線性荷載作用下工字形截面深梁應力的解析計算方法

線性荷載作用下工字形截面深梁應力的解析計算方法

梁是工程結(jié)構(gòu)中最基本的部分?，F(xiàn)代節(jié)水和土木工程的規(guī)模不斷擴大，荷載隨著壓力的增加而增加。因此，作為受彎曲結(jié)構(gòu)的主支撐和受彎曲構(gòu)件的高度不斷增加。當梁的框架相對較小且高度較大時，這就是深梁結(jié)構(gòu)。由于其巨大的承載能力，深梁越來越受到重視。例如，在建筑工程、節(jié)水工程、港口工程、鐵路工程等領(lǐng)域，深梁被廣泛應用。當深梁上有橫向負荷時，它同時承受彎曲、切割和壓縮。換言之，梁截面不僅具有正截面，而且還具有剪切截面。在與中性層平行的垂直纖維中，也存在由橫向力引起的壓縮力。長度梁的純曲線理論不適用于計算深梁的壓力。長久以來,許多學者致力于深梁應力計算的研究[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17],其中文獻[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11]以矩形截面深梁為研究對象,推導出不同支座形式深梁的應力計算公式;工字形截面梁因其截面復雜,因此其受力機理比矩形截面梁的更為復雜,文獻[12,13,14,15,16,17]通過建立工字形截面深梁橫力彎曲的力學模型,推導出均布荷載及集中力作用下各種支座形式深梁的應力計算公式,揭示了薄壁深梁彎剪耦合變形機理,豐富了著名力學家鐵摩辛柯的深梁理論.由于問題的復雜性,以上研究成果無法直接應用于線性荷載作用下工字形截面深梁的應力計算,故在以往研究成果的基礎(chǔ)上,以單軸對稱工字形截面單跨超靜定深梁為例,擯棄材料力學中平截面及縱向纖維互不擠壓的假設,考慮彎剪耦合效應,推導出該類梁在線性分布荷載作用下的應力解析計算公式,并分析剪力對彎應力的影響規(guī)律,以期為線性荷載作用下的工字形截面深梁的應力計算提供理論計算方法.1被壓迫系數(shù)s1單軸對稱工字形截面形狀如圖1所示.單軸對稱工字形截面幾何特征參數(shù)的計算公式如式(1)所示.{α1=1+2β22(1+β1+β2),α2=1+2β12(1+β1+β2)S1=(1+2β2)β12(1+β1+β2)h2,S2=(1+2β1)β22(1+β1+β2)h2Ι=h312+(1+2β2)2β14(1+β1+β2)2h3+(1+2β1)2β24(1+β1+β2)2h3(1)式中,α1=h1/h;α2=h2/h;β1=A1/Af;β2=A2/Af;A1、A2分別為上下翼緣的面積;h1、h2分別為上下翼緣距中性軸的距離;h為梁高;腹板厚度為單位厚度,即1,面積為Af;I為工字形截面對中性軸的慣性矩;S1、S2分別為上下翼緣對中性軸面積矩的絕對值.2應力分量的估計工字形截面單跨超靜定深梁是工程中常見的超靜定結(jié)構(gòu)之一,其典型結(jié)構(gòu)形式如圖2所示,梁長為l,右端固定,左端鉸支,上翼緣承受三角形線性分布荷載,最大荷載集度為q0,將腹板和上下翼緣隔離開,研究腹板的受力機理,計算簡圖如圖3所示.圖3中τ1和τ2分別為上下翼緣施加給腹板的切應力,線性荷載集度沿x軸的大小為xq0/l,左右支座的支反力分別為q0l/10和2q0l/5.梁內(nèi)任一橫截面上的剪力和彎矩分別為FS(x)=110q0l-q02lx2(2)Μ(x)=q010lx-q06lx3(3)則τ1=FS(x)S1Ι,τ2=FS(x)S2Ι(4)由式(2)可知,在x=0.447l處橫截上的剪力為零,此截面為τ1和τ2的方向變化面,如圖3所示.按照彈性力學中的記法,令σx表示彎應力,τxy表示切應力,σy表示擠壓應力,由于梁的上翼緣承受線性分布荷載,即荷載集度隨x的變化而變化,故σy不僅是y的函數(shù)還是x的函數(shù).