北京市懷柔區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2012-2013學(xué)年北京市懷柔區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．(5分）已知全集U=R，集合A=｛x|x2﹣x＞0},則?UA等于(）A．｛x|0≤x≤1}B．{x｜0＜x＜1}C．{x|x＜0或x＞1}D．{x｜x≤0或x≤1｝考點：補集及其運算．專題：計算題．分析：首先求解二次不等式化簡集合A，然后直接利用補集的概念求解．解答:解：由集合A=｛x|x2﹣x＞0}=｛x|x＜0或x＞1｝,全集U=R，所以?UA={x｜0≤x≤1}．故選A．點評:本題考查了補集及其運算，考查了一元二次不等式的解法,是基礎(chǔ)的計算題．2．（5分）若，那么=（)A．=（1，2）B．3C．2D．1考點：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：利用向量模的計算公式即可得出．解答：解:=2．故選C．點評:熟練掌握向量模的計算公式是解題的關(guān)鍵．3．（5分）已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，且,a4=﹣1，則｛an}的公比q為（）A．B．﹣C．2D．﹣2考點:等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析:結(jié)合題意由等比數(shù)列的通項公式可得8=﹣1×q3，由此求得q的值．解答：解:等比數(shù)列{an｝中，，a4=﹣1，設(shè)公比等于q，則有﹣1=×q3，∴q=﹣2，故選：D．．點評:本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）設(shè)向量=（0，2)，=（，1），則，的夾角等于（）A．B．C．D．考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．專題：計算題;平面向量及應(yīng)用．分析：利用向量的數(shù)量積即可求得，的夾角的余弦,繼而可求得，的夾角．解答：解：∵=（0,2），=（，1），∴?=｜｜｜｜cos＜，＞=0×+2×1=2，又｜｜=｜|=2，∴cos＜,＞==，又＜,＞∈［0,π］，∴＜，＞=．故選A．點評：本題考查向量的數(shù)量積表示兩個向量的夾角，屬于中檔題．5．(5分）在區(qū)間［﹣10，10］上隨機取一個數(shù)x，則x使不等式x2﹣x﹣6≤0成立的概率為（)A．B．C．D．考點：幾何概型．專題：概率與統(tǒng)計．分析：先利用不等式求出滿足不等式成立的x的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式求解．解答:解：由題意知﹣10≤x≤10．由x2﹣x﹣6≤0，解得﹣2≤x≤3，所以由幾何概型的概率公式可得使不等式x2﹣x﹣6≤0成立的概率為，．故選B．點評：本題主要考查幾何概型，要求熟練掌握幾何概型的概率求法．6．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：2：4，則cosC的值為（）A．B．C．D．考點：余弦定理．專題：計算題．分析:由正弦定理可知，sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：2:4,可設(shè)a=3k，b=2k，c=4k,由余弦定理可得，cosC=可求．解答：解:由正弦定理可知，sinA：sinB:sinC=a:b:c=3：2：4∴可設(shè)a=3k，b=2k，c=4k由余弦定理可得，cosC===故選A．點評：本題主要考查了正弦定理a：b：c=sinA：sinB：sinC，及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題7．（5分）已知a＞0,b＞0，則的最小值是（）A．2B．C．5D．4考點：基本不等式．專題:不等式的解法及應(yīng)用．分析:兩次利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答：解：∵a＞0,b＞0，∴=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號．故選D．點評:熟練掌握基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．(5分)如右圖所示，點P在邊長為1的正方形的邊上運動，設(shè)M是CD邊的中點，則當(dāng)點P沿著A﹣B﹣C﹣M運動時，以點P經(jīng)過的路程x為自變量，三角形APM的面積函數(shù)的圖象形狀大致是（）A．B．C．D．考點：函數(shù)的圖象．專題：作圖題．分析：隨著點P的位置的不同，討論三種情形即在AB上，在BC上,以及在CM上分別建立面積的函數(shù)，分段畫出圖象即可．解答：解：根據(jù)題意得f（x）=，分段函數(shù)圖象分段畫即可,故選A．點評：本題主要考查了分段函數(shù)的圖象，分段函數(shù)問題，應(yīng)切實理解分段函數(shù)的含義，把握分段解決的策略．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9．（5分)（2010?長春三模）函數(shù)的最小值為3．考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．分析:求兩個數(shù)和的最小值，湊出兩個數(shù)的積為定值，滿足基本不等式成立的條件．解答：解：=x﹣1+1≥2+1=3當(dāng)且僅當(dāng)x﹣1=即當(dāng)x=2時取“=”所以的最小值為3故答案為3點評:利用基本不等式求最值，一定要注意需要的條件:一正、二定、三相等．10．（5分）某算法的程序框圖如圖所示，則程序輸出y的值是﹣1．考點：選擇結(jié)構(gòu)．專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由題意,x=﹣1，執(zhí)行函數(shù)y=3x+2，代入計算可得結(jié)論．