人教版八年級數(shù)學(xué)下冊期末復(fù)習(xí)專題課件全套

16二次根式小結(jié)與復(fù)習(xí)人教版八年級數(shù)學(xué)下冊期末復(fù)習(xí)專題課件全套要點梳理1．二次根式的概念一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式.對于二次根式的理解：①帶有二次根號；②被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即a≥0.【易錯點】二次根式中，被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，否則就沒有意義.要點梳理2．二次根式的性質(zhì):3．最簡二次根式滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．(1)被開方數(shù)不含_______；(2)被開方數(shù)中不含能___________的因數(shù)或因式．開得盡方分母5．二次根式的加減：可以先將二次根式化成_______________，再將________________的二次根式進行合并．要點梳理被開方數(shù)相同最簡二次根式4．二次根式的乘除法則：乘法：＝______(a≥0，b≥0)；除法：＝____(a≥0，b>0)．類似合并同類項要點梳理注意平方差公式與完全平方公式的運用！6．二次根式的混合運算有理數(shù)的混合運算與類似：先算乘（開）方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的.要點梳理考點一二次根式的相關(guān)概念有意義的條件例1求下列二次根式中字母a的取值范圍:解:(1)由題意得要點梳理(3)∵(a+3)2≥0，∴a為全體實數(shù)；(4)由題意得∴a≥0且a≠1.要點梳理方法總結(jié)求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：①被開方數(shù)大于或等于零；②分母中有字母時，要保證分母不為零.要點梳理針對訓(xùn)練1.下列各式：中，一定是二次根式的個數(shù)有（）A.3個B.4個C.5個D.6個B要點梳理

2.求下列二次根式中字母的取值范圍:解得-5≤x＜3.解：(1)由題意得∴x=4.(2)由題意得要點梳理例2若求的值.解：∵∴x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2.則【解析】根據(jù)題意及二次根式與完全平方式的非負(fù)性可知和均為0.考點二二次根式的性質(zhì)要點梳理初中階段主要涉及三種非負(fù)數(shù)：≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干個非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個非負(fù)數(shù)都必為0.這是求一個方程中含有多個未知數(shù)的有效方法之一.方法總結(jié)要點梳理例3實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，請化簡：ba0解：由數(shù)軸可以確定a<0,b>0，∴∴原式=-a-(-a)+b=b.解析:化簡此代數(shù)式的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確地判斷a,b的符號，然后利用絕對值及二次根式的性質(zhì)化簡.要點梳理4.若1＜a＜3,化簡

的結(jié)果是

.

23.若實數(shù)a,b滿足則

.

1針對訓(xùn)練要點梳理5.將下列各數(shù)寫成一個非負(fù)數(shù)的平方的形式：要點梳理解：考點三二次根式的運算及應(yīng)用要點梳理要點梳理二次根式的混合運算的運算順序與整式的運算順序一樣，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的，在具體運算中可靈活運用運算律和乘法公式簡化運算.方法總結(jié)要點梳理例5把兩張面積都為18的正方形紙片各剪去一個面積為2的正方形，并把這兩張正方形紙片按照如圖所示疊合在一起，做出一個雙層底的無蓋長方體紙盒．求這個紙盒的側(cè)面積（接縫忽略不計）．解：要點梳理6.下列運算正確的是（）C7.若等腰三角形底邊長為，底邊的高為則三角形的面積為

.

針對訓(xùn)練要點梳理8.

計算：解：(1)原式(2)原式要點梳理解：根據(jù)題意得（千米/時）．答：肇事汽車在出事前的速度是千米/時．9.交警為了估計肇事汽車在出事前的速度，總結(jié)出經(jīng)驗公式，其中v是車速（單位：千米每小時），d是汽車剎車后車輪滑動的距離（單位：米），f是摩擦系數(shù)．在某次交通事故調(diào)查中，測得d=20米，f=1.2，請你幫交警計算一下肇事汽車在出事前的速度．要點梳理例6先化簡，再求值：，其中解：當(dāng)時，原式解析：先利用分式的加減運算化簡式子，然后代入數(shù)值計算即可.考點四二次根式的化簡求值要點梳理例7

有這樣一道題：“計算的值，其中x=2018”.小卿把“x=2018”錯抄成“x=2081”，但是她的計算結(jié)果仍然是正確的，這是為什么？要點梳理解：∵∴無論x取何值，原式的值都為-2.要點梳理10.先化簡，再求值：,其中解：原式當(dāng)時，原式針對訓(xùn)練要點梳理例8

已知a是實數(shù)，求

的值.

