2014年數(shù)學(xué)建模暑期練習(xí)題

2014年數(shù)學(xué)建模暑期練習(xí)題2014年數(shù)學(xué)建模暑期練習(xí)1.食品廠用三種原料生產(chǎn)兩種糖果，糖果的成分要求和銷售價見表1。表1糖果有關(guān)數(shù)據(jù)原料A原料B原料C價格（元/kg）高級奶糖>50%>25%<10%24水果糖<40%<40%>15%15各種原料的可供量和成本見表2。表2各種原料數(shù)據(jù)原料可供量（公斤）成本（員/公斤）A50020B75012C6258該廠根據(jù)訂單至少需要生產(chǎn)600公斤髙級奶糖，800公斤水果糖，為求最大利潤，試建立線性規(guī)劃模型并求解。2.某商業(yè)公司計劃開辦5家新商店。為了盡早建成營業(yè)，商業(yè)公司決定由5家建筑公司分別承建。已知建筑公司人（心123,4,5）對新商店為（j=1,2,3,4,5）的建造費用的報價（萬元）為?（/,7=1,23,4,5）,見表3。商業(yè)公司應(yīng)當(dāng)對5家建筑公司怎樣分配建造任務(wù)，才能使總的建造費用最少？表3各建筑公司的建筑費用數(shù)據(jù)B、B.民B,4871512Ay79171410691287671461069121063.上海醫(yī)科大學(xué)病理生理教研室曾做過小鼠肉瘤的增長實驗，并得到了如表4所示的數(shù)據(jù)。表4小鼠肉瘤的實驗數(shù)據(jù)0216239 11 1325 27151719體0.0040.0310.061 0.074 0.1030.1520.2100.339積0.5200.8131.269 1.558（1）若『時刻腫瘤的體積卩⑴滿足指數(shù)模型dv—=rv<dty(0)=Vo請擬合參數(shù)I(2)若/時刻腫瘤的體積Wf)滿足Logistic模型dv 門r—=av—pv<dtF(0)=v0請擬合參數(shù)a、卩。4.已知數(shù)據(jù)見表5。試求y對山宀內(nèi)的線性回歸方程并檢驗回歸效果，能否剔除一個變量？表5回歸分析數(shù)據(jù)序號x2y序號x2y10.453158641012.6581125120.423163601110.9371117633.11937711223.1461149640.634157611323.1501347754.72459541421.644739361.765123771523.1561689579.4444681161.93614354810.131117931726.858202168911.629173931829.951124995.煉鋼廠出鋼時所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕作用，隨著使用次數(shù)的增加，容積不斷增大，實測得到15組數(shù)據(jù)如表6。表6出鋼數(shù)據(jù)使用次數(shù)X23456789增大容積6.78.29.589.59.7109.969.99使用次數(shù)X10111213141516增大容積y10.4910.5910.610.810.610.910.76試分別按以下兩種形式建立y對x的回歸方程，畫出散點圖和回歸曲線，并根據(jù)適當(dāng)?shù)闹笜?biāo)判斷哪一種好o

