線、面相對位置

第五章點、直線與平面的相對位置

§5-1平行問題§5-2相交問題§5-3垂直問題§5-4綜合問題一．直線與平面平行幾何條件：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據(jù)。有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；作平面與已知直線平行。

二．平面與平面平行幾何條件：若一個平面內(nèi)的相交二直線與另一個平面內(nèi)的相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點或直線作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。§5-1平行問題一、直線與平面平行

若直線平行于屬于平面的某直線，則該直線與平面平行PCDBA試判斷直線AB是否平行于定平面fg

f

gb

a

abc

e

d

edc結(jié)論：直線AB不平行于定平面mnm′n′p′pTL試過點K作水平線AB平行于ΔCDE平面b

a

af

fbc

e

d

edk

kc二、兩平面平行

若一平面內(nèi)的相交兩直線對應(yīng)平行于另一平面內(nèi)的相交兩直線，則此兩平面平行PSEFDACB試判斷兩平面是否平行f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行

已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

k試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：兩平面平行ef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHTL兩平面的同面跡線相互平行，則兩平面相互平行VHQVQHQXPVPHPXPPVPXPHQVQHQXQ平行問題小結(jié)1直線與特殊位置平面平行：平面的積聚性投影與直線的同面投影平行。2兩特殊位置平面平行：平面的同面積聚投影平行。3同面跡線相互平行，兩平面平行4一般位置直線與平面平行：一般位置直線與平面內(nèi)一條直線平行。5兩一般位置平面平行：兩平面內(nèi)各有兩條相交直線對應(yīng)平行?！?-2相交問題

直線與平面、平面與平面不平行則必相交。相交的實質(zhì)就是共有。一、直線與平面相交的特殊情況二、平面與平面相交的特殊情況三、直線與平面相交的一般情況四、平面與平面相交的一般情況

題目通常要求求出這共有的交點或交線并判別可見性。根據(jù)參與相交的幾何元素有無“積聚性”投影，解決問題的方法亦隨之產(chǎn)生，這就是下述的“積聚性法”及“輔助平面法”。直線與平面相交PBAK

直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。

交點的特性：交點總是可見，而且是可見與不可見的分界點。MBCA

平面與平面相交FKNL

兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有。

交線的特性：交線總是可見的，是可見與不可見的分界線。

一、直線與平面相交的特殊情況

線面相交的特殊情況，指線或面之一為特殊位置，其交點的投影可利用直線或平面的積聚性投影直接求出。此即所謂的“積聚性方法”，其原理正是利用交點的“共有性”。

1特殊位置平面與一般位置直線相交

2投影面垂直線與一般位置平面相交b

ba

acc

m

mnn

1直線與特殊位置平面相交

利用特殊位置平面投影的積聚性，在直線上定點，直接求出交點。VHABCNMacbKkk

k

交點是唯一的，其它投影重疊處都只是重影?？梢娦耘袆e的基本方法依然是交叉二直線重影點的可見性判別。對于特殊情況可以直接判斷。b

ba

acc

m

mnn

判別直線的可見性VHABCNMacbKkkk

2投影面垂直線與一般位置平面相交

a

b

c

abcd

e

k′(k)d(e)

此時的直線在某投影面上的投影具有積聚性。二、平面與平面相交的特殊情況

兩平面相交，交線是唯一的。求兩平面交線的問題可以看作是求兩個交線上的點并連線的問題。對于特殊位置平面來說，總有一個投影為積聚性投影，其交線就在這個積聚性投影上。VH一般位置平面與特殊位置平面相交efdd

f

e

bacc

a

b

DABCacbEFKLklklk

l

efdd

f

e

bacc

a

b

VH一般位置平面與特殊位置平面相交DABCacbEFKLklklk

交線也是唯一的，其他投影重疊處都不過是重影。可見性判別的基本方法依然是交叉二直線重影點的可見性判別。對于特殊情況可以直接判斷。l

三、一般位置直線與一般位置平面相交

一般位置的線面相交由于直線和平面的投影都沒有積聚性，求交點時無積聚性投影可以利用，因此通常采用人為制造積聚性投影即輔助平面法來求一般位置線面的交點

一般位置線、面相交求交點的步驟：（l）含已知直線作特殊位置的輔助平面即制造積聚性投影（2）求輔助平面與已知平面的交線；（3）求交線與已知直線的交點，交點即為所求。（4）判別可見性。ABCSFE輔助平面求線面交點示意圖MNK用投影面垂直面作為輔助面求線面的交點HbefacABCPHEFmnP作垂直面的目的是把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題MNKkmn以鉛垂面為輔助平面求線面交點。PHm

