非均勻受壓簡支矩形板屈曲系數的計算

非均勻受壓簡支矩形板屈曲系數的計算

板板是結構中常見的部件。受不均勻壓力梯度影響的板通常出現在帶有鋼梁和彎曲部分的腹部板上。板的彎曲理論在文獻中有介紹，國內外科學家對幾臺板的彎曲進行了大量研究。計算不同國家的標準按不同國家標準化計算。例如，中國標準gb50018、歐盟鋼結構設計標準ec3和美國標準冷彎鋼結構設計標準的彎曲系數公式被認為，非均勻壓力板的四個邊界條件是簡單的。然而，在實際結構中，例如，當鋼梁腹部的組合不同于不利的彎曲因素時，鋼框架的形狀為不均勻壓力。這種限制是介于簡單分支和固定分支之間的彈性限制。目前，關于非均勻壓力腰板的彎曲系數（非加載邊緣為硬分支）和考慮到翼邊緣的彈性限制的彎系數沒有足夠的計算公式，并且沒有足夠的計算公式用于計算非均勻壓力腰板的彎曲系數。對工字形構件的腹板,一般都考慮翼緣對腹板的彈性嵌固作用,這種嵌固作用傳統上用板邊界上設置轉動彈簧來模擬,但是實際上工字形截面的翼緣對腹板的嵌固作用是與轉動彈簧不同的.直接采用工字形截面的模型對腹板進行屈曲分析的研究還不是很多.任濤等對腹板純剪切應力狀態(tài)、腹板上邊緣承受局部承壓荷載情況下的屈曲進行了分析,提出了以翼緣自由扭轉剛度與腹板彎曲剛度比值作為約束無量綱參數的、考慮翼緣任意程度約束的腹板屈曲系數公式.本文采用ANSYS有限元程序對腹板均勻受壓、純彎和壓彎聯合作用的情況進行分析,同樣考慮了任意程度的翼緣約束,擬合出了相關的屈曲系數計算公式.本文還對板件在彎剪聯合作用下的屈曲臨界相關公式是否同樣適用于考慮翼緣約束的情況進行了分析驗證.1非均勻壓板的彈性屈曲分析1.1有限元模型建立如圖1所示的簡支矩形板長度為L,寬度為h,厚度為tw,矩形板兩橫向對邊上的壓應力沿板厚度方向均勻,沿寬度方向按線性變化,最大、最小邊緣應力分別為σ1、σ2(規(guī)定壓應力為正,σ2<σ1),則在x=0和x=L兩邊上的壓應力可表示為σx=σ1[1-(1-Ψ)y/h].(1)式中:Ψ為應力不均勻參數,Ψ=σ2/σ1,若σ2<σ1,改變Ψ值,板邊壓應力的不均勻程度隨之變化,當Ψ=1.0時,是矩形板橫向兩對邊均勻受壓的情況;當Ψ=-1.0時,是矩形板純彎曲狀態(tài);當-1.0<Ψ<1.0時,是矩形板受壓彎荷載作用的情況.非均勻受壓板件的臨界應力以最大邊緣壓應力σ1為準,表示為σ1cr=Κπ2E12(1-μ2)(twh)2.(2)式中:E為彈性模量;μ為泊松比;h和tw分別為板的高度和厚度;K為板的屈曲系數,主要與板的荷載形式、形狀、寬高比和邊界條件有關.這里為了區(qū)別起見,把簡支矩形板屈曲系數記為Kbcs,Kbcs的值與Ψ和L/h有關.利用ANSYS有限元分析軟件對圖1所示的矩形板在不同的線性分布壓應力(Ψ不同)作用下進行彈性屈曲分析,分析時采用4節(jié)點SHELL63單元,每個節(jié)點有6個自由度,即x、y、z3個方向的位移以及繞x、y、z3軸的轉動,為了敘述方便,這6個自由度分別用數字1～6對應表示,如圖1所示.劃分網格采用映射網格,網格的密度保證分析能得到穩(wěn)定的結果,如圖2所示.建立有限元模型時為了模擬矩形板簡支邊界條件,需約束板四邊上所有節(jié)點的自由度3,即垂直于板平面的位移;同時為了防止模型發(fā)生剛體位移,還需約束矩形板正中間節(jié)點平面內2個方向的平動位移和繞垂直板面軸線的轉動位移,即自由度1、2和6.用ANSYS分析時荷載以節(jié)點荷載的形式施加在矩形板的四邊節(jié)點上,節(jié)點荷載值利用式(1)按照節(jié)點的從屬面積計算,中間節(jié)點的從屬面積為與該節(jié)點相鄰兩個單元面積的一半之和,端部節(jié)點為其所在單元面積的一半.