在y=-h1的邊界上,σy=-q0x/l,在y=h2的邊界上,σy=0,故可假設σy=xf(y),應用彈性力學中的半逆解法來求解各應力分量,算得各應力的彈性力學解答為{σx=x3(Ay+B3)+x(-2Ay3-2By2+6Ey+2F)+6Ηy+2Κσy=x(Ay3+By2+Cy+D)τxy=-x22(3Ay2+2By+C)+(A2y4+2B3y3-3Ey2-2Fy-L)(5)根據(jù)邊界條件來確定式(5)中的待定常數(shù)A、B、C、D、E、F、H、K、L.考慮主要邊界及次要邊界的應力邊界條件為{(σy)y=-h1=-xlq0,(τxy)y=-h1=τ1(σy)y=h2=0,(τxy)y=h2=τ2∫h2-h1(σx)x=0dy+(σx)x=0,y=h2?A2+(σx)x=0,y=-h1?A1=0∫h2-h1(σx)x=0ydy+(σx)x=0,y=h2?A2h2-(σx)x=0,y=-h1?A1h1=0∫h2-h1(τxy)x=0dy=110q0l(6)將式(5)中相應的應力分量代入到式(6)中,并令{L=5(α42+α41)-2(α52+α51),Μ=h(S2+S1)Ι-2Ν=(α2-α1)[5(α22+α21)-15(α42+α41)+6(α52+α51)]Ρ=hΙ(S1-S2)(2α2-α1)+3(S2hΙ-1)(α2-α1)Q=5α42(1-α2)+2α2α41(3α1-5)-3α22α1(α2-α1)(3-α2α1)(7)可得到式(6)的解為{A=q0Ιh3l[h(S2+S1)-2Ι]B=q02Ιh2l{h[(S2-S1)-3(α2-α1)(S2+S1)]+6Ι(α2-α1)}C=q0Ιhl{S2h-α2h[3α1(S2+S1)+(S2-S1)]+6Ια2α1}D=q02Ιl{α22h[(α2+3α1)(S2+S1)+(S2-S1)]-(2α32+6α22α1)Ι-2S2hα2}E=110Ah2L+13Bh(α2-α1)-q0l10h3ΜF(xiàn)=Ah320Ν+16Bh2(6α2α1-1)+q0l10h2ΡL=110Ah4Q+13Bh3α1(α21+3α2α1-1)+3q0lα2110hΜ+q0lα15hΡ-q0lS110ΙΗ=0,Κ=0(8)參照文獻,考慮彎剪耦合效應的附加翹曲正應力σq為σq=2(1+μ)Ιq0lx∫y0S*dy(9)式中,μ為泊松比;S*為距中性軸的距離為y以外部分的橫截面面積對中性軸的面積矩.重新記由彈性力學中的半逆解法所求得的彎應力為σe,則彎應力的最終表達式為σx=σe+σq(10)3橫截面彎力公式由上面的分析可知,線性荷載作用下單軸對稱工字形截面深梁的應力計算公式非常復雜,不便對其作進一步的分析,為了掌握剪力對彎應力的影響沿梁高及跨度的分布規(guī)律,以雙軸對稱工字形截面單跨超靜定深梁為例進行分析,易得{A=-2q0lh316β+1,B=0,C=3q02hl4β+16β+1D=-q02l,E=q06β+1(l5h3-110lh),F=0L=q06β+1(h80l-3l20h-3l5hβ),Η=0,Κ=0(11)式中β為翼緣與腹板面積比,則可得到各應力分量的計算公式{σx=2q0lh31(6β+1)y(35l2x-x3)+q0xlyh16β+1(4y2h2-35)+12(1+μ)q0h3(6β+1)xl[h2βy+(h24y-13y3)]σy=-q02lx(1-3yh4β+16β+1+4y3h316β+1)τxy=q0(35l2-3x2)lh16β+1(4β+14-y2h2)+q0ly6β+1(-y3h3+310yh-h80y)(12)記沿橫截面高度方向且受拉部分的面積矩為S,受壓部分的面積矩僅將S變?yōu)槠湎喾磾?shù)即可,并算得S=4β+18h2-