基于時(shí)域格林函數(shù)的近源時(shí)間域電磁場(chǎng)解析式

基于時(shí)域格林函數(shù)的近源時(shí)間域電磁場(chǎng)解析式

1瞬變電磁直接時(shí)間域解的提出及研究手段在近源條件下，csamt法無法將輻射場(chǎng)從具有主要優(yōu)勢(shì)的現(xiàn)有場(chǎng)中分離出來，因此只能使用某些場(chǎng)的組件來進(jìn)行幾何測(cè)量（kovumanandzhangxiang2004；陳明生、嚴(yán)旭，2005）。對(duì)于瞬變電阻法，當(dāng)使用低頻提升波的激勵(lì)波時(shí)，儀器被關(guān)斷，獲得輻射場(chǎng)，即遠(yuǎn)離現(xiàn)場(chǎng)的區(qū)域，并獲得近源深度的檢測(cè)能力（牛志廉，2007；薛國強(qiáng)等，2013）和高信噪比。這是一種施工方便、檢測(cè)深度大、場(chǎng)地信息豐富的新方法。近年來，近源的檢測(cè)引起了高度重視（薛國強(qiáng)等，2013；nestorandalumbah，2011；魏倫等人，2012）。在傳統(tǒng)的勘探電磁場(chǎng)理論研究中，大多在偶極子假設(shè)前提下，根據(jù)頻率域解析解，得到時(shí)間域解（KnightandRaiche,1982;Raiche,1987）．在電磁場(chǎng)近源區(qū)，偶極子近似解與精確解之間存在較大誤差（薛國強(qiáng)等，2011），偶極子假設(shè)理論無法適應(yīng)近源情況下精確勘探的需要．研究點(diǎn)電荷微元假設(shè)下的瞬變電磁場(chǎng)直接時(shí)間域解具有重要意義．納比吉安（1992）給出了單位點(diǎn)源的頻率域格林函數(shù)，通過反付氏變換，得到全空間直流點(diǎn)源靜電場(chǎng)時(shí)域格林函數(shù)和時(shí)間域電磁場(chǎng)波動(dòng)方程解析解，并將無窮小偶極源作為點(diǎn)源代入格林函數(shù)表達(dá)式，得到瞬態(tài)偶極元電磁場(chǎng)響應(yīng)．由于推導(dǎo)時(shí)需將點(diǎn)源放在坐標(biāo)原點(diǎn)，只給出了單位點(diǎn)源的響應(yīng)，未考慮源尺寸大小以及不同位置源激發(fā)時(shí)響應(yīng)，無法處理大尺度的長接地導(dǎo)線源和大回線源．電動(dòng)力學(xué)中采用“比擬”法求取波動(dòng)方程時(shí)域解，首先給出時(shí)間域點(diǎn)電荷源波動(dòng)方程的通解，與靜態(tài)場(chǎng)的點(diǎn)電荷的電位解析式相比較，得到通解中的待定系數(shù)，由此得到波動(dòng)場(chǎng)的推遲標(biāo)量位函數(shù)（馮恩信，2005).瞬變電磁場(chǎng)直接時(shí)間域響應(yīng)研究手段有解析和數(shù)值模擬方法（閆述等，2002;WangandHohmann,1993），對(duì)于解析法，從時(shí)變點(diǎn)電荷出發(fā)的直接時(shí)間域格林函數(shù)求解擴(kuò)散方程的研究，目前還未有更多的相關(guān)報(bào)道．為避免頻時(shí)變換實(shí)現(xiàn)過程中的計(jì)算誤差，與以往“比擬”法或者先在頻率域推導(dǎo)格林函數(shù)思路的不同，本文利用時(shí)間域格林函數(shù)直接推導(dǎo)電磁場(chǎng)波動(dòng)方程解析解，同時(shí)，首次推導(dǎo)出擴(kuò)散方程的直接時(shí)間域解析式，并給出了全空間回線源瞬變電磁直接時(shí)間域響應(yīng)式．研究成果為瞬變電磁法的進(jìn)一步發(fā)展和實(shí)際勘探提供新的理論基礎(chǔ)．2加拉格波動(dòng)方程在均勻、線性、各向同性的媒質(zhì)中有源的麥克斯韋方程組為（方文藻等，1993)式中，J為電流源密度矢量，ρ為自由電荷密度．E是電場(chǎng)強(qiáng)度（V/m),H是磁場(chǎng)強(qiáng)度（Wb/m2）．ν2=1/εμ，（ν為光速）μ，ε分別為磁導(dǎo)率和介電常數(shù)．由麥克斯韋方程組（1），可得到電磁場(chǎng)矢量阻尼波動(dòng)方程（方文藻等，1993)當(dāng)場(chǎng)變化很快或介質(zhì)電阻率趨于無窮時(shí)，（2）式變?yōu)檫_(dá)朗貝爾波動(dòng)方程（方文藻等，1993)當(dāng)場(chǎng)變化比較慢并在良導(dǎo)介質(zhì)中傳播時(shí)，（2a）式和（2b）式分別為擴(kuò)散方程（方文藻等，1993)當(dāng)點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，（2）式對(duì)應(yīng)的頻率域格林函數(shù)為（納比吉安，1992)式中，r=(x2+y2+z2)1/2表示到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離．