江西省贛州市七校高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

2022——2023學(xué)年第一學(xué)期高三期中聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則集合（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式后由并集的概念求解，【詳解】由得，則，，所以，故選：B2.命題的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】全稱命題的否定：任意改存在并否定結(jié)論，即可得答案.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題知：原命題的否定為.故選：C3.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)得到，，的范圍，然后比較大小即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以．故選：B．4.如圖是網(wǎng)絡(luò)上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可導(dǎo)”的諧音生動(dòng)形象地說明了高等數(shù)學(xué)中“連續(xù)”和“可導(dǎo)”兩個(gè)概念之間的關(guān)系．根據(jù)該表情包的說法，在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】若函數(shù)在處可導(dǎo)，則在處一定連續(xù)；若函數(shù)在處連續(xù)，但在處不一定可導(dǎo).【詳解】由“連續(xù)不一定可導(dǎo)”知，“在處連續(xù)”不能推出“在處可導(dǎo)”,比如函數(shù)在處連續(xù)，但是在處不可導(dǎo)；由“可導(dǎo)一定連續(xù)”知，“在處可導(dǎo)”可以推出“在處連續(xù)”.因此在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的必要不充分條件答案選：B5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)在上的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的圖象變換求解【詳解】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，故選：C6.若，直線與曲線相切于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對直線與曲線進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)斜率相等及切點(diǎn)處值相等得到方程組，解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)即可.【詳解】因?yàn)榍€，直線，，所以，又，所以，則．故選：D.7.下列幾個(gè)不等式中，不能取到等號的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由均值不等式取等號的條件判斷即可【詳解】對A，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立；對B，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立；對C，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立；對D，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)脮r(shí)等號成立，無解，等號不成立．故選：D．8.在西雙版納熱帶植物園中有一種原產(chǎn)于南美熱帶雨林的時(shí)鐘花，其花開花謝非常有規(guī)律.有研究表明，時(shí)鐘花開花規(guī)律與溫度密切相關(guān)，時(shí)鐘花開花所需要的溫度約為，但當(dāng)氣溫上升到時(shí)，時(shí)鐘花基本都會凋謝.在花期內(nèi)，時(shí)鐘花每天開閉一次.已知某景區(qū)有時(shí)鐘花觀花區(qū)，且該景區(qū)6時(shí)時(shí)的氣溫（單位：）與時(shí)間（單位：小時(shí)）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則在6時(shí)時(shí)中，觀花的最佳時(shí)段約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.時(shí)時(shí) B.時(shí)時(shí)C.時(shí)時(shí) D.時(shí)時(shí)【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)求解【詳解】當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.設(shè)花開?花謝的時(shí)間分別為.由，得，解得時(shí)；由，得，解得時(shí).故在6時(shí)時(shí)中，觀花的最佳時(shí)段約為時(shí)時(shí).故選：C9.向量，，，若，且，則的值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】先利用平面向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示求出，再利用向量的坐標(biāo)表示得到關(guān)于、的方程組進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，，因?yàn)?，所以，解得，則，即，解得，故.故選：C10.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．若與的圖象交于點(diǎn)、、、，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，直線關(guān)于點(diǎn)對稱，作出圖形，結(jié)合對稱性可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，所以，，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，且，故點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且直線關(guān)于點(diǎn)對稱，由圖可知，直線與曲線有個(gè)不同的公共點(diǎn)，故，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵在于分析函數(shù)的對稱性與周期性，利用圖象并結(jié)合對稱性來處理.11.已知函數(shù)（且）有唯一極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)后，令得：；在平面直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，通過圖象可確定當(dāng)時(shí)有唯一極值點(diǎn)，由此可得結(jié)論.【詳解】由題意知：定義域?yàn)椋?，令得：；在平面直角坐?biāo)系中，作出與的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有唯一交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，是唯一的極值點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解問題，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，從而采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.12.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，記的面積為，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由面積公式得到，再由余弦定理得到，同除表示出，再由二倍角公式、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可得解.【詳解】由，得，由余弦定理得，即，所以，即（其中，），因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以.故選：D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，滿足，，與的夾角為，則___________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律求解作答.【詳解】因，，與的夾角為，則，所以.故答案為：614.已知中，，，，則的外接圓面積為___________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求解邊長，再利用正弦定理求解外接圓半徑，即可得外接圓面積.【詳解】解：根據(jù)題意，由余弦定理可得，該的外接圓的半徑為r，則由正弦定理得：.故答案為：.15.若，則_________.【答案】####【解析】【分析】利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】.故答案為：.16.已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的特征，可得，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)不等式即可求解.【詳解】由于的圖象關(guān)于對稱，由，所以可得，又，所以，因此，故且，解得：,故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由對數(shù)運(yùn)算法則化簡函數(shù)式后，把作為一個(gè)整體，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得值域；（2）把作為一個(gè)整體，解一元二次不等式，然后再解對數(shù)不等式可得．【小問1詳解】，，即時(shí)，取得最大值．所以的值域?yàn)?【小問2詳解】根據(jù)題意得，整理得，即，解得或，所以或，故不等式的解集為.18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間內(nèi)的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）根據(jù)圖象變換規(guī)律可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【小問1詳解】因?yàn)?，令，解得，則的單調(diào)遞增區(qū)間是；【小問2詳解】由（1）可得．因?yàn)?，所以，所以，所以，即在區(qū)間內(nèi)值域?yàn)椋?9.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，．（1）若，求B的大小；（2）若△ABC不是鈍角三角形，且，求△ABC的面積取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角公式得到或.由求出；（2）先判斷出△ABC是直角三角形，利用基本不等式求出△ABC的面積取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，?因?yàn)锳，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以或.因?yàn)?，所以（不合題意，舍去）.所以，而，所以.【小問2詳解】由（1）可知：或.當(dāng)時(shí)，有，這與△ABC不是鈍角三角形相矛盾，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，所以△ABC是直角三角形，所以，即.而.因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）.又，所以，所以，即△ABC的面積取值范圍為.20.已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）若時(shí)，，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合題意即可得到答案；（2）由題得，再構(gòu)造函數(shù)，，求函數(shù)的最小值即得解.【小問1詳解】由可得，所以，解得.【小問2詳解】即，由得，令，，，令，，，得在上單調(diào)遞減，所以，從而，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，∴，故，所以的取值范圍.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．21.已知為自然對數(shù)底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）詳見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分，討論即得；（2）由題可得，可得只需證，然后通過換元可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得.【小問1詳解】由題可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；【小問2詳解】因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同零點(diǎn)，，則，，因此，即，要證，只要證明，即證，不妨設(shè)，記，則，，因此只要證明，即，記，則，令，則，所以函數(shù)在上遞增，則，即，∴在上單調(diào)遞增，∴，即成立，∴.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）消去參數(shù)可得C的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式可求直線直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入橢圓普通方程，消元后根據(jù)參數(shù)的幾何意義求解.【小問1詳解】由（為參數(shù)），得，故曲線C的普通方程為．由，得，故直線l的直角坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】由題意可知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．將直線l的參數(shù)方程代入曲