解：分三種情況討論：當(dāng)a≤-2時，原式=(-a-2)-[-(a-1)]=-a-2+a-1=-3;

當(dāng)-2＜a≤1時，原式=(a+2)+(a-1)=

2a+1;

當(dāng)a＞1時，原式=(a+2)-(a-1)=3.

考點五本章解題思想方法分類討論思想

要點梳理整體思想

例9

已知，求的值.

解：∵

∴

要點梳理類比思想

例10閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有

這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．要點梳理請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含m、n的式子分別表示a，b，得a=_______;b=______;(2)利用所探索的結(jié)論，用完全平方式表示出：(3)請化簡：m2+3n22mn解：課堂小結(jié)加、減、乘、除運算二次根式性質(zhì)最簡二次根式17

勾股定理小結(jié)與復(fù)習(xí)要點梳理一、勾股定理1.如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2

+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.ABCcab要點梳理在直角三角形中才可以運用2.勾股定理的應(yīng)用條件3.勾股定理表達式的常見變形：a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，要點梳理二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2

，那么這個三角形是直角三角形.ABCcab2.勾股數(shù)滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).3.原命題與逆命題如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么把其中一個叫做原命題，另一個叫做它的逆命題.要點梳理考點一勾股定理及其應(yīng)用例1

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15.（1）求AB的長；（2）求BD的長．要點梳理解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，（2）方法一：∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴20×15=25CD，∴CD=12．∴在Rt△BCD中，要點梳理方法二：設(shè)BD=x,則AD=25-x.解得x=9.∴BD=9.要點梳理對于本題類似的模型，若已知兩直角邊求斜邊上的高常需結(jié)合面積的兩種表示法起來考查，若是同本題(2)中兩直角三角形共一邊的情況，還可利用勾股定理列方程求解.方法總結(jié)要點梳理針對訓(xùn)練1.Rt△ABC中，斜邊BC=2，則AB2+AC2+BC2的值為（）A.8B.4

C.6

D.無法計算A3.一直角三角形的三邊分別為2、3、x，那么以x為邊長的正方形的面積為___________.2.如圖，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，則AD的長為______．13或513要點梳理4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，求△ABC的面積.解：∵a+b=14，∴(a+b)2=196.又∵a2+b2=c2=100，∴2ab=196-(a2+b2)=96，∴ab=24．要點梳理例2

我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？要點梳理解：如圖，設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得BC2+AC2=AB2,即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.DBCA要點梳理例3

如圖所示，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？解析：螞蟻由A點沿長方體的表面爬行到C1點，有三種方式：要點梳理①沿ABB1A1和A1

B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三種方式分別展成平面圖形如下：要點梳理解：

在Rt△ABC1中，

在Rt△ACC1中，

在Rt△AB1C1中，∴沿路徑走路徑最短，最短路徑長為5.要點梳理方法總結(jié)化折為直：長方體中求兩點之間的最短距離，展開方法有多種，一般沿最長棱展開，距離最短.要點梳理5.現(xiàn)有一長5米的梯子架靠在建筑物的墻上，它們的底部在地面的水平距離是3米，則梯子可以到達建筑物的高度是______米．4針對訓(xùn)練要點梳理6.如圖，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請問這輛送家具的卡車能否通過這個通道？要點梳理在Rt△ABO中，OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，∴AB2＝22－1.42＝2.04.∵4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，答：卡車可以通過，但要小心．解：如圖，過半圓直徑的中點O，作直徑的垂線交下底邊于點D，取點C，使CD＝1.4米，過C作OD的平行線交半圓直徑于B點，交半圓于A點.要點梳理7.在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時后快艇到達哨所東南方向的B處.（1）此時快艇航行了多少米(即AB

