線性代數(shù)（第五版）-矩陣的運(yùn)算

§2

矩陣的運(yùn)算一加法三乘法四矩陣的冪九小結(jié)二數(shù)乘六方陣的行列式五矩陣的轉(zhuǎn)置七伴隨矩陣八共軛矩陣?yán)?/p>

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j

種貨物的數(shù)量．解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè)

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說(shuō)明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)比較交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負(fù)矩陣．顯然設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．二、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規(guī)定為結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái)，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)比較其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例（續(xù)）

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．可用矩陣表示為一般地，一、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n

矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．定義若規(guī)定其中注：1）條件左矩陣Ａ的列數(shù)等于右矩陣Ｂ的行數(shù)2）方法等于左矩陣的第行與右矩陣的第

列對(duì)應(yīng)元素左行右列法——矩陣乘積的元素乘積的和.3）結(jié)果左行右列——左矩陣Ａ的行數(shù)為乘積Ｃ的行數(shù)，右矩陣Ｂ的列數(shù)為乘積Ｃ的列數(shù).例設(shè)解結(jié)論：矩陣相乘的三大特征1、無(wú)交換律2、無(wú)消去律3、若定義對(duì)于矩陣，若，稱與可交換.例設(shè)，求的所有可交換矩陣.解設(shè)，于是即建立方程組得所以知識(shí)點(diǎn)比較有意義.沒(méi)有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律(3)

乘法對(duì)加法的分配律(2)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律

（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對(duì)角陣(5)矩陣的冪

若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立例設(shè)，計(jì)算解下用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想等式成立.所以猜想正確.要證時(shí)成立，此時(shí)有當(dāng)時(shí)，等式顯然成立.當(dāng)時(shí)，等式成立，即四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)例：已知解法1解法2定義：設(shè)A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對(duì)稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對(duì)稱陣.對(duì)稱陣反對(duì)稱陣對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.例：設(shè)列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對(duì)稱陣，且HHT=E.證明：從而

H是對(duì)稱陣．五、方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣，假設(shè)A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構(gòu)造一個(gè)6階行列式令，則

C=(cij)=AB．從而．例已知解所以易見(jiàn)定義：行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式

Aij

所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣.元素的代數(shù)余子式位于第j行第i列性質(zhì)性質(zhì)證明（設(shè)A，B

為復(fù)矩陣，l為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）：六、共軛矩陣運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為的共軛矩陣.

九、小結(jié)矩陣運(yùn)算數(shù)乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣矩陣的冪線性運(yùn)算對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣?yán)齟x：設(shè)則例

計(jì)算下列乘積：解例exP.35例5