數(shù)列不等式證明方法

1/1數(shù)列不等式的證明方法

求證：當(dāng)

時(shí):

數(shù)列不等式證明的幾種方法

數(shù)列和不等式都是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，這兩個(gè)重點(diǎn)學(xué)問的聯(lián)袂、交匯融合，更能考查同學(xué)對(duì)學(xué)問的綜合理解與運(yùn)用的力量。這類交匯題充分體現(xiàn)了“以力量立意”的高考命題指導(dǎo)思想和“在學(xué)問網(wǎng)絡(luò)交匯處”設(shè)計(jì)試題的命題原則。下面就介紹數(shù)列不等式證明的幾種方法，供復(fù)習(xí)參考。

、奇妙構(gòu)造，利用數(shù)列的單調(diào)性

例1.對(duì)任意自然數(shù)n，求證：（3X1垢）?…（"右八喬

2n.十2

■+2

加4

-1十2

所以耳“f，即&〕為單調(diào)遞增數(shù)列

--^>1

所以

'，即

點(diǎn)評(píng)：某些問題所給條件隱含數(shù)列因素或證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題，均可

構(gòu)造數(shù)列，通過(guò)數(shù)列的單調(diào)性解決。二、放縮自然，順理成章

例2.已知函數(shù)f（對(duì)=護(hù)7”，數(shù)列區(qū)）為九）的首項(xiàng)衍°】，以后每項(xiàng)按如下方式取定：曲線廠

f⑻在點(diǎn)血（仏小處的切線與經(jīng)過(guò)（0，0）和（軋F(tuán)（xJ）兩點(diǎn)的直線平行。

證明:“W』T）需朋詈?

2□十2

l）（Zn+

弓）

構(gòu)造數(shù)列

（1）為J+%=了召『+2盤曲；

(2)

證明：（1）由于3）=3宀血，所以曲線滬聴）在（3』（如））處的切線斜率為召J+刼訕。

又由于過(guò)點(diǎn)（0,0）和’…7■'兩點(diǎn)的斜率為'；'_,所以結(jié)論成立。

（2）由于函數(shù)唸）=，斗耳當(dāng)Q耐單調(diào)遞増則有襯斗弧=軋J+%】三

%J斗刼站廣（％+1沱+（和1）

?

魚g丄

所以召'厶+1，即耳二，因此

靭衍^-12

因此,

2

所以點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、函數(shù)、不等式、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等多學(xué)問點(diǎn)的綜合題，在證明過(guò)程中多次運(yùn)用放縮，放縮自然，推理規(guī)律嚴(yán)密，順理成章，奇妙敏捷。三、導(dǎo)數(shù)引入，更顯神威

1丄亠…丄如①昱

例3.求證：234n

2

a

1h1

n+1

n，且當(dāng)仃12時(shí)，沈_i?S仏氐■如+丄

證明：令

，所以

lnn=ln—

11

。要證明原不等式，只須證

1

1;1

X+1K

-1

所以

W占弓而蘆詬訂

隘-畧廠誠(chéng)葉1）-

設(shè)

二:-.，

所以h（t）＞xi）=o，即

所咖耳

同理可證

丄訕江L丄艮卩丄皿皿』所以■-1

:-

||1丄丄…亠山丄―

n-l，得234n

234n+1

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)新教材，為解決數(shù)列與不等式的交匯問題展現(xiàn)了新的思路和寬闊的空間，其解題方法新奇獨(dú)特，尤其是對(duì)數(shù)、指數(shù)次幕形式消失的一類問題，更顯導(dǎo)數(shù)在解題中的工具性和獨(dú)特的神威。四、裂項(xiàng)求和，簡(jiǎn)捷明白

，證明

號(hào)十1

1

In>-

x:S所以所以h(t)在(g

上為增函數(shù)

。對(duì)上式中的n分別取1，2，3,…,

例4.設(shè)二是數(shù)列-

的前n項(xiàng)和，且

(1)求數(shù)列迢J的首項(xiàng)勻，及通項(xiàng)-；

(2)

解:(1)首項(xiàng)哲=2代=軒_嚴(yán)?=1,&3…)

（過(guò)程略）。

得-*—扣叫|尋7）（~）

而達(dá)到證題目的，整個(gè)證題過(guò)程簡(jiǎn)捷明白五、獨(dú)辟蹊徑，敏捷變通

獨(dú)辟蹊徑指處事有獨(dú)創(chuàng)的新方法，對(duì)問題不局限于一種思路和方法,活變通，獨(dú)自開拓新思路、新方法。

例5.已知函數(shù)n=R伐7。設(shè)數(shù)列｛3JSS足引+"伽)足足|\HV3LSH=bj+ba+-+

VUGM')

（i）求證：九'埠

（2）求證：11

3

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)對(duì)

T■

乳的變形，利用裂項(xiàng)求和法化為“連續(xù)相差形式，從

（2）證明：將

4

24-咖V訊

而是擅長(zhǎng)靈33

（后M7■2爲(wèi)綽屮■,削

證明：（1證法1:由2（J3十D

令屁I）%,則只須證C^2；易知6?2,只須證九"』。

由分析法：C禍WOQ】嚴(yán)嘰機(jī)￡0（*+L）|%】-妁

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證法2:由于心）"得f㈤的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為土靄。又2"%",所

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