如圖1所示的矩形板,當取h=800mm、L/h=1.5、tw=6mm時,在Ψ=-1.0、σ1=100N/mm2的純彎荷載作用下,通過ANSYS彈性靜力計算得到板中σx分布如圖3所示,不難發(fā)現板中各點的σx非常接近理論值.圖1所示為受線性分布壓應力作用的簡支矩形板,取tw=6mm,h=800mm不變,L為320～3840mm,即L/h從0.4到4.8變化,Ψ為-1.0～1.0,分析了23個系列250多個模型,將具有代表性的系列結果繪于圖4.圖4(a)繪出了單向均勻受壓的四邊簡支矩形板屈曲系數與L/h的關系曲線,從中不難發(fā)現,當L/h>1.4時板的屈曲系數變化很小,基本接近于4,這與文獻得到的結果完全吻合.這也說明了L/h較大的單向均勻受壓簡支矩形板屈曲系數與L/h關系不大,因而此時試圖用橫向加勁肋來改變L/h以提高屈曲系數的效果并不明顯,更有效的方法是配置縱向加勁肋,以減小h來提高臨界屈曲應力.從圖4(a)中還可以看出,當L/h<1.4時,板的屈曲系數波動變化較大,此時板件以一個半波屈曲,特別是當L/h很小時,均勻受壓板件的臨界應力實際上接近于兩端鉸支長度為L的壓桿的臨界應力.圖4(b)還分別繪出了當Ψ=0.4、Ψ=0和Ψ=-0.4時簡支矩形板的屈曲系數與L/h的關系曲線,其曲線形式與均勻受壓時類似.當板件以多個半波(兩個及以上)形式屈曲時其屈曲系數變化不大,都基本趨于固定值,因而在實際工程常見的L/h范圍內可以偏安全地各取其近似下限值作為板的屈曲系數.圖4(c)繪出了純彎曲狀態(tài)下簡支矩形板屈曲系數與L/h的關系曲線,其變化規(guī)律也與其他非均勻受壓情況類似,當L/h較小時屈曲系數隨之波動變化,但不論屈曲時出現幾個半波,屈曲系數的最小值總是接近于23.9,這與文獻給出的結果也完全吻合.圖5繪出了純彎狀態(tài)下不同寬高比的簡支矩形板的屈曲波形等高線圖,結合圖4(c)說明了在純彎曲狀態(tài)的簡支板隨著L/h增大屈曲半波數增多,板的屈曲系數則隨之波動變化.1.2規(guī)范中的屈曲系數對非均勻受壓板件的穩(wěn)定系數,我國GB50018規(guī)范第5.6.2條,對加勁板件按下式取值:當1.0>Ψ>0時,Kbcs=7.80-8.15Ψ+4.35Ψ2;(3a)當0≥Ψ≥-1.0時,Kbcs=7.80-6.29Ψ+9.78Ψ2.(3b)歐盟EC3規(guī)范也給出了非均勻受壓板件穩(wěn)定系數的簡化計算公式:當1.0≥Ψ>0時,Kbcs=8.2/(1.05+Ψ);(4a)當0≥Ψ>-1.0時,Kbcs=7.81-6.29Ψ+9.78Ψ2.(4b)EC3規(guī)范還給出了可以替代式(4a)、(4b)統一公式,在1.0≥Ψ≥-1.0下通用,即Κbcs=16[(1+Ψ)2+0.112(1-Ψ)2]0.5+(1+Ψ).(5)美國AISI規(guī)程對非均勻受壓板件的穩(wěn)定系數計算公式最為簡潔:Κbcs=4+2(1-Ψ)+2(1-Ψ)3.(6)上述幾種非均勻受壓簡支板屈曲系數公式都假定板件四邊是簡支的,圖6對這些公式與ANSYS有限元分析得到的屈曲系數進行了比較.從中不難看出,簡支板的屈曲系數隨應力不均勻系數的增大而減小,這是不難理解的,因為非均勻受壓板總是在受壓區(qū)發(fā)生屈曲,當-1.0≤Ψ<0時板件中出現了不同程度的受拉區(qū),這對板件受壓區(qū)的穩(wěn)定有增強作用.因而板件在純彎曲時屈曲系數最大,在均勻受壓時屈曲系數最小,在其余非均勻受壓情況下的屈曲系數介于兩者之間.從板屈曲系數的各種計算結果比較來看,在實際工程中常見的L/h范圍內前述各種簡支板非均勻受壓屈曲系數的計算公式都具有良好的精度.