的長)？北東OAB60°45°C要點梳理解：根據(jù)題意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.∴AC=500米，BC=OC.在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=北東OAB60°45°C要點梳理在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時后快艇到達哨所東南方向的B處.（2）距離哨所多少米（即OB的長）？解：在Rt△BOC中，由勾股定理得北東OAB60°45°C要點梳理例4

在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，，2c-b=12，求△ABC的面積．考點二勾股定理的逆定理及其應(yīng)用要點梳理解：由題意可設(shè)a=3k，則b=4k，c=5k，∵2c-b=12，∴10k-4k=12，∴k=2，∴a=6，b=8，c=10，∵62+82=102，∴a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形，∴△ABC的面積為×6×8=24．要點梳理例5

B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時8nmile的速度前進，乙船沿南偏東某個角度以每小時15nmile的速度前進，2h后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34nmile，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？要點梳理解：甲船航行的距離為BM=16（nmile）,乙船航行的距離為BP=30（nmile）．∵162+302=1156，342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP為直角三角形，∴∠MBP=90°,∴乙船是沿著南偏東30°方向航行的．要點梳理針對訓(xùn)練8.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，99.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形的格點上，可以判定三角形是直角三角形的有________．(2)(4)C要點梳理10.如圖，在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A與∠C關(guān)系并加以證明．要點梳理解：猜想∠A+∠C=180°．連接AC.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得

∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．要點梳理例6

如圖，在長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求△ABE的面積.考點三勾股定理與折疊問題要點梳理解：∵長方形折疊，使點B與點D重合，∴ED=BE.設(shè)AE=xcm，則ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9-x)2，解得x=4.∴△ABE的面積為3×4×=6(cm2).要點梳理勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解．方法總結(jié)要點梳理針對訓(xùn)練11.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕是DE，則CD的長為

．

1.75cm要點梳理方程思想

例7

如圖，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.試求△ABC的面積．考點四本章解題思想方法要點梳理解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，設(shè)DC=x，則BD=9+x，故172-(9+x)2=102-x2，解得x=6.∴AD2=AC2?CD2=64，∴AD=8.∴S△ABC=×9×8=36．要點梳理例8

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長．分類討論思想

要點梳理解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長為25＋20＋15＝60.要點梳理當(dāng)高AD在△ABC外部時，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為42或60.要點梳理題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．方法總結(jié)要點梳理例9

有一圓柱體高為8cm，底面圓的半徑為2cm，如圖.在AA1上的點Q處有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的點P處有一只蒼蠅，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路徑長(π取3).轉(zhuǎn)化思想

要點梳理解：如圖,沿AA1剪開,過Q作QM⊥BB1于M,連接QP.則PM=8-3-2=3(cm)，QM=A1B1=×2×π×2=6(cm)，在Rt△QMP中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路徑長是cm．課堂小結(jié)勾股定理直角三角形邊長的數(shù)量關(guān)系勾股定理的逆定理直角三角形的判定互逆定理18

平行四邊形小結(jié)與復(fù)習(xí)要點梳理一、幾種特殊四邊形的性質(zhì)

項目四邊形邊角對角線對稱性對邊平行且相等對邊平行且相等對邊平行且四邊相等對邊平行且四邊相等對角相等四個角都是直角對角相等四個角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一條對角線平分一組對角軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形互相垂直且平分，每一條對角線平分一組對角要點梳理

四邊形條件平行四邊形矩形菱形正方形二、幾種特殊四邊形的常用判定方法：1.定義：兩組對邊分別平行2.兩組對邊分別相等3.兩組對角分別相等4.對角線互相平分5.一組對邊平行且相等1.定義：有一個角是直角的平行四邊形2.對角線相等的平行四邊形3.有三個角是直角的四邊形1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形;2.對角線互相垂直的平行四邊形,3.四條邊都相等的四邊形1.定義：一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形2.有一組鄰邊相等的矩形3.有一個角是直角的菱形要點梳理三、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系5種判定方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角且一組鄰邊相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等要點梳理四、其他重要概念及性質(zhì)1.兩條平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做兩條平行線之間的距離.2.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.3.直角三角形斜邊上的中線：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.要點梳理考點一平行四邊形的性質(zhì)與判定例1