f

e

efbc

a

acb

解題步驟：1、過EF作鉛垂平面P。2、求P平面與ΔABC的交線MN。3、求交線MN與EF的交點K。k

kn′HVa

b

c

ceaABbCFEf′fk

Kke

直線FE與平面ΔABC相交，判別可見性示意圖ⅢⅣ3

()(

)4注意：1、判別某個投影面上的可見性，就在該投影上取重影點。2、對于一般情況，必須在每個投影面上分別取重影點判別，但也能根據(jù)一個投影面上的可見性及平面的時鐘順序而推論另一個投影面上的可見性。ⅠⅡ1

2

21直線EF與平面ABC相交，判別可見性。注意：利用重影點判別可見性(

)f

e

efac

cba

b

124

3

()kk

342

1

m

n

nmba

acb

c

1

2

以正垂面為輔助平面求線面交點SV21kk

步驟：1、過MN作正垂平面S。2、求S平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與MN的交點K。四、兩一般位置平面相交

求兩一般位置平面交線的問題可以看作是求兩個交線上的點并連線的問題,因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。

1、線面交點法

2、三面共點法ELN

利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAEKNLBCA互交全交KM

求兩一般位置平面交線的作圖步驟：1、用直線與平面求交點的方法求出兩平面的兩個共有點K、E。bcaa

b

c

ll

nmm

n

PVQVg

f

fgk

ke′e2、連接兩個共有點，畫出交線KE。一般不選AB、BC、NL1、線面相交法求交點

bcaa

b

c

若選AC、BCll

mm

n

kee′k

n若選了交點在圖形之外的邊PHQV利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性bcaa

b

c

ll

nmm

n

kee

k

()()3

4

34

211

2

利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性bcaa

b

c

ll

nmm

n

kee

k

3

4

34

21()1

2

()R1R2PS2、三面共點法求交線(適用于兩平面圖形投影不重疊)

KLR1VR2V1′2′3′4′12345′6′8′7′5678kll′k′求兩平面的交線bcaa

b

c

ll

nmm

n

g′g12PV1′2′kk′QVee′bcaa

b

c

ll

nmm

n

g′gkk′ee′利用重影點判別可見性ac

ba

cb

f

e

efk

k

試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。分析:過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPCABEKH作圖步驟m

n

h

hnmff

ac

ba

cb

e

ek

kPV1

12

21、過點K作平面KMN//

ABC平面。2、過直線EF作正垂平面P。3、求平面P與平面KMN的交線ⅠⅡ。4、求交線ⅠⅡ與EF的交點H。5、連接KH，KH即為所求。求兩平面的交線a′b′c′ae′f′g′bcfega′b′c′ae′f′g′bcfeg求兩平面的交線綜合練習(xí)自點S作直線同時與已知直線AB、CD相交。a′b′s′abcdsd′c′PH分析

過S與AB相交的直線的軌跡是平面SAB。同理，過S與CD相交的直線的軌跡是平面SCD。故過S與交叉二線AB、CD均相交的直線是兩平面SAB、SCD的交線。投影作圖步驟連接SA、SB成△SBC。求CD與△SBC的交點L。連接SL并延長與AB交于點K。l′k′kl相交問題小結(jié)相交問題的實質(zhì)就是共有，線與面共有點，面與面共有線。相交問題的特殊情況是交點或交線可以在具有積聚性的線或面的投影上直接表現(xiàn)出來。相交問題的一般情況是將一般位置轉(zhuǎn)化為特殊位置。做法是：包含一般位置直線作一投影面垂直面求該面與一般位置平面的交線求該交線與一般位置直線的交點求兩個一般位置平面的交線就是把上述做法重復(fù)一遍后作兩交點的連線。不要忘了可見性的判定。相交問題練習(xí)評講p′pq′s′sqp′pabb′a′k′kabb′a′c′c3(4)2(1)4′3′1′2′k′kss′abb′a′c′c3(4)2(1)4′3′1′2′ksk′s′ab′a′c′d′bdc12434′1′2′3′s′k′ks§5-3垂直問題

