醫(yī)科數(shù)學：第四節(jié) 導數(shù)的應用

1第二章一元函數(shù)微分學第一節(jié)導數(shù)的概念第二節(jié)初等函數(shù)的導數(shù)第三節(jié)微分第四節(jié)導數(shù)的應用一、中值定理二、L’Hospital（洛必達）法則三、函數(shù)的單調性和極值（最值）四、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點五、函數(shù)曲線的漸近線六、函數(shù)圖形的描繪七、醫(yī)學曲線的性態(tài)分析2定理2-3設函數(shù)在鄰域內連續(xù)，且當時，總有[

]，則當存在時，有一、中值定理（Fermat定理）證:即故即當存在時，有有因3若在閉區(qū)間[a,b]上為常數(shù)，則結論顯然成立．證明方程根的存在性、唯一性及判斷方程的實根個數(shù)和范圍．一、中值定理(Rolle定理)定理2-4若函數(shù)

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且

，則在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點（

），使得：證:若在閉區(qū)間[a,b]上不為常數(shù)，則在[a,b]上必有最大值M和最小值m，且其中至少有一個不等于

．不妨設，(a,b)內至少存在一點，使則在由知存在，故由定理2-3得4一、中值定理（Lagrange中值定理）定理2-5若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，則在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點ξ（a<ξ<b）使得：拉格朗日此定理稱為拉格朗日中值定理，它是利用導數(shù)的局部性研究函數(shù)的整體性的重要工具，橋梁．因此，它是微積分的重要定理．微分中值定理，也稱為是溝通函數(shù)與導數(shù)之間的或5一、中值定理（Lagrange中值定理）定理2-5若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，則在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點ξ（a<ξ<b）使得：證:構造輔助函數(shù)由f(x)的可導性，得容易驗證，滿足定理2-4(Rolle)的三個條件，故至少存在一點即6一、中值定理（Lagrange中值定理）推論1推論1若對任意的x∈(a,b)，有則證：對任意的x1，x2∈(a,b)，在[x1,

x2]上應用Lagrange中值定理可得7一、中值定理（Lagrange中值定理）推論2推論2若對任意的x∈(a,b)，有則即證：令F(x)=f(x)－g(x)，則故8即存在ξ∈(a,b)，使得一、中值定理例1.設f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，證明在(a,b)內至少有一點ξ

，使

F(x)在[a,b]上滿足Lagrange中值定理條件，故證：令則9一、中值定理例2.已知函數(shù)，不解方程，說明其根的個數(shù)和范圍。故由Rolle定理可得，存在ξ1∈(1,2)，ξ2∈(2,3)使得證：10練習題及答案證明方程至少有一個小于1的正根．

容易看出，f(x)在[0,1]上滿足Rolle定理條件，即存在ξ∈(0,1)，使得亦即證：令洛必達法則11補充練習題及答案

已知y=f(x)在[1,e]上可導，0<f(x)<1，且在(1,e)內恒有，證明在(1,e)內方程f(x)=lnx有且只有一個根．證：令得方程f(x)=lnx，在(1,e)內至少有一個根．則由F(x1)=F(x2)=0及Rolle定理可得：故方程f(x)=lnx，在(1,e)內有且只有一個根．跳過練習12二、L’Hospital（洛必達）法則（定理2-6-1

）若f’(x)和g’(x)仍滿足定理2-6-1的條件，則有若洛必達則有洛必達法則13二、L’Hospital（洛必達）法則

柯西中值定理

若函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且柯西柯西中值定理，則在開區(qū)間(a,b)

內至少存在一點ξ（a<ξ<b）使得：14二、L’Hospital（洛必達）法則

定理2-6-1

(證明)證明：若(1)(2)(3)則在[x0,x]或[x,x0]上應用柯西中值定理：15二、L’Hospital（洛必達）法則

定理2-6-1

(證明)證明：若無則令則且當時有：(1)(2)(3)16二、L’Hospital（洛必達）法則

定理2-6-1

(證明)故在[x0,x]或[x,x0]上應用柯西中值定理，有

(1)(2)(3)17二、L’Hospital（洛必達）法則

定理2-6–2

(證明)則證明：(1)(2)(3)定理2-6-318二、L’Hospital（洛必達）法則

定理2-6-3

(證明)證明：洛必達法則的應用(1)(2)(3)19二、L’Hospital（洛必達）法則

定理2-6-(3)