yxhy=cex.6.已知數(shù)據(jù)見表7。表7已知數(shù)據(jù)表X00.511.522.533.544.555.5y3?67.510.712.713.112.511.310.711.815.422.23.6試求形式為y=aQ+a}x~+a2x+sinx的回歸方程并檢驗回歸效果。一枚導(dǎo)彈，以初始速度％,水平夾角Q離開原點(0,0)。如果導(dǎo)彈在(x「,兒)點著陸，且在飛行中受到一拉力，其大小和速度的平方成比例，那么控制導(dǎo)彈飛行軌跡的四個一階方程為空…后二g+5片J記+彳山心一厶加一厶匕山心一厶加一厶Vr丄其中p是導(dǎo)彈的垂直高度，X是飛行的水平距離，f是時間，匕和片分別是速度V的水平和垂直分量，5是拉力系數(shù)，g是重力加速度。這些方程僅當(dāng)b足夠大且叫大于零時才有效。初始條件為叫LjF'oCOSQ,vj/_o=v0sina,此.°=0當(dāng)v0=600f/s,c,/=0.002,g=45°時，畫出導(dǎo)彈到達兒=0前的飛行軌跡。求導(dǎo)彈的最大上升高度及出現(xiàn)這一高度時的飛行距離。求v=0時的值及到達這一點時所需的時間。1989年度西山礦務(wù)局五個生產(chǎn)礦井實際資料如表8所示，請對西山礦務(wù)局五個生產(chǎn)礦井1989年的企業(yè)經(jīng)濟效益進行綜合評價。表81989年度西山礦務(wù)局五個生產(chǎn)礦井技術(shù)經(jīng)濟指標(biāo)實現(xiàn)值指標(biāo)白家莊礦杜爾坪礦西銘礦官地礦西曲礦原煤成本99.89103.6997.42101.1197.21原煤利潤96.91124.7866.44143.9688.36原煤產(chǎn)量102.63101.85104.39100.94100.64原煤銷售量98.47103.16109.17104.3991.90商品煤灰分87.5190.2793.7794.3385.21全員效率108.35106.39142.35121.91158.61流動資金周轉(zhuǎn)天數(shù)71.67137.1697.65171.31204.52資源回收率103.2510010099.13100.22百萬噸死亡率171.251.3515.9053-7220.78友誼農(nóng)場有3萬畝農(nóng)田，欲種植玉米.大豆和小麥三種農(nóng)作物。各種作物每畝需施化肥分別為0.12噸、0.20噸、0.15噸。預(yù)計秋后玉米每畝可收獲500千克，售價為0.24元/千克，大豆每畝可收獲200千克，售價為1?20元/千克，小麥每畝可收獲350千克，售價為U.70元/千克。農(nóng)場年初規(guī)劃時考慮如下幾個方面。年終收益不低于350萬元；總產(chǎn)量不低于1.25萬噸；小麥產(chǎn)量以0.5萬噸為宜；大豆產(chǎn)量不少于0.2萬噸；玉米產(chǎn)量不超過0?6萬噸；農(nóng)場現(xiàn)能提供5000噸化肥：若不夠，可在市場高價購買，但希望高價采購量愈少愈好。試就該農(nóng)場生產(chǎn)計劃建立數(shù)學(xué)模型。設(shè)有9個節(jié)點4(21,…,9),他們的坐標(biāo)分別為(兀丿)，具體數(shù)據(jù)見表9。任意兩個節(jié)點之間的電纜長度為diJ=\xi-xJ\+\yi-yJ\問怎樣連接電纜，使每個節(jié)點都連通，且所用的總電纜長度為最短？表9點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)表?1123456789兀0516203323352510152024202511703最廉價飛機線路的選擇北京的一科技公司由于業(yè)務(wù)的需要，其總經(jīng)理每周要往返于總公司與各個子公司之間，其出行所乘坐的交通工具是飛機，各個城市間的飛機線路，及票價如下表

城市北京天津南京青島上海廣州深圳西安武漢杭州北京050INF4025101214INF15夭津5001520INF2520INF1716南京INF1501020INFINF2628INF青島4020100102532221821上海25INF201005516INF2124廣州1025INF255501724INF25深圳1220INF3216170162718西安14INF2622INF241601819武漢INF17281821INF2718020杭州1516INF2124251819200（注：數(shù)字代表價格,INF表示城市之間沒有線路。）問怎樣才能算出一張任意城市間的最廉價路線表。12?選址問題已知某地區(qū)的交通網(wǎng)絡(luò)如圖8?37所示，其中點代表居民小區(qū)，邊代表公路,邊上的數(shù)字為小區(qū)間公路距離（單位：千米人各個小區(qū)的人數(shù)如表10所示，問區(qū)中心醫(yī)院應(yīng)建在哪個小區(qū)，可使離醫(yī)院最遠的小區(qū)居民人均就診時所走的路程最近？表10 各個小區(qū)的人數(shù)小區(qū)1234567人數(shù)535989609600789067317694813613.高速公路修建費用問題4城和B城之間準(zhǔn)備建一條高速公路，B城位于A城正南90公里和正東120公里交匯處，它們之間有東西走向連綿起伏的山脈。公路造價與地形特點有關(guān)，如圖給出了整個地區(qū)的大致地貌情況，

