第8講分式方程(講練)(解析版)

備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)一輪講練測第二單元方程（組）與不等式（組）第8講分式方程1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定義及產(chǎn)生增根的原因；2.會解可化為一元一次方程的分式方程，并能對分式方程的解進(jìn)行檢驗，判斷方程的解是不是增根；3.會列分式方程解決實際問題.1．（2018?荊州）解分式方程﹣A．1﹣3（x﹣2）＝C．﹣1﹣3（2﹣x）＝﹣3＝時，去分母可得（）B．1﹣3（x﹣2）＝﹣D．1﹣3（2﹣x）＝4444【思路點撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，即可作出判斷．【答案】解：去分母得：1﹣3（x﹣2）＝﹣4，故選：B．【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．2．（2020?長興縣一模）關(guān)于x的分式方程﹣1＝2的解是（）1/15A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝x的值，經(jīng)檢驗【思路點撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到即可得到分式方程的解．【答案】解：去分母得：1﹣x＝2x，解得：x＝，x＝是分式方程的解．D．經(jīng)檢驗故選：【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．3．（2020?瓜州縣一模）A，B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即4千米/時，若設(shè)該輪船在靜水中從B地逆流返回A地，共用去9小時，已知水流速度為的速度為x千米/時，則可列方程（）A．B．D．C．+4＝9【思路點撥】本題的等量關(guān)系為：順流時間+逆流時間＝9小時．【答案】解：順流時間為：；逆流時間為：．所列方程為：+＝9．故選：A．【點睛】未知量是速度，有速度，一定是根據(jù)時間來列等量關(guān)系的．找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解4．（2019?平邑縣一模）關(guān)于x的方程的解為A．1B．3C．﹣定義，把x＝1代入原方程，原方程決問題的關(guān)鍵．x＝1，則a＝（）D．﹣左右兩邊相等，從而原以求得a的值．13【思路點撥】根據(jù)方程的解的方程轉(zhuǎn)化為含有a的方新程，解此方新程可【答案】解：把x＝1代入原方程得，去分母得，8a+12＝3a﹣3．解得a＝﹣3．2/15故選：D．【點睛】解題關(guān)鍵是要掌握方程的解的定義，使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解．5.（2020?義烏市模擬）對于實數(shù)a、b，定義一種新運算“Θ”為：aΘb＝，例如：1Θ2＝，則xΘ（﹣2）＝﹣1的解是（）A．3B．﹣C．53D．﹣5【思路點撥】所求方程利用題中的新定義化簡，計算即可求出解．【答案】解：根據(jù)題中的新定義得：＝﹣1，去分母得：1＝2﹣x﹣4，x＝﹣3，x＝﹣3是分式方程的解．B．解得：經(jīng)檢驗故選：【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．6．（2020春?北侖區(qū)期末）若分式方程＝4﹣無解，則a的值為﹣2．x的值，代入得出a的值．a(chǎn)＝4（x+2）﹣2，x＝，【思路點撥】根據(jù)題意得出方程無解時【答案】解：去分母得：整理得：分式方程無解，則＝﹣2，則a＝﹣2．故答案為：﹣2．【點睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是明確什么時候分式方程無解．7．（2019秋?正定縣期末）關(guān)于2且m≠4．【思路點撥】解分式方程，用含m的代數(shù)式x的分式方程的解為正數(shù)，則m的值為m＞﹣表示出x，根據(jù)解為正數(shù)，得不等式，求解不等式即可．【答案】解：去分母，得7x+5（x﹣1）＝2m﹣1，整理，得6x＝m+23/15解得x＝∵方程的解為正數(shù)，且x≠10且≠m＞﹣2且m≠4．m＞﹣2且m≠4．∴＞1解得故答案為：【點睛】本題考查了分式方程及一元一次不等式的解法．