拋物型方程的差分方程1課件

第二章拋物型方程的差分方法

偏微分方程（數(shù)理方程）分為三類：①拋②橢③雙。數(shù)值解法分為差分方法和有限元素法。本書主要介紹差分方法，最后看有時間有可能再介紹一下有限元。差分的思想就是將連續(xù)問題離散化，以差分逼近微分，求出一些離散點(diǎn)上的數(shù)值解。一維線性拋物型方程的一般形式：(2.1)第二章拋物型方程的差分方法偏微分方程1(1)初值問題(Cauchy問題)(2.2)通常考慮的定解問題，有：(2)混合問題(初、邊值問題)(2.3)(2.4)(1)初值問題(Cauchy問題)(2.2)通?？紤]的定解問2§2.1差分格式建立的基礎(chǔ)

差分方法又叫網(wǎng)格法。首先將Ω用二組平行于x軸、t軸的直線構(gòu)成的網(wǎng)格覆蓋，x方向上步長為h，t方向上步長為k，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。對初值問題，網(wǎng)格是：§2.1差分格式建立的基礎(chǔ)差分方法又3在t=0上的結(jié)點(diǎn)為邊界結(jié)點(diǎn)，屬于Ω內(nèi)的結(jié)點(diǎn)為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。對于混合問題：以差分方程逼近微分方程，先研究用差商表示導(dǎo)數(shù)在t=0上的結(jié)點(diǎn)為邊界結(jié)點(diǎn)，屬于Ω內(nèi)的結(jié)點(diǎn)為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。對于混4(2.5)(2.6)(2.7)(2.5)(2.6)(2.7)5(2.8)截斷誤差向后差商的截斷誤差階也為，而中心差商的截斷誤差階為介紹一些線性算子：(2.8)截斷誤差向后差商的截斷誤差階也為，6(2.9)(2.10)(2.11)差分算子與導(dǎo)數(shù)算子的關(guān)系，由Taylor展式，得：(2.12)或(2.13)(2.9)(2.10)(2.11)差分算子與導(dǎo)數(shù)算子的關(guān)系，7(位移算子與差分算子的關(guān)系)(2.14)(2.15)(2.16)(2.17)以上(2.14)(2.15)(2.17)就是偏導(dǎo)算子分別與前差、后差、中心差之間的關(guān)系(級數(shù)表達(dá)式)(位移算子與差分算子的關(guān)系)(2.14)(2.15)(2.18以下是偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式：(2.18.1)(2.18.2)(2.18.3)可得二階偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式以下是偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式：(2.18.1)(2.18.2)(9(2.19.1)(2.19.2)(2.19.3)(2.19.1)(2.19.2)(2.19.3)10截斷誤差(2.22)截斷誤差(2.22)11(2.23)(2.24)(2.25)目前解(2.1)時所用的各種差分方程，都是(2.25)的近似表達(dá)式，故(2.25)重要。以后，掌握方法為重點(diǎn)，討論穩(wěn)定性、收斂性為其次重要。(2.23)(2.24)(2.25)目前解(2.1)時所用的12§2.2顯式差分格式思想：對(2.1)的幾種特殊情形，從(2.25)出發(fā)，構(gòu)造其有限差分近似。一、一維常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程(2.26)§2.2顯式差分格式思想：對(2.1)的幾種特殊情形，13(2.27)(2.28)(2.29)(2.27)(2.28)(2.29)14第(n+1)時間層上任一結(jié)點(diǎn)(mh,(n+1)k)或簡記為(m,n+1)處的值，可由第n時間層上的三個相鄰結(jié)點(diǎn)(m-1,n)(m,n)(m+1,n)上的值決定。(2.29)稱為解熱傳導(dǎo)方程(2.26)的古典顯式格式。如對初值問題令(∵為已知函數(shù)，∴可算出)。利用(2.29)沿著t方向逐層把結(jié)點(diǎn)上的值計(jì)算出來，以此作為在(m,n)處的值的近似值。對于混合問題(初邊值問題)同樣可用(2.29)把區(qū)域Ω中網(wǎng)格點(diǎn)上的值計(jì)算出來。說明：(2.29)方便，但有時不穩(wěn)定第(n+1)時間層上任一結(jié)點(diǎn)(2.29)稱為解熱傳導(dǎo)方程(215下面用導(dǎo)數(shù)的差商近似式來推導(dǎo)(2.29)(2.29)以下討論誤差問題：(2.30)下面用導(dǎo)數(shù)的差商近似式來推導(dǎo)(2.29)(2.29)以下討論16前面三式可分別分離出：前面三式可分別分離出：17(2.31)(2.32)(2.31)(2.32)18(2.33)(2.34)(2.33)(2.34)19(2.35.1)(2.35.2)(2.35.1)(2.35.2)20二、系數(shù)依賴于x的一維熱傳導(dǎo)方程的顯式格式(2.36)二、系數(shù)依賴于x的一維熱傳導(dǎo)方程的顯式格式(2.36)21(2.37)(2.38)(2.37)(2.38)22(2.39)(2.39)23(2.40)(2.40)24§2.3隱式差分格式