解決垂直問題的基礎(chǔ)是前面所學(xué)的直角投影定理。一、直線與平面垂直

幾何條件

定理1

定理2

二、兩平面垂直

幾何條件直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面內(nèi)任意兩條相交直線，則此直線必垂直于該平面。平面垂（法）線的性質(zhì)：若一直線垂直于一平面，則此直線必

垂直于屬于該平面的一切直線。

VHPAKLDCBE定理1：若直線垂直于平面，則直線的水平投影必垂直于該平面內(nèi)水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于該平面內(nèi)正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

定理2（逆）：若直線的水平投影垂直于平面內(nèi)水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于平面內(nèi)正平線的正面投影、則空間直線必垂直于該平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEH平面由

BDF給定，試過定點K作平面的法線。a

cac

nn

kf

d

b

dbfk

h

試過定點K作特殊位置平面的法線。h

hh

hkk

SVk

kPVk

k垂直于正垂面的直線是正平線

垂直于鉛垂面的直線是水平線

垂直于水平面的直線是鉛垂線QHh平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于定平面。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbf結(jié)論：直線與平面不垂直h

h

hh

h（k）k

k

kP′k

k垂直于正垂面的直線是正平線

垂直于鉛垂面的直線是水平線

垂直于水平面的直線是鉛垂線qhpq′s′s例題過定點K作特殊位置平面（△表示）的法線。

試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。n

n分析：平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角。所以平面法線對H面的傾角為45°，對V面的傾角為30°。HPAKFDCBEf

試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。直徑任取NM

作圖過程|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

n

兩平面垂直的幾何條件Ⅱ

若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。即包含某平面垂線的任意平面都與該平面垂直。AD

反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。ADⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠADg

平面由

BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfg

注意包含垂線的平面有無數(shù)個試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d結(jié)論：因為平面法線AD不在

ABC平面上，所以兩平面不垂直。或者說平面ABC未包含平面GKH的垂線

例題過點K作正垂面Ｐ垂直于平面△ABC。b′a′k′kbc′caPVQH過點K作鉛垂面Q垂直于平面△ABC。分析：P⊥V，P⊥ABC→P⊥平面ABC的正面跡線→P垂直于面上正平線同理：Q⊥H，Q⊥ABC→Q⊥平面ABC的水平跡線→Q垂直于面上水平線