12y2(13)前面已經(jīng)算得剪力FS(x)和彎矩M(x)的值,則式(13)可寫為{σx=Μ(x)Ιy+q0xlyh16β+1(4y2h2-35)+12(1+μ)q0h3(6β+1)xl[h2βy+(h24y-13y3)]σy=-q02lx(1-3yh4β+16β+1+4y3h316β+1)τxy=FS(x)SΙ+q0ly6β+1(-y3h3+310yh-h80y)(14)在主要應力彎應力σx的表達式中,第1項是主要項,是彎矩產(chǎn)生的應力,和材料力學的解答相同;第2項則是應用彈性力學提出橫截面翹曲引起的應力修正項;第3項是彎剪耦合修正項.應力分量σy是梁的各纖維間的擠壓應力,材料力學中不考慮這一項.在切應力τxy的表達式中,第1項是主要項,是剪力產(chǎn)生的應力,和材料力學的解答相同;第2項則是彈性力學提出的修正項.4不同跨高比的分布及分析為了方便應力分布規(guī)律分析,引入量綱為1位置參數(shù)如下:剪高比ξ=2y/h,剪跨比η=x/l,跨高比α=l/h,則彎應力σx的表達式可寫為σx=q0α26β+1ξη35-η21+12α2ξ2-3535-η2+6(1+μ)α2(35-η2)-ξ212+β+14(15)引入量綱為1翹曲正應力λ,有λ=12α2ξ2-3535-η2+6(1+μ)α2(35-η2)-ξ212+β+14(16)λ代表剪力對彎應力的影響程度,為了反映剪力對彎應力的影響沿梁高的分布規(guī)律,以距鉸支端0.447l處橫截面為例進行分析,該處截面具有最大的正彎矩,可知η=0.447,-1≤ξ≤1,取β=0.5,μ=0.3,作出不同跨高比下λ-ξ關(guān)系曲線如圖4所示;為了反映剪力對彎應力的影響沿梁跨度的分布規(guī)律,以下翼緣外側(cè)部分為例進行分析,可知ξ=1,-1≤η≤1,作出不同跨高比下λ-η的關(guān)系曲線如圖5所示;為了反映λ關(guān)于跨高比α及翼緣與腹板面積比β的變化規(guī)律,以距鉸支端0.447l處橫截面下翼緣外側(cè)的點為例進行分析,則η=0.447,ξ=1,作出不同面積比下的λ-α的關(guān)系圖及不同跨高比下的λ-β關(guān)系圖如圖6、7所示.由圖4～7得出如下結(jié)論:1)沿梁高方向,以距鉸支座0.447l處橫截面為例(該處截面具有最大的正彎矩),量綱為1翹曲正應力λ與剪高比ξ的關(guān)系曲線總體趨于平穩(wěn),說明剪力對彎應力的影響沿梁高方向幾乎處于同一水平,這和剪應力分布規(guī)律一致;2)沿梁跨度方向,以下翼緣外側(cè)為例,量綱為1翹曲正應力λ與跨高比η的關(guān)系曲線以η=0.77為分界點,分為左右2個區(qū)域,在左邊區(qū)域,沿梁跨方向,λ逐漸增大,說明剪力對彎應力的影響逐漸增大,在η=0.77處,剪力對彎應力的影響達到最大,由彎矩的表達式可知,η=0.77處橫截面的彎矩為0,故由純彎矩產(chǎn)生的彎應力為0,彎應力的產(chǎn)生是由于非平截面及相鄰橫截面翹曲不同步造成的,故在此處剪力對彎應力的影響達到最大,當η>0.77時,λ的值為負,這主要是受固端彎矩的影響,且離固定端越近,影響越小;3)剪力對彎應力的影響隨翼緣與腹板面積比的增大而增大,隨跨高比的減小而增大,這均和以往的認識一致;4)通過與均布荷載作用下的工字形截面深梁的量綱為1翹曲正應力比較,在均布荷載集度和線性分布最大荷載集度相同的情況下,線性分布荷載作用下的量綱為1翹曲正應力大于均布荷載作用下的量綱為1翹曲正應力,亦即線性分布荷載變化率越大,翹曲正應力也越大.5工字形截面深梁應力的計算模型本文推導出線性荷載作用下工字形截面單跨超靜定深梁的應力計算公式,并對剪力對彎應力的影響作了進一步的分析,獲得剪力對彎應力的影響沿梁高和跨度的分布規(guī)律以及