其中EC3規(guī)范的分段公式和統一公式計算得到的屈曲系數與ANSYS計算值吻合最好;GB50018規(guī)范在0≥Ψ>-1.0段得到的屈曲系數值與EC3規(guī)范基本一致,在1.0>Ψ>0段GB50018規(guī)范公式得到的屈曲系數值與ANSYS計算值的吻合精度略遜于EC3公式;美國AISI規(guī)程的近似公式得到的屈曲系數值與ANSYS計算值也吻合很好,而且其表達式非常簡潔,便于在實際工程設計中應用,因而建議采用.2固支矩形板屈曲分析這里所指的固支矩形板是兩條非加載對邊固支,兩條加載邊仍視為簡支.為了區(qū)別起見,非均勻受壓固支矩形板的屈曲系數記為Kbcf.此時ANSYS分析模型與簡支板的不同之處在于,要約束縱向2條非加載邊上節(jié)點繞板平面內兩軸的轉動位移,即約束自由度4和5,其余邊界約束條件與簡支情況相同.對L/h=0.3～4.8以及Ψ=-1.0～1.0的250余個固支矩形板模型進行了彈性屈曲分析,得到其屈曲系數,將有代表性的系列結果繪于圖7.圖7(a)～(c)繪出了當Ψ=1.0(均勻受壓)、Ψ=0.4、Ψ=0(三角形分布壓應力)、Ψ=-0.4、Ψ=-1.0(純彎)時固支板屈曲系數與L/h的關系曲線,曲線形狀與簡支板類似.從圖中可以看出,非均勻受壓固支矩形板的屈曲系數隨L/h的變化而波動,也就是說屈曲系數隨著板屈曲半波數增加而波動變化,且只有在L/h較小時屈曲系數的波動幅度較大,當L/h較大時屈曲系數的變化很小基本趨于固定值.因此在實際工程常見的L/h范圍內對不同非均勻程度受壓固支矩形板,也可以偏安全地各取其屈曲系數的近似下限值來計算臨界屈曲應力.對均勻受壓的固支矩形板,其最小屈曲系數約為6.97,此時對應的L/h為0.60～0.70(約2/3);對純彎曲狀態(tài)的固支板,其最小屈曲系數約為39.6,與文獻的結果吻合.由于非均勻受壓固支矩形板屈曲系數在工程常見的L/h范圍內與L/h的大小關系不大,通過對ANSYS分析得到的數據進行擬合,得到非均勻受壓固支板的屈曲系數可由下式來計算:當1.0≥Ψ>0時,Kbcf=14.47/(1.08+Ψ);(7a)當0≥Ψ>-1.0時,Kbcf=13.54-10.79Ψ+15.27Ψ2.(7b)也可以將式(7a)、(7b)分段公式統一成通用于-1.0≤Ψ≤1.0的單一公式:Κbcf=27.86[(1+Ψ)2+0.124(1-Ψ)2]0.5+(1+Ψ).(8)根據式(6)的形式,還可以將非均勻受壓固支板的屈曲系數計算公式簡潔地表示為Κbcf=6.97+3.34(1-Ψ)+3.24(1-Ψ)3.(9)式(7)～(9)得到的屈曲系數曲線見圖8,與ANSYS計算結果(以散點形式繪于圖8)進行比較,可以看出式(7)、(8)具有相當高的精度,式(9)的精度略遜于式(7)、(8),但其值與有限元結果的誤差基本都在3%以內,且其表達式非常簡潔便于實際設計應用,因而建議采用.3工字形截面屈曲分析工字形截面翼緣對腹板提供嵌固約束,這種約束傳統上采用轉動彈簧來模擬,如圖9(a)所示.但是實際上工字形截面的翼緣對腹板的嵌固作用與轉動彈簧是不同的,兩者的對比如下:單位長度上轉動彈簧對板的約束彎矩為Μx|y=0,h=kz?w?y|y=0,h=kzθ.(10)式中:w為腹板的屈曲撓度,?w/?y|y=0,h=θ,其中θ為板上下邊的轉角;kz為板邊單位長度上的轉動約束剛度.而實際上腹板屈曲時,翼緣產生轉角θ,在翼緣內產生的是扭矩GJfθ′,其中GJf為扭轉剛度,θ′為轉角變化率,從圖9(b)看出,從翼緣自身的扭轉平衡要求出發(fā),翼緣和腹板交線處產生的單位長度上的腹板彎矩為Μx|y=0,h=GJfθ′′|y=0,h=GJf?3w?x2?y|y=0,h.