(6)-第6章 統(tǒng)計量及其抽樣分布2

復(fù)習(xí)：統(tǒng)計量概念的例題【例6.1】設(shè)解：一個樣本，判斷下列各量是否為統(tǒng)計量。是從某總體X中抽取的(1)(2)是統(tǒng)計量，(3)(4)不是統(tǒng)計量，因?yàn)?3)(4)依賴總體分布的未知參數(shù)。6.1.2

常用統(tǒng)計量2.常用的統(tǒng)計量：是樣本的均值，反映總體期望的信息是樣本方差，反映總體方差的信息。樣本標(biāo)準(zhǔn)差S也是常用的統(tǒng)計量。6.1.2

常用統(tǒng)計量是樣本變異系數(shù)，反映總體變異系數(shù)C常用來刻畫均值不同時，不同總體的離散程。的信息。其中總體變異系數(shù)定義為6.1.2

常用統(tǒng)計量稱為樣本階矩，反映總體

階矩的信息。，稱為樣本階中心矩。反映出總體階中心矩的信息。

6.1.2

常用統(tǒng)計量，稱為樣本偏度。反映出總體偏度的信息。如果，則偏度6.1.2

常用統(tǒng)計量，稱為樣本峰度。它反映出總體峰度的信息。如果，則峰度抽樣調(diào)查的理論依據(jù)？6.2.1

抽樣分布1.英國統(tǒng)計學(xué)家費(fèi)希爾曾把抽樣分布、參數(shù)估計和假設(shè)檢驗(yàn)看做統(tǒng)計推斷的三個中心內(nèi)容。2.研究統(tǒng)計量的性質(zhì)和評價一個統(tǒng)計推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì)。3.在總體X的分布類型已知時，若對任一自然數(shù)n，都能導(dǎo)出統(tǒng)計量的分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式，這種分布稱為精確的抽樣分布。（針對樣本容量較小時）4.正態(tài)條件下，主要有分布、t分布、F分布。§6.3由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布6.3.1分布6.3.2t分布6.3.3F分布6.2.2

分布

1.定義6.2

設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，，則它們的且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布平方和服從自由度為n的分布。自由度是統(tǒng)計學(xué)中常用的一個概念，它可以解釋2.為獨(dú)立變量的個數(shù)，還可以解釋為二次型的秩。3數(shù)學(xué)期望和方差分別為4可加性：若，且獨(dú)立，則6.2.3

t分布

1.定義6.3

設(shè)隨機(jī)變量分布，記為t(n)，其中n為自由度。獨(dú)立，則且其分布稱為t分布，2t分布的數(shù)學(xué)期望為：方差為：，顯然比N(0，1)大；3t分布一般用于小樣本問題。6.3.2

t分布

6.與t分布有關(guān)的兩個抽樣分布：的一個樣本，(1)

設(shè)是來自正態(tài)分布稱為服從自由度為n-1的t分布。則注：由于故6.3.2

t分布

記：(2)

設(shè)是兩個相互獨(dú)立的總體，是來自X的一個樣本，是來自Y的一個樣本，則6.3.2

t分布

則注：由于故6.3.3

F分布

則稱X服從第一自由度為m，第二自由度為n的有如下表達(dá)式：F分布是統(tǒng)計學(xué)家費(fèi)希爾首先提出的。F分布1.顯著性檢驗(yàn)中都有著重要的地位。有著廣泛的應(yīng)用，如在方差分析、回歸方程的分布，隨機(jī)變量X分別服從自由度為m和n的2.定義6.5

設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且F分布，記為F(m，n)，簡記為6.3.3

F分布

3.F分布的概率密度函數(shù)曲線圖6-3F分布的概率密度函數(shù)曲線F(1，10)F(5，10)F(10，10)6.3.3

F分布

4.F分布的臨界值表利用Excel提供的統(tǒng)計函數(shù)FINV可構(gòu)建F分布的臨界值表。Excel操作6.3.3

F分布

F分布的性質(zhì)和特點(diǎn)：5.方差：(1)設(shè)隨機(jī)變量X服從則數(shù)學(xué)期望：可查F分布表獲得，(2)F分布的p分位數(shù)且(3)F分布與t分布的關(guān)系若分布，則§6.3樣本均值的分布與中心極限定理1樣本均值的分布2中心極限定理6.4.1樣本均值的分布的隨機(jī)變量。1.

設(shè)是從某一總體中抽出的隨機(jī)樣本，則為互相獨(dú)立且與總體有相同分布2.

要想知道的分布，必須知道總體分布。由于正態(tài)分布是最常見的分布之一，所以主要介紹即在總體分布為正態(tài)分布時樣本均值的分布。3.

在總體分布為正態(tài)分布時，有的抽樣分布仍為正態(tài)分布，即說明用樣本均值時，平均來說去估計總體均值沒有偏差；當(dāng)n越來越大時，的離散程度越來越小，即用越來越準(zhǔn)確。估計6.4.1樣本均值的分布4.

實(shí)際應(yīng)用中，總體的分布并不總是正態(tài)分布或近似但由中心極限定理知道，不管總體的分布是什么，的分布總是近似正態(tài)分布，只要此時樣本均值總體的有限。正態(tài)分布，此時的分布將取決于總體分布的情況。5.

無論對什么總體分布，設(shè)總體均值為總體方差為，總有所以n較大時，即6.4.1樣本均值的分布6.

由圖形來觀察：總體分布抽樣分布當(dāng)樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布一個任意分布的總體6.4.2中心極限定理中心極限定理：設(shè)從均值為

，方差為

的一個任意總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為正態(tài)分布6.4.2中心極限定理

抽樣分布趨于正態(tài)分布的過程6.4.2中心極限定理2.實(shí)際應(yīng)用中，由于總體的分布未知，我們常要求n≥30。中心極限定理：設(shè)從均值為

，方差為

的一個任意總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為、方差為正態(tài)分布注：1.中心極限定理要求n充分大，那么多大叫充分大呢？這與總體的分布形狀有關(guān)?？傮w偏離正態(tài)越遠(yuǎn)，則要求n越大。3.大樣本與小樣本問題。在樣本量固定的條件下進(jìn)行的統(tǒng)計推斷、問題分析，都稱為小樣本問題；而在樣本量n→∞的條件下進(jìn)行的統(tǒng)計推斷、問題分析則稱為大樣本問題。一般統(tǒng)計學(xué)中的n≥30為大樣本，n<30為小樣本只是一種經(jīng)驗(yàn)說法。例題講解【例6.4】解：解：例題講解解