對(duì)（5）式進(jìn)行付氏反變換，得到時(shí)間域格函數(shù)（納比吉安，1992)式中，c1是待定系數(shù)．為源點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．由于靜態(tài)點(diǎn)電荷勢(shì)函數(shù)為（馮恩信，2005)令（7）式中的t=0，將（7）和（8）“比擬”后，確定出式（7）中的系數(shù)c1，由此得波動(dòng)場(chǎng)的推遲標(biāo)量位函數(shù)（馮恩信，2005)3波動(dòng)方程的直接時(shí)間解電磁場(chǎng)達(dá)朗貝爾波動(dòng)方程為（馮恩信，2005)4直接時(shí)間域解的擴(kuò)散方法方程（4）對(duì)應(yīng)的標(biāo)量形式擴(kuò)散方程（馮恩信，2005)由（22）式得擴(kuò)散方程（4）的電場(chǎng)和磁場(chǎng)響應(yīng)解析公式5擴(kuò)散場(chǎng)時(shí)域林函數(shù)的近似本文分別給出了全空間時(shí)變點(diǎn)電荷源的直接時(shí)間域波場(chǎng)方程和擴(kuò)散方程的電磁響應(yīng)表達(dá)式．已經(jīng)證實(shí)由“比擬“法得到的波動(dòng)場(chǎng)直接時(shí)域格林函數(shù)（馮恩信，2005）公式（9）與經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)所得出的精確解析解公式（17）具有相對(duì)的形式．對(duì)于所推導(dǎo)出來的直接時(shí)間域擴(kuò)散方程，將通過與納比吉安（1992）近似計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以說明文中結(jié)果的正確性．經(jīng)反拉氏變換和類比法，納比吉安（1992）給出似穩(wěn)態(tài)情形下擴(kuò)散場(chǎng)直接時(shí)域格林函數(shù)的近似公式式中，g(r,t）表示擴(kuò)散場(chǎng)時(shí)域格林函數(shù)響應(yīng)．分別對(duì)格林函數(shù)精確表達(dá)式（21）式和似穩(wěn)態(tài)情形下近似表達(dá)式（25）式進(jìn)行計(jì)算，并畫出響應(yīng)值隨時(shí)間變化曲線．圖3給出了導(dǎo)電率為0.01S/m的全空間中，距源100m處G(x,t;0,0）隨時(shí)間的變化曲線．圖中實(shí)線表示根據(jù)公式（25）的近似計(jì)算結(jié)果．虛線表示根據(jù)公式（21．）的精確計(jì)算結(jié)果．對(duì)比兩種公式的計(jì)算結(jié)果曲線，可以明顯看出兩種曲線基本吻合．圖4給出了導(dǎo)電率為0.01S/m的全空間中，時(shí)間t=10ms格林函數(shù)精確表達(dá)式（21）式和似穩(wěn)態(tài)情形下近似表達(dá)式（25）隨距離變化曲線．圖中實(shí)線表示根據(jù)公式（21）的計(jì)算結(jié)果．虛線表示根據(jù)公式（25）的計(jì)算結(jié)果．容易看出距離較小時(shí)存在誤差，距離較大時(shí)兩曲線基本吻合．從而驗(yàn)證了遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)情況下，在點(diǎn)電荷假設(shè)下直接時(shí)域格林函數(shù)精確解析解與格林函數(shù)近似解是一致的，而在近源情況下存在明顯誤差．說明本文推導(dǎo)出來的格林函數(shù)精確解具有較高的精度．6子源積分相同的研究思路當(dāng)發(fā)射源形式給定后，通過時(shí)域電磁場(chǎng)強(qiáng)度公式（23）和（24）可以得到任意場(chǎng)點(diǎn)處由點(diǎn)電荷發(fā)射源產(chǎn)生的總電磁場(chǎng)強(qiáng)度．針對(duì)大定源回線裝置，建立如圖5的三維坐標(biāo)系．采用與矩形回線偶極子源積分相同的研究思路（Poddar,1983;Xueetal.,2012），將整個(gè)回線源分成四段直線段EB,BC,CD,DE構(gòu)成，當(dāng)z=0時(shí)，可簡(jiǎn)化成平面坐標(biāo)系（圖6).