大學(xué)物理學(xué)-力矩的時(shí)空積累效應(yīng)

第3節(jié)力矩的時(shí)空積累效應(yīng)力矩在時(shí)間上的累積力矩在空間上的累積機(jī)械能守恒定律1、力矩在時(shí)間上和累積定義力矩對時(shí)間的積分為—沖量矩將剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理代入

----剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量(動(dòng)量矩)

力矩在時(shí)間上的累積結(jié)果是導(dǎo)致剛體的角動(dòng)量增加----定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理注意1、沖量矩、角動(dòng)量均是矢量，這里所討論的是它們在z軸上

的分量，因而可用標(biāo)量來表示和計(jì)算。2、剛體可以看作特殊的質(zhì)點(diǎn)系，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)也可看作是特殊的

剛體，因此上述沖量矩、動(dòng)量矩以及角動(dòng)量定理也適應(yīng)于單個(gè)的質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系。對于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其角動(dòng)量也可表示為m0mo

假設(shè)質(zhì)點(diǎn)所受外力的合力為

其大小質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理的微分形式

質(zhì)點(diǎn)對軸的角動(dòng)量將對O

點(diǎn)的角動(dòng)量對軸（例如z

軸）投影，

質(zhì)點(diǎn)對某點(diǎn)的角動(dòng)量向過該點(diǎn)的某個(gè)軸的投影，就是質(zhì)點(diǎn)對該軸的角動(dòng)量。例1

一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速度從參考點(diǎn)平拋出去，用角動(dòng)量定理求質(zhì)點(diǎn)所受的重力對參考點(diǎn)的力矩。解：對于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系將單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理應(yīng)用于每一個(gè)質(zhì)點(diǎn),再求和

作用在質(zhì)點(diǎn)i

上的力矩有些來自系統(tǒng)內(nèi)部m1m2O可以證明：一對作用力與反作用力對任一點(diǎn)的力矩之矢量和為零

因而對于質(zhì)點(diǎn)系所有內(nèi)力矩之和必為零；內(nèi)力矩可以改變系統(tǒng)內(nèi)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量，如果某個(gè)質(zhì)點(diǎn)因?yàn)閮?nèi)力矩的作用而角動(dòng)量增加，則必伴隨有另一質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量減少。且增加與減少的數(shù)量相等；討論系統(tǒng)總的角動(dòng)量改變，只需關(guān)注系統(tǒng)所受的外力及外力矩。當(dāng)把剛體、質(zhì)點(diǎn)系或單個(gè)質(zhì)點(diǎn)作為一個(gè)研究對象時(shí)，角動(dòng)量定理具有普適性：一切外力力矩的時(shí)間累積的結(jié)果是使這個(gè)研究對象的角動(dòng)量發(fā)生改變，數(shù)值上滿足

守恒條件？

守恒條件？所有外力作用線穿過轉(zhuǎn)軸；外力與轉(zhuǎn)軸平行，因而不產(chǎn)生對轉(zhuǎn)軸的力矩；外力產(chǎn)生力矩，但所有外力矩的矢量和為零。10例2、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度

。已知棒長為l,質(zhì)量為M.v0vmM請問:1.子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎?為什么?2.總角動(dòng)量守恒嗎?若守恒,其方程應(yīng)如何寫?解：11力矩的功2、力矩在空間上的累積---作功力矩的瞬時(shí)功率12剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理13比較：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的本質(zhì)

解：以圓盤為研究對象，只有摩擦

力矩做功。利用動(dòng)能定理

前面已計(jì)算過摩擦力矩

剛體的機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)系重力勢能的計(jì)算勢能零點(diǎn)（地面附近）結(jié)論：計(jì)算剛體的重力勢能只要把剛體的質(zhì)量全部集中于質(zhì)心處，當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)處理即可（無論平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)）。16若在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,只有重力做功,其他非保守內(nèi)力不做功,則剛體在重力場中機(jī)械能守恒.機(jī)械能守恒定律

例4、一均質(zhì)桿長為L，質(zhì)量為m,一端由光滑軸承支撐，另一端用手托住，松手后桿向下擺，如圖所示，求：1,桿擺到豎直位置時(shí)的角速度；2，在圖示豎直位置時(shí)，軸承對桿的支持力。解：1,由機(jī)械能守恒

2,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

例5質(zhì)量為m的小球A，以速度沿質(zhì)量為M的、半徑為R的地球表面水平切向向右飛出（如圖）地軸OO’與平行，小球A的軌道與軸OO’相交于3R的C點(diǎn)，不考慮地球的自轉(zhuǎn)與空氣阻力，求小球A在C點(diǎn)的與之間的夾角。

已知：求：O’M地YXOZmCO’M地YXOZmC解：以M，m

為研究對象