本題易錯，易忘記分母不等于0時m的值．8．（2020春?東陽市期末）小明在解一道分式方程，過程如下：第一步：方程整理第二步：去分母…（1）請你說明第一步和第二步變化過程的依據(jù)分別是分式的基本性質(zhì)、等式的基本性質(zhì)；（2）請把以上解分式方程過程【思路點撥】（1）利用分式的基本性質(zhì)及等式的基本性質(zhì)判斷即可；（2）寫出正1）第一步方程等式的基本性質(zhì)．故答案為：分式的基本性質(zhì)；等式的基本性質(zhì)；（2）去分母得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，去括號得：x﹣1﹣x+2＝2x﹣5，x﹣x﹣2x＝1﹣2﹣5，2x＝﹣6，系數(shù)化為1得：x＝3，x＝3是原方程的解．補(bǔ)充完整．確的解題過程即可．【答案】解：（變形的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；第二步方程變形的依據(jù)是移項得：合并得：﹣經(jīng)檢驗，【點睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵．9.（2019?翁牛特旗模）擬解方程：﹣＝．【思路點撥】觀察可得最簡公分母是（x2﹣1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方4/15程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．【答案】解：方程的兩邊同乘（x2﹣1），得2（x﹣1）＝4，x＝﹣1或2．x＝﹣1時，（x2﹣1）＝∴x＝﹣1是原方程的增根．當(dāng)x＝2時，（3≠0，x2﹣1）＝x＝2．x（x+1）﹣解得檢驗：當(dāng)0，∴原方程的解為：【點睛】本題考查了分式方程解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗根．1．分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：(1)基本思路：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．(2)基本方法和步驟：①去分母：在方程兩邊同時都乘最簡公分母轉(zhuǎn)化為整式方程；②解這個整式方程；③檢驗：把求得的根代入最簡公分母，使最簡公分母≠0的就是原方程的根，使最簡公分母＝0的就是增根，應(yīng)舍去．有時需要把求得的根代入原分式方程左右兩邊進(jìn)行檢驗．3．分式方程的最簡公分母等于0的未知數(shù)的值，稱為增根．4．分式方程的增根：解分式方程時，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一過程中，產(chǎn)生了使原分式方程的應(yīng)用：列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：審(審清題意)、設(shè)(設(shè)未知數(shù))、找(找相等關(guān)系)、列(列方程)、解(解出這個方程)、驗(既要檢驗所得的根是否是所列分式方程的根，又要檢驗這個根是否符合題意)、答(寫出答案)．【考點一解分式方程及分式方程的解】5/15例1．（2019?衢州一模）解分式方程：﹣1＝．【思路點撥】首先找出最簡公分母，進(jìn)而去分母解方程即可．【答案】解：方程兩邊同時乘以（x+2）（x﹣2）得：x﹣2）＝x＝﹣2，x＝﹣2時，（∴x＝﹣2是原方程的增根，原方程無解．（x﹣2）2﹣（x+2）（16解得：檢驗：當(dāng)x+2）（x﹣2）＝0，【點睛】此題主要考查了解分式方程，正確找出最簡公分母是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2019?平頂山二模）已知分式方程﹣＝1，去分母后得（）1＝x2﹣4A．x（x+2）﹣1＝1B．x（x﹣2）﹣C．x（x+2）﹣1＝x2﹣4D．x﹣1＝x2﹣4【思路點撥】兩邊都乘以最簡公分母（x+2）（x﹣2）即可得．【答案】解：方程兩邊都乘以最簡公分母（x+2）（x﹣2），得：x（x+2）﹣1＝（x+2）（x﹣2），即x（x+2）﹣C．1＝x2﹣4，故選：【點睛】本題主要考查解分式方程，準(zhǔn)確找到最簡公分母是解題的關(guān)鍵．2．（2019?拱墅區(qū)校級模擬）在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“△”，其規(guī)則是x△（x+1）＝的解是x＝1．