BEx0.000010r由BE:0100010110001得基礎(chǔ)解系0，故kp(k0)是1的全部特征向量.1p110Ex0.當(dāng)2時(shí)，解方程2B231001000r由B2E000:010得基礎(chǔ)解系0，p21000001故kp(k0)是2的全部特征向量.223T的特征向量，四、設(shè)為n維非零列向量，證明：是矩陣并求對(duì)應(yīng)的特征值.證明：因?yàn)門(T)(T),0；。所以，是矩陣的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為TT五、設(shè)A為n階方陣，1.當(dāng)2E時(shí)，求的特征值；AA2.當(dāng)O時(shí)，求的特征值，其中m為正整數(shù).AAm證明：1.設(shè)A的特征值為，則Ax0，x,x所以，AxA(Ax)A(x)(Ax)2x,x02又因?yàn)锳2E，所以，x2x,x0211即當(dāng)2E時(shí)，的特征值為1或-1AA。2.設(shè)A的特征值為，則Axx,x0，(Ax)A()m1xAm1xmx,x0所以，AxAm1m0m00又因?yàn)锳mO，所以，0x,xm即當(dāng)O時(shí)，的特征值為0。AAm

§5-2相似矩陣§5-3對(duì)稱矩陣的相似矩陣一、填空題1.若是矩陣A的特征向量，則2.若A,B相似，則|A||B|1是PAP的特征向量.P102002003.已知A與B相似，則x0，0010y001x0011y4.若是A的k重特征根，則必有k個(gè)相應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量不對(duì)（對(duì)，不對(duì)）；如果A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則結(jié)論對(duì)（對(duì)，不對(duì)）.二、選擇題1.n階方陣A相似于對(duì)角陣的充分必要條件是A有n個(gè)（C）（A）互不相同的特征值；（B）互不相同的特征向量；（C）線性無關(guān)的特征向量；（D）兩兩正交的特征向量.2.方陣A與B相似，則必有（BD）（A）EAEB（B）A與B有相同的特征值（C）A與B有相同的特征向量（D）A與B有相同的秩3.A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則（ACD）（A）屬于不同特征值的特征向量必定正交；（B）|A|0（C）A必有n個(gè)兩兩正交的特征向量；（D）A的特征值均為實(shí)數(shù).100三、設(shè)A021，試求一個(gè)可逆矩陣P使得為對(duì)角陣，PAP1012并求Am.解：先求A的特征值和特征向量.10210EA01(1)2(3)02故A的所有特征值為3,11.23Ex0.當(dāng)3時(shí)，解方程A31200100A3E0r11:0111100000令1，則即為對(duì)應(yīng)于3的特征向量.1111當(dāng)1時(shí)，解方程AEx0.23000000rAE011:01101100010022令0,1，則,為1的特征向量.23331010顯然，,,線性無關(guān).令P,,3101，則1231210101010010001/21/2(P|E)101010:01010000101/21/210100101/21/211P0001/21/231APP1110013m13mAPP1AmPmP102213m13m022（或:00130,p3令11/2,21/2pp||||||||||||12011/2231/2令,,，則所以，。。。）PPppp3P1T12四、三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為0，2，2，又相應(yīng)于特征值0的1特征向量為p1，求出相應(yīng)于2的全部特征向量.11解：因?yàn)锳為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，故A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，且對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量?jī)蓛烧?已知對(duì)應(yīng)于0的特征向量為p，設(shè)對(duì)應(yīng)于2的特征向1123量為p,p，則0.即p,p2為齊次線性方程組ppT0,pTp1231233pTx01的兩個(gè)線性無關(guān)的解.由pTx0得xxx0311211取p1,p0，則p,p即為2的特征向量.23232301令kpkp（k,k不全為零）為對(duì)應(yīng)于2的全部32233232特征向量.五、設(shè)三階方陣A的特征值為1,0,21，對(duì)應(yīng)的特征31212向量分別為p2,p2,p1，求矩陣A.123212解：因?yàn)?，故A可對(duì)角化，且,,所對(duì)應(yīng)的特征向123123量p,p,p線性無關(guān).123由特征值定義，App,App,App31Ap,p,p1122233p,p,p12312312312Ap,p,pp,p,p，1231233令Pp,p,pAPAPP1P123由12233122122100r12P|E2210000100323212212001230312323123P10322033故1AP1P1P0P121323213102102121122010202333202022303§5-4二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形§5-5用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形§5-6正定二次型一、填空題1.f(x,y)x22xyy22x是不是二次型？答：不是2.f(x,x,x)4xx2xx2xx的秩是3；秩表示標(biāo)準(zhǔn)123121323形中平方項(xiàng)的個(gè)數(shù).1103.設(shè)A，A為正定矩陣，則k.11k000k2二、單項(xiàng)選擇題1002121.設(shè)A00,則與A合同的矩陣是（B）。050100300（A）020（B）020150000100200（C）010（D）0201000012.二次型fxAx為正定二次型的充要條件是（D）。（A）A0（B）負(fù)慣性指數(shù)為0（C）A的所有對(duì)角元a0（D）合同于單位陣Eii3.當(dāng)(a,b,c)滿足（C）時(shí)，二次型f(x,x,x)ax2bx2ax22cxx3為正定二次型。1231231（A）a0,bc0（B）a0,b0（C）ac,b0（D）ac,b0001x2三、設(shè)f(x,x,x)(x,x,x)300x1231233430x11.求二次型f(x,x,x)所對(duì)應(yīng)的矩陣A.1232.求正交變換xPy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.解：1.001x2f(x,x,x)(x,x,x)300x1231233430x1x2(3x4x,3x,x)x23313x13x24xx3x2x222331100x1(x,x,x)032023x2123x3100故二次型f(x,x,x)所對(duì)應(yīng)的矩陣A032.1230232.問題可轉(zhuǎn)化為求正交矩陣P，將A化為對(duì)角形.10320AE02(1)2(5)03故A的特征值為11,5.23當(dāng)1時(shí)，解方程AEx0.12000011rAE022:000.022000101，則,即為1的特征向量.1212取120,10顯然，,正交.將,單位化得121201p