解答：解：由題意,x=﹣1,執(zhí)行函數(shù)y=3x+2,代入計算可得y=﹣1故答案為：﹣1點評：本題考查選擇結(jié)構(gòu)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）(2009?浙江）某個容量為100的樣本的頻率分布直方圖如下，則在區(qū)間[4，5）上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)為30．考點：頻率分布直方圖．專題:計算題．分析：根據(jù)頻率分布直方圖各組頻率之和為1，從圖中的各段的頻數(shù)計算出在區(qū)間[4，5)上的頻率,再由頻率=，計算其頻數(shù)．解答：解:根據(jù)題意，在區(qū)間[4，5］的頻率為：1﹣（0。05+0。1+0。15+0.4)×1=0.3，而總數(shù)為100,因此頻數(shù)為30．故答案為30．點評：本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．12．（5分)若變量x,y滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：計算題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域,得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y對應(yīng)的直線進行平移，可得當(dāng)x=，y=時,z取得最大值．解答:解：作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（，)，B(﹣，﹣1），C（2,﹣1）設(shè)z=F（x，y）=x+2y，將直線l:z=x+2y進行平移，當(dāng)l經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)z達到最大值∴z最大值=F(,）=故答案為:點評：本題給出二元一次不等式組,求目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知平面向量滿足，且與的夾角為135°，與的夾角為120°,，則=．考點:平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用；向量在幾何中的應(yīng)用．分析：由已知,可知三個向量首尾相接后,構(gòu)成一個三角形，且與的夾角為135°，與的夾角為120°，，可以得到三角形的兩個內(nèi)角和一邊的長，利用正弦定理，可求出向量對應(yīng)邊的長度．解答：解：∵∴三個向量首尾相接后，構(gòu)成一個三角形且與的夾角為135°,與的夾角為120°，，故所得三角形如下圖示：其中∠C=45°，∠A=60°，AB=2∴==故答案為：點評：求向量的模有如下方法:若已知向量的坐標(biāo)，或向量起點和終點的坐標(biāo),則或;若未知向量的坐標(biāo)，只是已知條件中有向量的模及夾角，則求向量的模時，主要是根據(jù)向量數(shù)量的數(shù)量積計算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再開方求解．將表示向量的有向線段納入三角形，解三角形求出對應(yīng)邊長，從而得到向量的模．14．(5分）在北京舉辦的第七屆中國花博會期間，某展區(qū)用同樣的花盆擺成了若干如下圖所示的圖案，中第①個圖案只一個花盆；第②個，第③個，…的圖案分別按圖所示的方式固定擺放．從第①個圖案的第一個花盆開始，以后每一個圖案的花盆都自然擺放在它們的周圍，若以an表示第n個圖案的花盆總數(shù)，則a3=19；an=3n2﹣3n+1(答案用n表示）．考點：歸納推理．專題：規(guī)律型．分析：觀察圖形很容易看出第一個圖象由一盆花，第二個圖形比第一個圖形多放了6盆,第三個圖形比第二個圖形多放了2×6盆，可得后面圖形花盆數(shù)前面圖形花盆數(shù)存在關(guān)系，an﹣an﹣1=6×（n﹣1），利用累加法可得答案．解答：解：由圖知a1=1a2﹣a1=6=6×（2﹣1)，a3﹣a2=12=6×（3﹣1），…an﹣an﹣1=6×（n﹣1），∴an=1+6+12+…+6×（n﹣1）=1+=3n2﹣3n+1∴a3=19故答案為19,3n2﹣3n+1點評：本題是一道找規(guī)律的題目，對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．三、解答題:本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（13分)在△ABC中，AC=2,BC=1，．（Ⅰ）求AB的值；(Ⅱ）求sinA的值．考點：余弦定理;正弦定理．專題：計算題．分析:(Ⅰ）利用余弦定理即可求得AB的值;（Ⅱ）由題意，利用正弦定理=即可求得sinA的值．解答：解：（Ⅰ）∵AB2=BC2+AC2﹣2BC?ACcosC=12+22﹣2×1×2×=2∴AB=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）∵在△ABC中,cosC=，∴sinC==,由=得：sinA==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分）點評：本題考查正弦定理與余弦定理，掌握二定理是解決問題之關(guān)鍵，屬于中檔題．16．（13分）一只口袋中裝有三個相同的球，編號分別為1,2，3．現(xiàn)從袋中隨機取球,每次取一個球，確定編號后放回，連續(xù)取球兩次．（Ⅰ）試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果；（Ⅱ）求兩次取球中恰有一次取出3號球的概率．考點:列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．專題:概率與統(tǒng)計．分析：（Ⅰ)根據(jù)分步計數(shù)原理求得一共有3×3=9種不同的結(jié)果，一一列舉出來．（Ⅱ）記“兩次取球中恰有一次取出3號球”為事件A．用列舉法求得事件A包含的基本事件數(shù)為4，由(Ⅰ）可知,基本事件總數(shù)為9，由此求得事件A的概率．