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于點G，點E、F分別為AG、CD的中點，連接DE、FG.(1)求證：四邊形DEGF是平行四邊形；(2)如果點G是BC的中點，且BC＝12，DC＝10，求四邊形AGCD的面積．要點梳理解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，∴四邊形AGCD是平行四邊形，∴AG＝DC.∵E、F分別為AG、DC的中點，∴GE＝AG，DF＝DC，即GE＝DF，GE∥DF，∴四邊形DEGF是平行四邊形.要點梳理(2)∵點G是BC的中點，BC＝12，∴BG＝CG＝BC＝6.∵四邊形AGCD是平行四邊形，DC＝10，AG＝DC＝10，在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理得AB＝8，∴四邊形AGCD的面積為6×8＝48.要點梳理例2

在△ABC中，AB=AC，點D在邊BC所在的直線上，過點D作DF∥AC交直線AB于點F，DE∥AB交直線AC于點E．(1)當(dāng)點D在邊BC上時，如圖①，求證：DE+DF=AC．要點梳理證明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四邊形AFDE是平行四邊形．∴AF=DE.∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C,又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDB=∠B,∴DF=BF,∴DE+DF=AF+BF=AB=AC.要點梳理（2）當(dāng)點D在邊BC的延長線上時，如圖②；當(dāng)點D在邊BC的反向延長線上時，如圖③，請分別寫出圖②、圖③中DE，DF，AC之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．（3）若AC=6，DE=4，求DF的值．要點梳理解：（2）圖②中：AC+DE=DF．圖③中：AC+DF=DE．（3）當(dāng)如圖①的情況，DF=AC-DE=6-4=2；當(dāng)如圖②的情況，DF=AC+DE=6+4=10．要點梳理針對訓(xùn)練2.如圖，在?ABCD中，對角線AC和BD交于點O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，則△BOC的周長是（）A．45cmB．59cmC．62cmD．90cmB1.如圖，在?ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，則AD的長為（）A．4cmB．5cmC．6cmD．8cmA要點梳理3.如圖

是某公交汽車擋風(fēng)玻璃的雨刮器，其工作原理如圖

．雨刷EF⊥AD，垂足為A，AB=CD且AD=BC，這樣能使雨刷EF在運動時，始終垂直于玻璃窗下沿BC，請證明這一結(jié)論．圖

圖

證明：∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC．要點梳理例3

如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）求證：∠DHF=∠DEF．考點二三角形的中位線要點梳理證明：（1）∵點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，∴DE、EF都是△ABC的中位線，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形.要點梳理（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點，AH是邊BC上的高，∴DH=AD，F(xiàn)H=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．要點梳理例4

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF=BC．若AB=12，求EF的長．要點梳理解：連接CD，∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE∥BC，DE=BC，DC=AB.∵CF=BC，∴DE

∥FC，DE

=FC，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC=EF，∴EF=AB=6．要點梳理針對訓(xùn)練5.如圖，是屋架設(shè)計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=4m，∠A=30°，則DE等于（）A．1mB．2mC．3mD．4mA4.如圖，等邊三角形ABC中，點D，E分別為AB，AC的中點，則∠DEC的度數(shù)為（）A．150°B．120°C．60°D．30°B要點梳理6.如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD，求證：EF=AD．證明：∵DE，DF是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AEDF是平行四邊形，又∵∠BAC=90°，∴平行四邊形AEDF是矩形，∴EF=AD．要點梳理例5如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE∥BD，過點D作ED∥AC，兩線相交于點E．求證：四邊形AODE是菱形；考點三特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定要點梳理證明：∵AE∥BD，ED∥AC，∴四邊形AODE是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，