試過定點A作直線與已知直線EF正交。a

efaf

e

EQ分析

過已知點A作平面與已知直線EF垂直相交于點K，連接AK，AK即為所求。FAK作圖過程2

1a

eaf

e

1

22

1PVa

efaf

e

1

2k

k直角三角形法求SCKA即A到EF的距離f§5-4關(guān)于空間幾何元素間的綜合問題一、量度問題1.實長和實形

⑴直線段的實長⑵平面圖形的實形

2.有關(guān)距離的量度⑴兩點之間的距離⑵點到直線的距離、兩平行線間的距離⑶點到平面、相互平行的直線和平面之間的距離、兩平行平面間的距離

⑷相叉二直線的最短距離3.有關(guān)角度的量度⑴直線對投影面的傾角⑵直線對投影面的傾角⑶相交二直線的夾角⑷直線與平面的夾角⑸兩平面間的夾角

(1)實長與實形求線段的實長采用直角三角形法求平面圖形的實形可以將圖形劃分為三角形，求每個三角形的實形，進(jìn)而求出平面圖形的實形。

|zA-zB

|ABXa

ab

bPPH點到投影面垂直線的距離點到投影面平行線的距離點到一般位置線的距離兩平行的直線之間的距離ABa(b)KkL(l)HLlKkBaAb（2）點到直線的距離KLMKLM1M2KLVHPHKkPLlADCBELK(3)點到平面的距離點到投影面垂直面的距離點到一般位置平面的距離點到平面的距離LKPMKLQPKL平行的直線與平面間的距離兩平行平面之間的距離PＨMM1(4)交叉二直線的最短距離其中之一為投影面垂直線kLlK公垂線距離ＨMM1k(l)KL二者均為同一投影面的平行線交叉二直線的最短距離交叉二直線的最短距離及公垂線MM1MPPMM1MP距離公垂線距離距離距離LKVHWHHPESCDaαA直線對投影面的傾角相交二直線的夾角平面對投影面的傾角ACB3有關(guān)角度的量度直線與平面的夾角兩平面之間的夾角PBAPQφABωαβγφbPKθaPCθδKφED(4)交叉二直線的最短距離交叉二直線的最短距離及公垂線二、定位問題:定點定線問題；軌跡問題；線與平面、平面與平面的相交問題等均屬定位問題。三、解決綜合題的一般步驟

1.分析

2.作圖

3.檢查、討論四、綜合舉例

過點E作直線EF與已知直線AB、CD均相交。已知條件相對位置關(guān)系分析軌跡分析實際解題方案例題：已知三角形ABC的BC邊屬于MN，分別以AB為斜邊和直角邊作出三角形ABC的投影。ba′b′m′n′amn以AB為斜邊，實際上就是C角為直角，MN為水平線，則，在H面上可以直接求出C點。cc′例題：已知三角形ABC的BC邊屬于MN，分別以AB為斜邊和直角邊作出三角形ABC的投影。

如果以AB為直角邊，則AC┴AB，過A點作一AB的垂面，與MN的交點即為C點。ba′b′m′n′amn

作一直線MN與相叉直線AB和CD相交，并平行于直線EF。

xoeabdcfe′f′a′b′c′d′nn′原題分析作圖作圖思路：含交叉二線之一（AB或CD）作直線EF的平行平面求此平面與交叉二線中的另一直線（CD或AB）的交點過此交點作直線EF的平行線PVmm′C求作以AB為底，頂點C屬于直線MN的等腰三角形ABC

。abmna′b′m′n′xo原題分析

作圖思路：作等腰△ABC底邊的中垂面求此中垂面與頂點所在直線MN的交點連接該交點和底邊兩端點作圖c′cPV作一平面P，使其與△ABC平行，且距△ABC為定長L

。原題kk′ee′ff′分析cabcc′a′b′xoabLb′a′c′xo作圖思路：過平面上的已知點作平面的法線在此法線上從已知點截取定長獲得距平面為定長的端點過此端點作平面平行于已知面dLd′例題已知點K到△ABC距離為定長L，求k

。mm′ee′ff′abcc′a′b′xodLd′kk1、用上例的方法，在所作平面上取點方法分析該題有多種解法L

例題﹕

已知點K到△ABC距離為定長L，求k

。Ldd′Loabcc′a′b′xk′ke′e2、用上例的方法獲得法線上定長端點再與已知點K連線平行于已知平面∵平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為余角。例題已知點K到△ABC距離為定長L，求k

。3、利用平面法線對投影面的傾角與平面相應(yīng)的傾角互余，即與平面相應(yīng)的最大斜度線對同一投影面的傾角互余Lbcc′b′xok′a′aβb為平面ABC對V面的傾角β1b1為平面ABC的法線對V面的傾角法線的V投影長度法線的Y坐標(biāo)差(法線)kβ1L投影作圖步驟﹕利用對V面的最大斜度線求出b角.2、90°–

b﹦b13、由法線的實長L及b1，用直角△法求出法線的V投影長度和法線的Y坐標(biāo)差作業(yè)評講b′a′c′back′kQHTL求K點到平面ABC的真實距離1321′2′3′aba′cdc′b′d′求作以AB為邊并屬于△ⅠⅡⅢ的正方形ABCD。作圖思路在△ⅠⅡⅢ上取線，確定a′b′及其鄰邊的方向確定鄰邊AD作對應(yīng)邊的平行線，完成正方形ABCD。caba′b′c′aba′b′c′c

例已知AB⊥BC