a(chǎn)△b＝，則方程x△（x+1）＝可化為：a△b＝，根據(jù)這一規(guī)則，方程【思路點撥】注意到題干中的規(guī)則是，解分式方程即可【答案】解：由題意，方程x△（x+1）＝可化為：，2（x+1）+2x＝3x（x+1）去括號得，4x+2＝3x2+3x3x2﹣x﹣2＝0去分母得，移項合并同類項得，6/15解得x＝，x＝112經(jīng)檢驗x＝，x＝1是原方程的解12∵規(guī)則是a△b＝中，a，b均為正數(shù)x△（x+1）＝的解為x＝1x＝1∴方程故答案為：【點睛】此題考查的是解分式方程，在求解過程中要注意檢驗，對于此類題型考查的是分式方程的變形，在做題時要注意新定義的規(guī)則，否則會容易出錯．3．（2020?濱州模擬）數(shù)．因此就將具有這樣性質(zhì)的三個數(shù)稱之為調(diào)和數(shù)，x、5、3（x＞5），則【思路點15．學(xué)家們在研究15、12、10這三個數(shù)的如6、3、2也是x的值是15．從x＞5判斷，x相當(dāng)于已知規(guī)律中的倒數(shù)時發(fā)現(xiàn)：﹣＝﹣一組調(diào)和數(shù)．現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：撥】根據(jù)題意，利用已知規(guī)律求未知數(shù)，【答案】解：∵x＞5∴x相當(dāng)于已知調(diào)和數(shù)15，代入得，﹣＝﹣，x＝15．x＝15是原方程的解．15．解得，經(jīng)檢驗得出：故答案為：【點睛】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是通過觀察分析，未知調(diào)和數(shù)利用已知調(diào)和數(shù)4．（2020?下城區(qū)一模）解分式方程＝﹣2圓圓的解答去分母，得1﹣x＝﹣1﹣2化簡，得x＝4經(jīng)檢驗，x＝4是原方程的解．x＝4．圓圓的解答正確嗎？如果不正確，寫出正【思路點撥】圓圓的解答有誤，原即可．來解得．如：下解：∴原方程的解為確的解答．因是去分母時﹣2沒有乘以（x﹣2），寫出正確的解答7/15【答案】解：圓圓的解答錯誤，正確解答為：方程整理得：＝﹣﹣2，1﹣2（x﹣2），1﹣x＝﹣1﹣2x+4，x＝2，x＝2是增根，分式方程無解．去分母得：1﹣x＝﹣去括號得：移項合并得：經(jīng)檢驗【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．5.（2020?甘肅模擬）如圖，點A、B在數(shù)軸上且點A在點B的左側(cè)，它們所對應(yīng)的數(shù)分別是和．（1）當(dāng)x＝1.5時，求AB的長．（2）當(dāng)點A到原點的距離比B到原點的距離多3，求x的值．【思路點撥】（1）表示出AB的長，（2）根據(jù)題意即可得到x的值．1）根據(jù)題意得：﹣＝，當(dāng)x＝1.5時，AB＝＝3；（2）根據(jù)題意得：﹣＝3，2﹣x+1＝6﹣3x，x＝1.5，x＝1.5是分式方程的解．將x代入計算即可；列出分式方程，求出解【答案】解：（去分母得：解得：經(jīng)檢驗【點睛】此題考查了解分式方程，以及數(shù)軸，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【考點二分式方程的增根問題】例2．（2019春?蘭州期末）分式方程＝﹣3有增根，則增根為2，a為1．【思路點撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出x的值，進(jìn)而確8/15定出a的值．【答案】解：去分母得：a＝x﹣1﹣3x+6，x﹣2＝0，即x＝2；把x＝2代入整式方程得：a＝1，2；1由分式方程有增根，得到故答案為：【點睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【變式訓(xùn)練】1．（2020?武威模擬）若分式方程2+＝有增根，則C．1x＝2代入計算即可求出2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，1﹣2k＝﹣1，k的值為（）D．2k的值．A．﹣B．﹣21【思路點撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將【答案】解：分式方程去分母得：由題意將x＝2代入得：k＝1．C．