已知圖中坐標(biāo)系原點為6OB為X軸，Q4為Y軸，經(jīng)測童，曲線CD-EF.1\ 7y=51+3cos—xy=68+4cos—x? 17曲〃分別近似滿足方"22+3y=51+3cos—xy=68+4cos—x? 17圖中顯示可分為三條沿東西方向的地形帶。已知每個地形帶的造價如下：地形帶平原高地高山造價（萬元/公里）5008001400你的任務(wù)是建立一個數(shù)學(xué)模型，在給定三種地形上4聊公里的建造費用的情況下，確定最便宜的路線。圖中直線AB顯然是路徑最短的，但不一定最便宜。你怎樣使你的模型適合于下面兩個限制條件的情況呢？（町當(dāng)?shù)缆忿D(zhuǎn)彎是，角度至少為140（）。（b）圖中P是個重要的城市，其坐標(biāo)為（44,60）,道路必須通過P城。14?一年生植物的繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種，不考慮腐爛，被人為掠取。這些種子如果可以活過冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過一個冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活1年，而近似的認為，種子最多可以活過三個冬天。現(xiàn)在在一片空地上種上卞=500顆某種一年生植物。記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為c,種子能活過一個冬天的（1歲種子）比例為瓦活過一個冬天沒有發(fā)芽又活過一個冬天的（2歲種子）比例仍為乞活過一個冬天沒有發(fā)芽又活過一個冬天的（3歲種子）比例仍也為方,1歲種子發(fā)芽率勺，2歲種子發(fā)芽率“2,3歲種子發(fā)芽率、設(shè)c=10,?=0.7,?=0.4,冷=02為固定，b是變量，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。船票價格某輪船公司爭取一個相距1000公里的甲、乙兩地的客運航線權(quán)，已知輪船的平

均載客人數(shù)為400人，輪船每小時使用的燃料費用和輪船的航行速度的立方成正比，輪船的最大速度為25公里/小時，當(dāng)船速為10公里/小時，它的燃料費用是每小時30元，其余費用(不論速度如何)都是每小時480元…若公司打算從每個乘客身上獲得利潤10元，試為該公司設(shè)計一種較為合理的船票價格。湖水的自我凈化問題設(shè)一容積為V(單位："、的大湖受到某種物質(zhì)的污染，污染物均勻的分布在湖中。若從某時刻起污染源被切斷，設(shè)湖水更新的速率是I?(單位天)。試建立求污染物濃度下降至原來的3%需要多長時間的數(shù)學(xué)模型。某湖的容積為5176*10人9(”)，湖水的流量為4.121"0八10(〃*/天)，求污染終止后，污染物下降到原來的3%所需的時間。x2+y2+zx2+y2+z2=361&庫存問題(1)已知某平原地區(qū)的一條公路經(jīng)過如下坐標(biāo)點，請用不同的插值方法繪出這條公路(不考慮公路的寬度)。對于下表給出的數(shù)據(jù)，并估計的公路長度。X(m)03050708090120148170180Y(m)80644742486680120121138X(m)202212230248268271280290300312Y(m)160182200208212210200196188186X(m)320340360372382390416430478440Y(m)200184188200202240246280296308X(m)420380360340320314280240200Y(m)334328334346356360392390400在物資的供應(yīng)過程中，由于到貨與銷售不可能做到同步.同量，故總要保持一定的庫存儲備。如果庫存過多，就會造成積壓浪費以及保管費的上升；如果庫存過少，會造成缺貨.如何選擇庫存和訂貨策略，就是一個需要研究的問題.庫存問題有多種類型，一般比較復(fù)雜，下面討論一種簡單的情況.某自行車商店的倉庫管理人員采取一種簡單的訂貨策略，當(dāng)庫存量降低到P輛自行車時就向廠家訂貨，每次訂貨Q輛，如果某一天的需求量越過了庫存量,商店就有銷售損失和信譽損失，但如果庫存量過多，會導(dǎo)致資金積壓和保管費增加.若現(xiàn)在已有如下表所示的五種庫存策略，訂貨方案表方案編號重新訂貨點P/輛重新訂貨量Q/ffi方案1125150方案2125250方案3150250方案4175250方案5175300這個問題的已知條件是：從發(fā)出訂貨到收到貨物需隔3天.每輛自行車保管費為0.75元/天，