OB=OD=BD，∴OA=OC=OD，∴四邊形AODE是菱形.要點梳理【變式題】如圖，O是菱形ABCD對角線的交點，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于點E，四邊形CEBO是矩形嗎？說出你的理由.DABCEO要點梳理解：四邊形CEBO是矩形.理由如下：已知四邊形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.∴∠BOC=90°.∵BE∥AC,CE∥BD，∴四邊形CEBO是平行四邊形.∴四邊形CEBO是矩形.DABCEO要點梳理例6

如圖，已知在四邊形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且CF＝AE；(1)試判斷四邊形BECF是什么四邊形？并說明理由；(2)當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結(jié)論．要點梳理解：(1)四邊形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE.∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四邊形BECF是菱形；要點梳理(2)當(dāng)∠A＝45°時，菱形BECF是正方形．證明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形BECF是正方形．要點梳理方法總結(jié)正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角；③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用①或②進行判定．要點梳理例7

如圖，△ABC中，點O是AC上的一動點，過點O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點F，連接AE、AF.(1)求證：∠ECF＝90°；(2)當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請說明理由；要點梳理(1)證明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝×180°＝90°.要點梳理(2)解：當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，F(xiàn)O＝CO，∴OE＝OF.又∵當(dāng)點O運動到AC的中點時，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形.要點梳理解：當(dāng)點O運動到AC的中點時，且滿足∠ACB為直角時，四邊形AECF是正方形．∵由(2)知當(dāng)點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB＝90°，則∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，即AC⊥EF，∴四邊形AECF是正方形．(3)在(2)的條件下，△ABC應(yīng)該滿足什么條件時，四邊形AECF為正方形．要點梳理7.如圖，兩個含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直線FC滑動，下列說法錯誤的是（）A．四邊形ACDF是平行四邊形B．當(dāng)點E為BC中點時，四邊形ACDF是矩形C．當(dāng)點B與點E重合時，四邊形ACDF是菱形D．四邊形ACDF不可能是正方形B針對訓(xùn)練要點梳理8.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=10，則菱形ABCD的面積為______．30ABCOD要點梳理9.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)證明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的長．要點梳理(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD.在△ABE和△DAF中，

∴△ABE≌△DAF.要點梳理(2)解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠1＋∠4＝90°.∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°.在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°.在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴AF＝，DF＝1.由(1)得△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝AF－AE＝－1.要點梳理例8

在一個平行四邊形中，若一個角的平分線把一條邊分成長是2cm和3cm的兩條線段，求該平行四邊形的周長是多少.分類討論思想

考點四本章解題思想方法要點梳理解：如圖，∵在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE．又∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE．（1）當(dāng)AE=2時，則平行四邊形的周長=2(2+5)=14．（2）當(dāng)AE=3時，則平行四邊形的周長=2(3+5)=16．要點梳理平行四邊形的性質(zhì)與判定中要是出現(xiàn)角平分線，常與等腰三角形的性質(zhì)和判定結(jié)合起來考查，當(dāng)邊指向不明時需要分類討論，常見的的模型如下：方法總結(jié)要點梳理例9

如圖，折疊長方形一邊AD，點D落在BC邊的點F處，BC=10cm，AB=8cm，求：（1）FC的長；（2）EF的長．方程思想

要點梳理解：（1）由題意得AF=AD=10cm，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=6cm，∴FC=BC-BF=10-6=4cm．（2）由題意可得EF=DE，可設(shè)DE的長為x，在Rt△EFC中，(8-x)2+42=x2，解得x=5，即EF的長為5cm．要點梳理例10

如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD為對角線，其交點為O，若BC=6，BC邊上的高為4，試求陰影部分的面積．轉(zhuǎn)化思想

要點梳理解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.∵AB∥CD，∴∠EAO=∠HCO.又∵∠AOE＝∠COH，∴△AEO≌△CHO（ASA），同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，∴S陰影=S△BCD，則S△BCD=S平行四邊形ABCD=×6×4=12．EHQGFP課堂小結(jié)四邊形矩形菱形正方形平行四邊形課堂小結(jié)兩組對邊平行一個角是直角且一組鄰邊相等一個角是直角一組鄰邊相等一組鄰邊相等一個角是直角19