(證明)20二、L’Hospital（洛必達）法則

此法則主要解決在自變量x的某一變化趨勢下，對應的函數(shù)f(x)、g(x)同時趨于0或同時趨于∞時，

例如：的極限問題．這種的極限稱為未定式．常見的未定式還有：它們都可以化為的形式求極限．，21二、L’Hospital（洛必達）法則（例題）例1.例2.22二、L’Hospital（洛必達）法則（例題）例3.23二、L’Hospital（洛必達）法則（例題）例4.例5.24二、L’Hospital（洛必達）法則（例題）例6.25二、L’Hospital（洛必達）法則（練習題1,2）1.26二、L’Hospital（洛必達）法則（練習題3）3.27二、L’Hospital（洛必達）法則（練習題4）4.醫(yī)科Ⅱ作業(yè)4:P58:24,25,26,

27(3)(4)(5)(6).28二、L’Hospital（洛必達）法則（例題）例7.29二、L’Hospital（洛必達）法則（例題）例8.？例9.31二、L’Hospital（洛必達）法則（例題）例10.32二、L’Hospital（洛必達）法則（例題）例11.解：醫(yī)科Ⅲ作業(yè)3:P58-59:24,25,26,

27(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10).33練習題1.2.3.4.5.34練習題答案1.35練習題答案2.36練習題答案3.

37練習題答案4.38練習題答案5.39二、L’Hospital（洛必達）法則洛必答法則不是萬能的，例如：1.40二、L’Hospital（洛必達）法則2.41三、函數(shù)的單調性和極值（單調性）1.函數(shù)的單調性從幾何上易見：42三、函數(shù)的單調性和極值（單調性）定理2-7若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，則在(a,b)內有證明：43三、函數(shù)的單調性和極值（單調性）再證充分性：44三、函數(shù)的單調性和極值（單調性，例題）例1.例2.45三、函數(shù)的單調性和極值（單調性，例題）例3.46三、函數(shù)的單調性和極值（單調性，例題）例4.47三、函數(shù)的單調性和極值（單調性）導數(shù)為零的點和導數(shù)不存在的點，統(tǒng)稱為臨界點，函數(shù)單調增減的分界點只可能是臨界點．又如：導數(shù)不存在的點可能是、也可能不是函數(shù)定義域內的點．例如：48練習題跳過練習1.證明：2.證明：3.證明：醫(yī)科Ⅱ作業(yè)5:P59:27(7)(8)(9)(10),29.49練習題答案1.分析：證：50練習題答案2.分析：證：513.分析：證：52三、函數(shù)的單調性和極值（極值）2.函數(shù)的極值函數(shù)單調增減的分界點構成了函數(shù)曲線的“高峰”和“低谷”，稱為函數(shù)的極大值(localmaximum)和極小值

(localminimum).定義2-3或53可導函數(shù)在極值點處有三、函數(shù)的單調性和極值（極值）

函數(shù)的極大值和和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值

(extremevalue)，函數(shù)的極大值點和極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(extremepoint)．

極值的概念具有局部性，它只在極值點附近比較函數(shù)值大?。?，這是可導函數(shù)極值存在的必要條件．54三、函數(shù)的單調性和極值（極值）定理2-8若y=f(x)

在點x0處可導且取得極值，則滿足的點稱為該函數(shù)的駐點證：以極大值為例，(stationarypoint).可導函數(shù)的極值點必定是駐點，但駐點不一定是極值點．如：55三、函數(shù)的單調性和極值（極值）定理2-9（極值的第一判別法）56三、函數(shù)的單調性和極值（極值）證：(1)應用拉格朗日中值定理，有如果f(x)在點x0處的導數(shù)不存在，但在x0的去心鄰域內可導，則仍可用定理2-9來判斷極值．57三、函數(shù)的單調性和極值（極值）如：于是得出求極值的步驟：(1)求函數(shù)的定義域和導數(shù)；(2)在定義域內求出函數(shù)的全部臨界點；(3)用定理2-9來判斷所求點是否是極值點，若是，則求出極值．58三、函數(shù)的單調性和極值（例題）例1.