解答：解：（Ⅰ）一共有3×3=9種不同的結(jié)果，列舉如下：（1，1），(1,2），（1，3），（2，1），（2，2)，（2，3），（3，1），（3,2），（3,3）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）記“兩次取球中恰有一次取出3號球”為事件A．事件A包含的基本事件為：（1，3),（2,3)，（3,1）,（3，2）,事件A包含的基本事件數(shù)為4，由（Ⅰ）可知,基本事件總數(shù)為9，所以事件A的概率為。．答：兩次取球中恰有一次取出3號球的概率為。．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分)點評：本題考主要查古典概型問題，可以列舉出試驗發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，列舉法，是解決古典概型問題的一種重要的解題方法，屬于基礎(chǔ)題．17．（13分）已知等差數(shù)列{an｝中,a1=2,a3=﹣6．(Ⅰ)求數(shù)列{an｝的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列｛an}的前k項和Sk=﹣48，求k的值．考點:等差數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的通項公式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+（n﹣1）d．再由a1=2，a3=﹣6，求得d的值，從而求得通項公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=6﹣4n，求得Sn==4n﹣2n2．再由Sk=﹣48，可得4k﹣2k2=﹣48，解得k的值．解答:解:（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an=a1+（n﹣1）d．由a1=2,a3=﹣6，可得2+2d=﹣6，解得d=﹣4．從而，an=2+（n﹣1)×（﹣4）=6﹣4n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）(Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=6﹣4n,所以Sn==4n﹣2n2．進而由Sk=﹣48，可得4k﹣2k2=﹣48．即k2﹣2k﹣24=0，解得k=6或k=﹣4．又k∈N＊,故k=6為所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）點評:本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（14分）（2010?泰安二模）學(xué)校為了了解某學(xué)科模塊測試情況，隨機抽取了甲、乙兩班各10名同學(xué)的成績(滿分100分)，獲得成績數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖：（I)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均成績較高；（II)計算甲班的樣本方差；（III）現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機抽取兩名成績不低于83分的同學(xué)，求成績?yōu)?6分的同學(xué)被抽中的概率．考點：莖葉圖；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；等可能事件的概率．專題：計算題；綜合題．分析：（I）根據(jù)莖葉圖所給的兩個班的10名同學(xué)的成績，做出兩名同學(xué)的平均分，進行比較，得到甲班的平均數(shù)低于乙班的平均數(shù)．（II）根據(jù)莖葉圖所給的甲班的分數(shù)和甲班的平均數(shù)，代入方差公式，做出這組數(shù)據(jù)的方差，注意不要漏掉數(shù)據(jù)．(III）本題是一個等可能事件的概率,試驗發(fā)生包含的事件是從乙班10名同學(xué)中抽取兩名成績不低于83的可以通過列舉得到結(jié)果數(shù)，滿足條件的事件也可以通過列舉得到結(jié)果數(shù)，求出概率．解答：解：（I）由莖葉圖可知:∴（II)甲班的樣本方差：S2=［（80﹣68）2+(80﹣78）2+（80﹣78）2+(80﹣73）2+（80﹣72)2+（80﹣89）2+（80﹣89）2+(80﹣89)2+（80﹣81）2+（80﹣80）2+（80﹣92）2］=57.2（III）由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從乙班10名同學(xué)中抽取兩名成績不低于83的有：(91，83），(91，86），(91，88）,（91,89)，（89,83），（89，86），（89，88）,（88，83)，（88，86),（86,83）共有10個基本事件設(shè)成績?yōu)?6的同學(xué)被抽中的事件A,則事件A所含（91，86）,(89,86),(88,86），（86，83)共4個基本事件∴．點評:本題考查莖葉圖，考查兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，考查一組數(shù)據(jù)的方差，考查等可能事件的概率，是一個概率統(tǒng)計的綜合題目．19．(13分）（2011?西城區(qū)一模)設(shè)△ABC中的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，b=2．(Ⅰ）當(dāng)時,求角A的度數(shù)；(Ⅱ)求△ABC面積的最大值．考點：正弦定理．專題:計算題．分析：（I）由可求sinB=且B為銳角，由b=2，a=考慮利用正弦定理可求sinA，結(jié)合三角形的大邊對大角且a＜b可知A＜B，從而可求A,(II）由,b=2利用余弦定理可得，b2=a2+c2﹣2accosB，把已知代入,結(jié)合a2+c2≥2ac可求ac的范圍,在代入三角形的面積公式可求△ABC面積的最大值．解答：解：∵∴si