一次函數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí)要點梳理1.常量與變量

數(shù)值發(fā)生變化的量叫變量，

數(shù)值始終不變的量叫常量.2.函數(shù)定義：在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).一、函數(shù)要點梳理3.函數(shù)的圖象：對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.列表法解析式法圖象法.5.函數(shù)的三種表示方法：4.描點法畫圖象的步驟：列表、描點、連線要點梳理一次函數(shù)一般地，如果y＝kx＋b(k、b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù).正比例函數(shù)特別地，當(dāng)b＝____時，一次函數(shù)y＝kx＋b變?yōu)閥＝_____(k為常數(shù)，k≠0)，這時y叫做x的正比例函數(shù).0kx二、一次函數(shù)1.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念2.分段函數(shù)當(dāng)自變量的取值范圍不同時，函數(shù)的解析式也不同，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).要點梳理函數(shù)字母系數(shù)取值（k＞0）圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)y＝kx+b(k≠0)b＞0y隨x增大而增大b=0b＜03.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第一、三象限

第一、二、三象限

第一、三、四象限

要點梳理函數(shù)字母系數(shù)取值（k＜0）圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)y＝kx+b(k≠0)b＞0y隨x增大而減小b＝0b＜0第一、二、四象限

第二、四象限

第二、三、四象限

要點梳理求一次函數(shù)解析式的一般步驟：（1）先設(shè)出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)條件列關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組）求出解析式中未知的系數(shù)；（4）把求出的系數(shù)代入設(shè)的解析式，從而具體寫出這個解析式.這種求解析式的方法叫待定系數(shù)法.4.用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式要點梳理求ax+b=0(a，b是常數(shù)，a≠0)的解．x為何值時，函數(shù)y=ax+b的值為0？

求ax+b=0(a,b是常數(shù)，a≠0)的解．

求直線y=ax+b，與x軸交點的橫坐標(biāo)．

(1)一次函數(shù)與一元一次方程5.一次函數(shù)與方程、不等式從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看要點梳理(2)一次函數(shù)與一元一次不等式解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0)x為何值時，函數(shù)y=ax+b的值大于0？

解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0)求直線y=ax+b在x軸上方的部分（射線）所對應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值范圍從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看要點梳理一般地，任何一個二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，且k≠0)的形式，所以每個二元一次方程都對應(yīng)一個一次函數(shù)，也對應(yīng)一條直線．(3)一次函數(shù)與二元一次方程組方程組的解

對應(yīng)兩條直線交點的坐標(biāo).要點梳理考點一函數(shù)的有關(guān)概念及圖象例1

王大爺飯后出去散步，從家中走20分鐘到離家900米的公園，與朋友聊天10分鐘后，用15分鐘返回家中．下面圖形表示王大爺離家時間x（分）與離家距離y（米）之間的關(guān)系是（）【分析】對四個圖依次進行分析，符合題意者即為所求．DABCDOOOO要點梳理利用函數(shù)的圖象解決實際問題，正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的意義，理解問題的過程，能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應(yīng)解決．方法總結(jié)要點梳理針對訓(xùn)練1.下列變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）A.長方形的寬一定，其長與面積B.正方形的周長與面積C.等腰三角形的底邊長與面積D.圓的周長與半徑C2.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A.x＞3B.x＜3C.x≤3D.x≥-3B要點梳理3.星期天下午，小強和小明相約在某公交車站一起乘車回學(xué)校，小強從家出發(fā)先步行到車站，等小明到了后兩人一起乘公共汽車回到學(xué)校．圖中折線表示小強離開家的路程y（千米）和所用的時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系．下列說法錯誤的是（）A．小強從家到公共汽車站步行了2千米B．小強在公共汽車站等小明用了10分鐘C．公交車的平均速度是34千米/時D．小強乘公交車用了30分鐘Cx(分)y(千米)要點梳理例2