解得：故選：【點睛】此題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡公分母為②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．x的方程的解為正數(shù)，則k的取值范圍是（）0確定增根；2．（2018?上城區(qū)二模）已知關(guān)于A．k＞﹣C．k＞﹣1且k≠11B．k＞1D．k＞1且k≠2【思路點撥】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程的解為正數(shù)，確定出k的范圍即可．【答案】解：分式方程去分母得：k﹣1＝x﹣2，解得：x＝k+1，由分式方程的解為正數(shù)，得到k+1＞0，且k+1≠2，1且k≠1，C．解得：k＞﹣故選：【點睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本9/15題的關(guān)鍵．3．（2020?甘南縣模擬）已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是m≥2且m≠3．【思路點撥】解出分式方程，根據(jù)解是非負(fù)數(shù)求出m的取值范圍，再根據(jù)x＝1是分式方程的增根，求出此時m的值，得到答案．【答案】解：去分母得，m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，由題意得，m﹣2≥0，解得，m≥2，x＝1是分式方程的增根，所有當(dāng)x＝1時，方程無解，即m≠3，所以m的取值范圍是m≥2且m≠3．故答案為：m≥2且m≠3．【點睛】本題考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判斷方法是解題的關(guān)鍵．4.（2019春?越城區(qū)期末）若關(guān)于x的方程＝+1無解，則a的值是．【思路點撥】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．據(jù)此解答可得．：去分母，得：ax＝3+x﹣1，a﹣1）x＝2，當(dāng)x＝1時，分式方程【答案】解整理，得：（無解，則a﹣1＝2，解得：a＝3；當(dāng)整式方程無解時，a＝1，故答案為：3或1．【點睛】本題考查了分式方程的解，分式方程無解的條件，最簡公分母為0，或者得到的整式方程無解．5.（2020?拱墅區(qū)校級模擬）（1）若解關(guān)于x的分式方程+＝會產(chǎn)生增根，求10/15m的值．（2）若方程＝﹣1）根據(jù)增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為m的值．x的值，然后再依據(jù)“解是正數(shù)”建立不等式求a的1的解是正數(shù)，求a的取值范圍．【思路點撥】（0的根，把增根代入化為整式方程的方程即可求出（2）先解關(guān)于x的分式方程，求得取值范圍．【答案】解：（1）方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）∵最簡公分母為（x+2）（x﹣2），x＝±2，x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．m＝﹣4或6．（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣xx＝，∴原方程增根為∴把綜上，可知解得：∵解為正數(shù)，∴，∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣∴a＜2且a≠﹣4．4【點睛】本題考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【考點三分式方程的應(yīng)用】例3．（2020?蕭山區(qū)一司研發(fā)生產(chǎn)的560件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場．現(xiàn)由甲、乙兩個工廠來加工生產(chǎn)，已知甲工廠每天加工生產(chǎn)的1.5倍，并且加工生產(chǎn)240件新產(chǎn)品工甲廠比乙工廠少用4天．模）某公新產(chǎn)品件數(shù)是乙工廠每天加工生產(chǎn)新產(chǎn)品件數(shù)的11/15（1）求甲、乙兩個工廠每天分別可加工生產(chǎn)多少件新產(chǎn)品？