顯式格式是由第n層上的數(shù)個值求第n+1層上的一個值，而隱式格式中包括第n+1層上二個或二個以上的未知值。隱式格式的優(yōu)點(diǎn)為穩(wěn)定性對步長比的要求大為放寬。§2.3隱式差分格式顯式格式是由第n25一、古典隱式格式(2.41)一、古典隱式格式(2.41)26二、Crank-Nicolson隱式格式二、Crank-Nicolson隱式格式27(2.42)(2.43)(2.44)(2.42)(2.43)(2.44)28拋物型方程的差分方程1課件29(2.45)(2.45)30例2.1求解初邊值問題分別用Crank-Nicolson格式和Douglas格式求數(shù)值解，分別由(2.44)和(2.45)(還需進(jìn)一步具體化)。兩種方法都需解三對角方程組.例2.1求解初邊值問題分別用Crank-Nic31三、加權(quán)六點(diǎn)隱式格式三、加權(quán)六點(diǎn)隱式格式32(2.46)(2.46)33四、系數(shù)依賴于x,t的一維熱傳導(dǎo)方程的隱式格式(2.47)(2.16)四、系數(shù)依賴于x,t的一維熱傳導(dǎo)方程的隱式格式(2.47)(34(2.48)(2.48)35(2.49.1)(2.49.2)(2.49.1)(2.49.2)36§2.4解三對角形方程組的追趕法§2.4解三對角形方程組的追趕法37(2.50)(2.50)38(2.51)(2.51)39拋物型方程的差分方程1課件40拋物型方程的差分方程1課件41拋物型方程的差分方程1課件42例2.2例2.243(2.52)(2.52)44拋物型方程的差分方程1課件45拋物型方程的差分方程1課件46§2.5差分格式的穩(wěn)定性和收斂性一、問題的提出(2.53)§2.5差分格式的穩(wěn)定性和收斂性一、問題的提出(2.5347拋物型方程的差分方程1課件48拋物型方程的差分方程1課件49(2.54)二、ε-圖方法(2.54)二、ε-圖方法50(2.55)(2.56)(2.55)(2.56)51拋物型方程的差分方程1課件52拋物型方程的差分方程1課件53三、穩(wěn)定性的定義、穩(wěn)定性分析的矩陣方法(2.57)三、穩(wěn)定性的定義、穩(wěn)定性分析的矩陣方法(2.57)54(2.58)(2.58)55定義：定義：56拋物型方程的差分方程1課件57(2.59)矩陣法（直接法）：(2.59)矩陣法（直接法）：58(2.60)(2.61)Th2.1(2.62)(2.63)(2.60)(2.61)Th2.1(2.62)(2.63)59拋物型方程的差分方程1課件60Th2.2Th2.3Th2.2Th2.361拋物型方程的差分方程1課件62拋物型方程的差分方程1課件631.古典顯式差分格式的穩(wěn)定性1.古典顯式差分格式的穩(wěn)定性64(2.64)(2.64)65拋物型方程的差分方程1課件662.Crank-Nicolson隱格式的穩(wěn)定性(2.66)2.Crank-Nicolson隱格式的穩(wěn)定性(2.66)67拋物型方程的差分方程1課件68(2.67)(2.67)693.加權(quán)6點(diǎn)隱式的穩(wěn)定性3.加權(quán)6點(diǎn)隱式的穩(wěn)定性70拋物型方程的差分方程1課件71拋物型方程的差分方程1課件724.Richardson格式——一個完全不穩(wěn)定的差分格式(2.68)4.Richardson格式——一個完全不穩(wěn)定的差分格式73