(11)對照式(10)、(11)可見,翼緣對腹板的約束不能采用傳統的轉動彈簧來模擬,而應該采用式(11)來模擬,或者直接對工字形截面的屈曲進行分析.本文利用ANSYS有限元程序對圖10所示的工字型截面梁段進行整體建模,研究其腹板區(qū)格在非均勻壓應力作用下的彈性屈曲.為了突出翼緣對腹板的約束作用,在建立ANSYS有限元模型時采用耦合自由度的方法,即翼緣與腹板單獨建模,再將翼緣和腹板交線上節(jié)點的轉動自由度4、5和腹板平面外位移自由度3耦合,其余自由度獨立.這樣做的目的是不要將腹板承受的非均勻壓應力傳遞給翼緣,避免翼緣自身的屈曲效應,使問題得以簡化.對腹板的兩加載邊上節(jié)點約束出平面外位移自由度3,為了防止翼緣發(fā)生剛體平動位移,還需約束上下翼緣4條側邊(eh、fg、jk、il)上節(jié)點的自由度1和2.網格劃分方法和荷載施加形式均與簡支板情況相同.衡量翼緣對腹板約束程度的參數,采用任濤等給出的翼緣自由扭轉參數與腹板彎曲剛度之比,即β=bft3f/(ht3w),式中:bf、tf分別為翼緣的寬度和厚度.對圖10所示的工字形截面模型進行彈性屈曲分析,bf分別取為100、200、300和400mm,L/h取為0.4～4.0,通過改變tw而改變β值,翼緣厚度為4～30mm,應力不均勻系數取-1.0～1.0,分析了32個系列,3500余個模型,將具有代表性的系列以散點繪于圖11、12.從圖11中不難發(fā)現,腹板屈曲系數隨β值的增大而迅速增大,然后漸漸趨近于β=∞的值.從β的物理意義出發(fā),考慮翼緣彈性約束的腹板在非均勻壓力作用下的屈曲系數仍然可以采用任濤等給出的公式形式,通過擬合得到:Κbcr=Κbcs+3Κbcfβ1+3β.(12)由式(12)計算得到的腹板屈曲系數的近似值以實線的形式繪于圖11,可以看出,在實際工程常見的寬高比范圍內式(12)得到的腹板屈曲系數與ANSYS基本吻合很好且是偏于安全的.表1給出了當h=800、tw=6、bf=200時L/h為1.0、1.5、2.0、3.0的非均勻受壓腹板屈曲系數的ANSYS計算值和式(12)擬合值以及兩者之間的誤差R.當腹板寬高比較小(比如圖11中L/h=1.0的情況)、β較大時,式(12)得到的屈曲系數較ANSYS計算結果偏差略大.究其原因是,當β較大時考慮翼緣約束作用的腹板屈曲系數已經接近于固支矩形板的屈曲系數,而從圖7可以看出,非均勻受壓固支板在L/h=1.0附近其屈曲系數達到板件以一個半波屈曲的峰值,而式(12)中Kbcf的計算公式取的是下限值.不過從表1中可以看出,實際上在這種情況下式(12)與ANSYS計算結果之間的最大誤差不超過15%,也是在實際工程安全經濟要求可接受的誤差范圍內.圖12繪出了腹板屈曲系數與應力不均勻系數的關系,從中也可以看出式(12)得到的屈曲系數與ANSYS得到的結果基本吻合.4剪應力和彎曲正應力作用時的臨界值剛架梁和柱連接處、連續(xù)梁和懸臂梁支座處梁腹板同時承受較大的彎矩和剪力,必須考慮這兩種力素共同作用對腹板穩(wěn)定的影響.陳紹蕃給出了同時承受彎矩和剪力的四邊支承板件彈性屈曲的臨界條件相關公式如下:(ττscr)2+(σbσbcr)2=1.(13)式中:τ、σb分別為同時作用在腹板上的剪應力和邊緣最大受壓彎曲正應力的臨界值,τscr、σbcr分別為剪應力和彎曲正應力各自單獨作用時的臨界值.σbcr按照式(2)計算,其中的屈曲系數按照式(12)取值;τscr也按照式(2)計算,但其中的Kscr按照文獻給出的公式計算如下:Κscr=Κss+Κsfξvβ1+ξvβ.(14)式中:ξv=0.4+0.08L/h+1.15/(L/h)2;Kss、Ksf分別為簡支矩形板和固支矩形板的剪