（2）若甲工廠每天的加工生產(chǎn)成本為2.8萬元，乙工廠每天的加工生產(chǎn)成本為2.4萬元要使這批新產(chǎn)品的加工生產(chǎn)總成本不超過60萬元，至少應(yīng)安排甲工廠加工生產(chǎn)多少天？【思路點撥】（1）設(shè)乙工廠每天可加工生產(chǎn)x件新產(chǎn)品，則甲工廠每天可加工生產(chǎn)1.5x件新產(chǎn)品，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；（2）設(shè)甲工廠加工生產(chǎn)y天，根據(jù)題意列出不等式，求出不等式的解集即可得到結(jié)果．【答案】解：（件新產(chǎn)品，1）設(shè)乙工廠每天可加工生產(chǎn)x件新產(chǎn)品，則甲工廠每天可加工生產(chǎn)1.5x根據(jù)題意得：+4＝，去分母得：240+6x＝360，解得：x＝20，x＝20是分式方程的解，且符合題意，∴1.5x＝30，經(jīng)檢驗則甲、乙兩個工廠每天分別可加工生產(chǎn)30件、20件新產(chǎn)品；（2）設(shè)甲工廠加工生產(chǎn)2.8y+2.4×y≥9，y天，根據(jù)題意得：≤60，解得：則少應(yīng)安排甲工廠加工生產(chǎn)9天．【點睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020?上城區(qū)一模）變．?dāng)?shù)據(jù)表明，杭州上塘高架路上提升了15%，節(jié)省時間5分鐘，設(shè)提速前車輛平均速度為xkm/h，則“杭州城市大腦”用大數(shù)據(jù)改善城市共22km的路程，利用城市大腦下列方程正確的是交通，實現(xiàn)了從治堵到治城的轉(zhuǎn)后，車輛通過速度平均（）A．﹣＝5﹣＝5B．﹣D．＝C．﹣＝【思路點撥】設(shè)提速前車輛平均速度為xkm/h，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：提速前行駛22km12/15所用時間﹣提速后行駛22km所用時間＝小時，然后列出方程即可．【答案】解：設(shè)提速前車輛平均速度為xkm/h，由題意得：﹣＝，故選：B．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程．2．（2019?西寧一模）某市為解決部分市民冬季集中取暖問題需鋪設(shè)一條長3000米的管道，為盡量減少施工對交通造成的影響，實施施工時“…”，設(shè)實際每天鋪設(shè)管道x米，則可，根據(jù)此情景，題中用“…”表示的缺失的條件應(yīng)補(bǔ)為（）A．每天比原計劃多鋪設(shè)10米，得方程結(jié)果延期15天才完成B．每天比原計少劃鋪設(shè)10米，C．每天比原計劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果延期15天才完成結(jié)果提前15天才完成D．每天比原計少劃鋪設(shè)10米，【思路點撥】工作時間＝工么3000÷（x﹣10）就表示原計的劃工作時間，15就代表現(xiàn)在比原計少劃的時間．x米，原計劃每天鋪設(shè)管道（x﹣10）米，方程，則表示實際用的時間﹣原計用劃的時間＝15天，每天比原計劃多鋪設(shè)10米，15天完成任務(wù)．C．【點睛】本題主要考查了給出的條判斷．3．（2020?溫嶺市校級一模）某市要筑一水壩，需要在規(guī)定天數(shù)恰能如期完成；如果由乙隊去做，需超過規(guī)定天數(shù)三天．現(xiàn)由甲、乙兩隊合作余下的工程由乙隊獨自做，恰好在規(guī)定天數(shù)結(jié)果提前15天才完成作總量÷工作效率．那么3000÷x表示實際的工作時間，那【答案】解：設(shè)實際每天鋪設(shè)管道那么就說明實際結(jié)果提前故選：根據(jù)方程來判斷缺失的條件，要注意方程所表示的意思，結(jié)合題目件得出正確的內(nèi)完成，如果由甲隊去做，2天后，內(nèi)完成．設(shè)規(guī)定的天數(shù)為x，下面所列方程正確的是（）A．B．D．C．13/15【思路點撥】設(shè)規(guī)定的天數(shù)為x，則甲隊單獨去做需要x天，乙隊單獨去做需要（x+3）x的分式方程，此天，根據(jù)甲隊完成的部分+乙隊完成的部分＝總工程量，即可得出關(guān)于題得解．【答案】解：設(shè)規(guī)定的天數(shù)為x，則甲隊單獨去做需要x天，乙隊單獨去做需要（x+3）天，依題意，得：+＝1．故