已知函數(shù)y=（2m+1）x+m﹣3；(1)若該函數(shù)是正比例函數(shù)，求m的值；(2)若函數(shù)的圖象平行直線y=3x﹣3，求m的值；(3)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，且y隨著x的增大而減小，求m的取值范圍；(4)若這個函數(shù)圖象過點（1，4），求這個函數(shù)的解析式.【分析】(1)由函數(shù)是正比例函數(shù)得m-3=0且2m+1≠0；(2)由兩直線平行得2m+1=3；(3)一次函數(shù)中y隨著x的增大而減小，即2m+1＜0；(4)代入該點坐標(biāo)即可求解.考點二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)要點梳理解：(1)∵函數(shù)是正比例函數(shù)，∴m﹣3=0，且2m+1≠0，解得m=3.

(2)∵函數(shù)的圖象平行于直線y=3x﹣3，∴2m+1=3，解得m=1.

(3)∵y隨著x的增大而減小，∴2m+1＜0，解得m＜

．

(4)∵該函數(shù)圖象過點（1,4），代入得2m+1+m-3=4,解得m=2，∴該函數(shù)的解析式為y=5x-1.要點梳理方法總結(jié)一次函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)就是y=kx+b中b的值；兩條直線平行，其函數(shù)解析式中的自變量系數(shù)k相等；當(dāng)k＞0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時，y隨x的增大而減小.要點梳理針對訓(xùn)練4.一次函數(shù)y=-5x+2的圖象不經(jīng)過第______象限.5.點（-1，y1），（2，y2）是直線y=2x+1上兩點，則y1____y2.三＜要點梳理6.填空題：有下列函數(shù)：①y=6x-5,②y=2x

,③y=x+4,④y=-4x+3.其中函數(shù)圖象過原點的是_____；函數(shù)y隨x的增大而增大的是________；函數(shù)y隨x的增大而減小的是_____；圖象在第一、二、三象限的是______.②③①②③④要點梳理考點三一次函數(shù)與方程、不等式例3

如圖，一次函數(shù)y1=x+b與一次函數(shù)y2=kx+4的圖象交于點P（1，3），則關(guān)于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1yxOy1=x+by2=kx+4P13C【分析】觀察圖象，兩圖象交點為P(1，3),當(dāng)x＞1時，y1在y2上方，據(jù)此解題即可.要點梳理本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，從函數(shù)的角度看，就是尋求一次函數(shù)y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合.方法總結(jié)要點梳理7.方程x+2=0的解就是函數(shù)y=x+2的圖象與（）A.x軸交點的橫坐標(biāo)B.y軸交點的橫坐標(biāo)C.y軸交點的縱坐標(biāo)D.以上都不對8.兩個一次函數(shù)y=-x+5和y=-2x+8的圖象的交點坐標(biāo)是_________.A(3，2)要點梳理(1)問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設(shè)計出來；(2)若搭配一個A種造型的成本是800元，搭配一個B

種造型的成本是960元，試說明(1)中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？例4

為美化深圳市景，園林部門決定利用現(xiàn)有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A、B

兩種園藝造型共50個擺放在迎賓大道兩側(cè)，已知搭配一個A

種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，搭配一個B

種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆．考點四一次函數(shù)的應(yīng)用要點梳理解：設(shè)搭配A種造型x個，則B種造型為(50－x)個，依題意，得∴31≤x≤33.∵x

