3.8圓內接正多邊形

3.8圓內接正多邊形北師大版九年級數學（下）

第3章圓江西瑞昌梁先愛圖片欣賞什么樣的圖形是正多邊形？各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形.想一想：菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？你知道正多邊形與圓的關系嗎？

正多邊形和圓的關系非常密切,只要把一個圓分成相等的一些弧,就可以作出這個圓的內接正多邊形,這個圓就是這個正多邊形的外接圓.

如圖,把⊙O分成相等的5段弧,依次連接各分點得到正五邊形ABCDE.∴AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B.∵·ABCDEO同理∠B=

∠C=

∠D=

∠E.又五邊形ABCDE的頂點都在⊙O上,∴五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形,⊙O是五邊形ABCDE的外接圓.我們以圓內接正五邊形為例證明.∴BCE=CDA，??例如，我們可以這樣來畫一個邊長為2cm的正六邊形．第一種方法，如圖，以2cm為半徑作一個⊙O，用量角器畫一個等于 的圓心角，它對著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，就得到圓的6個等分點，順次連接各分點，即可得出正六邊形．·60°O90018060120活動1利用這種方法可以畫出任意的正n邊形.第二種方法，如圖，以2cm為半徑作一個⊙O，由于正六邊形的半徑等于邊長，所以在圓上依次截取等于2cm的弦，就可以將圓六等分，順次連接各分點即可．·O活動2由此,你能畫出正三角形,正十二邊形嗎?EFCD..O中心角半徑R邊心距r正多邊形的中心:

一個正多邊形的外接圓的圓心.正多邊形的半徑:

外接圓的半徑正多邊形的中心角:

正多邊形的每一條邊所對的圓心角.正多邊形的邊心距：

中心到正多邊形的一邊的距離.EFCD..O中心角ABG邊心距把△AOB分成2個全等的直角三角形設正多邊形的邊長為a,半徑為R,它的周長為L=na.Ra例有一個亭子,它的地基是半徑為4m的正六邊形,求地基的周長和面積(精確到0.1m2).解:如圖，由于ABCDEF是正六邊形,所以它的中心角等于，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑.因此,亭子地基的周長l=4×6=24(m).在Rt△OPC中,OC=4,PC=利用勾股定理,可得邊心距亭子地基的面積OABCDEFRPr活動3例：如圖3－36，在圓內接正六邊形ABCDEF中，半徑OC=4，OG⊥BC，垂足為點G，求正六邊形的中心角、邊長和邊心距。解：連接OC、OD∵六邊形ABCDEF為正六邊形∴∠COD==60°∴△COD為等邊三角形∴CD=OC=4

在Rt△COG中，OC=4，CG=2∴OG=∴正六邊形ABCDE的中心角為60°，邊長為4，邊心距為。3.分別求出半徑為R的圓內接正三角形，正方形的邊長，邊心距和面積.解：作等邊△ABC的邊BC上的高AD,垂足為D.連接OB，則OB=R.在Rt△OBD中，∠OBD=30°,邊心距＝OD=在Rt△ABD中，∠BAD=30°,·ABCDO由勾股定理，求得AB=解：連接OB，OC，過點O作OE⊥BC垂足為E.則∠OEB=90°，∠OBE=∠BOE=45°.Rt△OBE為等腰直角三角形.則有·ABCDOE隨堂練習分別求出半徑為6cm的圓內接正三角形的邊長和邊心距。·ABC用等分圓周的方法畫出下列圖案：隨堂練習1、正多邊形和圓有什么關系？你能舉例說明嗎？2、什么是