在整個(gè)回線源上產(chǎn)生電磁場(chǎng)是沿四條直線段上的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電磁場(chǎng)的迭加，源點(diǎn)x′=（x′，y′，z′）位于四條直線段上，場(chǎng)點(diǎn)x=(x,y,z）為任意點(diǎn)．由此可得EB段參數(shù)方程為弧長微元由第一型曲線積分的計(jì)算公式經(jīng)（23）和（24）式沿EB計(jì)算積分，得大回線源EB段擴(kuò)散電磁場(chǎng)方程時(shí)域解為由此，可通過積分計(jì)算出任意場(chǎng)點(diǎn)處發(fā)射源產(chǎn)生的擴(kuò)散場(chǎng)總電磁場(chǎng)強(qiáng)度．7輔助算法的解析為了對(duì)瞬變電磁精細(xì)解釋提供理論基礎(chǔ)，本文經(jīng)過嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到麥克斯韋方程的時(shí)間域解析式，并給出了全空間回線源瞬變擴(kuò)散電磁場(chǎng)直接時(shí)間域響應(yīng)式．與納比吉安文獻(xiàn)中研究相比，本文直接采用時(shí)間域格林函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，避免了偶極子假設(shè)下由頻域轉(zhuǎn)到時(shí)域引起的誤差；與電動(dòng)力學(xué)中采用“比擬”法求取波動(dòng)方程時(shí)域解相比，本文的直接推導(dǎo)算法更顯得數(shù)學(xué)上的嚴(yán)密性．這種方法克服了偶極子假設(shè)下只適用遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)的不足，也回避了引入位函數(shù)等繁瑣的理論推導(dǎo)．研究成果完善了時(shí)間域電磁場(chǎng)理論，為瞬變電磁法的進(jìn)一步發(fā)展和實(shí)際勘探提供新的理論基礎(chǔ)．附錄通過“比擬”方法，可得到更普遍的、點(diǎn)電荷不位于坐標(biāo)系原點(diǎn)的解析解．（4）式對(duì)應(yīng)的標(biāo)量位函數(shù)的通解為（馮恩信，2005)為了直接推導(dǎo)出方程（10）時(shí)域格林函數(shù)的解析形式，將方程（10）右端項(xiàng)用δ函數(shù)表示成積分形式．通過積分算符對(duì)δ函數(shù)的作用，并令源點(diǎn)x′=（x′，y′，z′），場(chǎng)點(diǎn)x=(x,y,z），經(jīng)推導(dǎo)得出方程（10）對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)形式其中K為三維空間積分變量，K0為時(shí)間積分變量．故方程（10）的格林函數(shù)解為(12）式中的格林函數(shù)的物理意義為：在t′時(shí)刻位于x′的單位強(qiáng)度源在t時(shí)刻在點(diǎn)x處所產(chǎn)生的場(chǎng)．對(duì)所有源引起的場(chǎng)及所有時(shí)刻響應(yīng)進(jìn)行積分，便得到給定時(shí)空坐標(biāo)的場(chǎng)量u(x,t).下面通過具體計(jì)算格林函數(shù)（11）式中右端的時(shí)空四重積分給出格林函數(shù)的解析式，選用如圖1所示的球坐標(biāo)，圖中x-x′為極軸．可得再對(duì)（12）式中徑向部分進(jìn)行積分，將r積分變?yōu)檠卣麄€(gè)實(shí)軸的積分將（13）中分母分解因式得當(dāng)積分（14）式分母等于零時(shí)，在實(shí)軸上存在兩個(gè)一階奇點(diǎn)．為解決這一問題，引入輔助路徑CR和Cε，積分回路的選擇如圖2所示，利用約當(dāng)引理和留數(shù)定理求得再利用δ函數(shù)的積分表示得因此方程（10）的解為利用δ函數(shù)的性質(zhì)，可以求出對(duì)t′的積分(17）式是達(dá)朗貝爾方程直接時(shí)間域推遲勢(shì)的公式．與經(jīng)典電磁場(chǎng)理論（馮恩信，2005）中由“比擬”方法得到的公式（9）一致．說明本文方法是正確的．進(jìn)一步地，由（17）和（3）式，得到電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量時(shí)間域的響應(yīng)解析公式經(jīng)推導(dǎo)得到擴(kuò)散方程（20）的形式Green函數(shù)為與前面達(dá)朗貝爾方程格林函數(shù)解的討論類似，經(jīng)積分運(yùn)算得到