是整數(shù)，x

可取31,32,33，∴可設(shè)計三種搭配方案：①A

種園藝造型31個，B

種園藝造型19個；②A

種園藝造型32個，B

種園藝造型18個；③A種園藝造型33個，B

種園藝造型17個．解得要點梳理方案①需成本：31×800＋19×960＝43040(元)；方案②需成本：32×800＋18×960＝42880(元)；方案③需成本：33×800＋17×960＝42720(元)．（2）方法一：要點梳理方法二：成本為y＝800x＋960(50－x)＝－160x＋48000(31≤x≤33)．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，y隨x的增大而減小，故當(dāng)x＝33時，y取得最小值為33×800＋17×960＝42720(元)．即最低成本是42720元．要點梳理用一次函數(shù)解決實際問題，先理解清楚題意，把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，列出相應(yīng)的不等式（方程），若是方案選擇問題，則要求出自變量在取不同值時所對應(yīng)的函數(shù)值，判斷其大小關(guān)系，結(jié)合實際需求，選擇最佳方案.方法總結(jié)要點梳理針對訓(xùn)練9.李老師開車從甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y(升)與行駛里程x(千米)之間是一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，那么到達乙地時油箱剩余油量是多少升？要點梳理解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋35，將(160,25)代入，得160k＋35＝25，解得k＝，所以一次函數(shù)的解析式為y＝x＋35.再將x＝240代入y＝x＋35，得y＝×240＋35＝20，即到達乙地時油箱剩余油量是20升．要點梳理10.小星以2米/秒的速度起跑后，先勻速跑5秒，然后突然把速度提高4米/秒，又勻速跑5秒.試寫出這段時間里他的跑步路程s（單位：米）隨跑步時間x（單位：秒）變化的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)圖象.x(秒）s(米)O5101040要點梳理解:依題意得s={2x(0≤x≤5)10+6(x-5)(5<x≤10)①②x(秒)05s(米)010x(秒)510s(米)1040s=2x(0≤x≤5)s=10+6(x-5)(5<x≤10)課堂小結(jié)某些運動變化的現(xiàn)實問題函數(shù)建立函數(shù)模型定義自變量取值范圍表示法一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)

應(yīng)用圖象：一條直線性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大k＜0，y隨x的增大而減小數(shù)形結(jié)合一次函數(shù)與方程（組）、不等式之間的關(guān)系20

數(shù)據(jù)的分析小結(jié)與復(fù)習(xí)要點梳理一、數(shù)據(jù)的集中趨勢平均數(shù)定義一組數(shù)據(jù)的平均值稱為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)一般地，如果有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么_____________________叫做這n個數(shù)的平均數(shù).加權(quán)平均數(shù)一般地，若n個數(shù)x1，x2，…，xn的權(quán)分別是w1，w2，…，wn，則叫做這n個數(shù)的加權(quán)平均數(shù)．要點梳理中位數(shù)定義將一組數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于________________就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間_____________________就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)防錯提醒確定中位數(shù)時，一定要注意先把整組數(shù)據(jù)按照大小順序排列，再確定中間位置的數(shù)兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)要點梳理最多眾數(shù)定義一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)防錯提醒(1)一組數(shù)據(jù)中眾數(shù)不一定只有一個；(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)異常值時，其平均數(shù)往往不能正確反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢，就應(yīng)考慮用中位數(shù)或眾數(shù)來分析要點梳理二、數(shù)據(jù)的波動程度表示波動的量定義意義方差設(shè)有n個數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn，各數(shù)據(jù)與它們的________的差的平方分別是(x1－x)2，(x2－x)2，…，(xn－x)2，我們用它們的平均數(shù)，即用________________________來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作s2方差越大，數(shù)據(jù)的波動越____，反之也成立平均數(shù)大要點梳理三、用樣本估計總體1．統(tǒng)計的基本思想：用樣本的特征（平均數(shù)和方差）估計總體的特征．2．統(tǒng)計的決策依據(jù)：利用數(shù)據(jù)做決策時，要全面、多角度地去分析已有數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)的變化中發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律和變化趨勢，減少人為因素的影響．要點梳理考點一平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)例1

某市在開展節(jié)約用水活動中，對某小區(qū)200戶居民家庭用水情況進行統(tǒng)計分析，其中3月份比2月份節(jié)約用水情況如下表所示：

節(jié)水量（m3）11.52戶數(shù)2012060請問：(1)抽取的200戶家庭節(jié)水量的平均數(shù)是______，中位數(shù)是______，眾數(shù)是_______.(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計某市100萬戶居民家庭3月份比2月份的節(jié)水量是_________.1.61.5160萬m31.5要點梳理針對訓(xùn)練1.某米店經(jīng)營某種品牌的大米，該店記錄了一周中不同包裝(10kg，20kg，50kg)的大米的銷售量(單位：袋)如下：10kg裝100袋；20kg裝220袋；50kg裝8