求函數(shù)的極值．極大值極小值(2)(3)列表解：(1)59三、函數(shù)的單調性和極值（極值）定理2-10（極值的第二判別法）證：60三、函數(shù)的單調性和極值（例題）例2.求函數(shù)極值．解：61三、函數(shù)的單調性和極值（最值）3.最大值和最小值

(1)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值必在極值點處或區(qū)間端點處取得．（有限個駐點和不可導點）

(2)若連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上單調，則函數(shù)的最大值和最小值必在區(qū)間端點處取得．

(3)若函數(shù)在某區(qū)間內可導，且只有一個極值，則其必為函數(shù)的最大值或最小值．62(3)函數(shù)曲線的凹凸性和拐點定義2-4設函數(shù)y=f(x)在(a,b)內可導．若在(a,b)內的任何一點處都有函數(shù)曲線位于此點處切線的上方，則稱函數(shù)曲線y=f(x)在(a,b)內是凹的(concave)，反之,則稱函數(shù)曲線y=f(x)在(a,b)內是凸的(convex)．易見：63四、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點定理2-11證明：(1)任取64四、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點在則函數(shù)曲線位于切線的上方，應用拉格朗日中值定理可得65四、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點（例題）例如：對函數(shù)點(0,0)是該曲線凹凸性的分界點，稱為拐點拐點一定是函數(shù)定義域內的點．(inflectionpoint)，66四、函數(shù)曲線的凹凸性和拐點判斷曲線凹凸性和求拐點的步驟：(1)求函數(shù)的定義域和二階導數(shù)；(2)求使二階導數(shù)等于零和使二階導數(shù)不存在的點，用這些點將定義域分成若干個小區(qū)間；(3)用定理2-11判斷各小區(qū)間內曲線的凹凸性，并求出拐點坐標．注：函數(shù)凹凸性的分界點不一定是函數(shù)定義域內的點．如：f(x)=1/x，x=0.醫(yī)科Ⅲ作業(yè)4:P59-60:29,30(2)(5).67離原點時，若動點M與某一直線L的距離趨近于零，五、函數(shù)曲線的漸近線定義2-5當曲線C上的動點M沿著曲線C無限地遠或為“縱坐標差”則稱此直線L為曲線C的漸近線（asymptote）．681.水平與鉛直（垂直）漸近線五、函數(shù)曲線的漸近線（例題）若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例1.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線；為垂直漸近線.692.斜漸近線五、函數(shù)曲線的漸近線若70例2.

求曲線五、函數(shù)曲線的漸近線（例題）的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因為曲線的斜漸近線.71五、函數(shù)曲線的漸近線（練習題）

一般地，有間斷點的函數(shù)曲線才可能有垂直漸近線，定義域為無窮區(qū)間的函數(shù)曲線才可能有水平漸近線和斜漸近線。解:醫(yī)科Ⅱ作業(yè)6:P59-60:30(2)(5),31(3)(7),35,36,39.72六、函數(shù)圖形的描繪1.

求函數(shù)的定義域，討論函數(shù)的奇偶性和周期性；2.求出使函數(shù)的一階、二階導數(shù)為零的點和不存在的點；3.用這些點將定義域分成若干個區(qū)間，列表討論函數(shù)的單調性與極值、凹凸性與拐點；

4.求函數(shù)的間斷點，討論函數(shù)曲線是否有垂直漸近線。若函數(shù)的定義域為無窮區(qū)間，則討論函數(shù)曲線是否有水平漸近線和斜漸近線；

5.求曲線的駐點、極值點、拐點坐標及曲線與坐標軸的交點坐標，根據需要補充一些特殊點的坐標；

6.在直角坐標系下，先標明這些關鍵點，畫出漸近線，再按照曲線的性態(tài)逐段描繪，最后便得到函數(shù)圖形。

73六、函數(shù)圖形的描繪（例題）例1.

描繪的圖形.解:1.無奇偶性及周期性.4.無漸近線.2.極大值拐點極小值5.6.3.列表74六、函數(shù)圖形的描繪（例題）例2.

描繪函數(shù)的圖形.解:1.圖形對稱于

y

軸.2.3.判別曲線性態(tài)(極大)(拐點)754.求漸近線六、函數(shù)圖形的描繪（例題）(極大)(拐點)為水平漸近線.無鉛直漸近線和斜漸近線.6.作圖:5.無補充點.76六、函數(shù)圖形的描繪（練習題）描繪方程的圖形.解:1.2.求關鍵點醫(yī)學曲線的性態(tài)分析77六、函數(shù)圖形的描繪（練習題）3.判別曲線性態(tài)極大值極小值4.求漸近線為鉛直漸近線.無定義無水平漸近線.78六、函數(shù)圖形的描繪（練習題）又因5.求特殊點為斜漸近線.79六、函數(shù)圖形的描繪（練習題）6.繪圖極大值極小值斜漸近線鉛直漸近線特殊點無定義80七、醫(yī)藥學曲線的性態(tài)分析例1.曲線f(x)凸增曲線

f(x)減速增加曲線f(