高中數(shù)學(xué)必修5332簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題B

第三章不等式3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題如果若干年后的你成為某工廠的廠長(zhǎng)，你將會(huì)面對(duì)生產(chǎn)安排、資源利用、人力調(diào)配的問(wèn)題……【引例】：某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件并耗時(shí)1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件并耗時(shí)2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？

數(shù)據(jù)分析表：日生產(chǎn)滿足402乙產(chǎn)品041甲產(chǎn)品B配件（個(gè)）A配件（個(gè)）每件耗時(shí)（h）應(yīng)用舉例248642【優(yōu)化條件】：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬(wàn)元，采用哪種生產(chǎn)安排獲得利潤(rùn)最大？M(4,2)應(yīng)用舉例zmax=2×4+3×2=14線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題可行解：滿足線性約束條件的解(x，y)叫可行解；可行域：由所有可行解組成的集合叫做可行域；最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟：

2、在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；

（注意y的系數(shù)“+，-”）

3、通過(guò)解方程組求出最優(yōu)解；4、作出答案。

1、畫出線性約束條件所表示的可行域；畫移求答解線性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟：

1、理清題意，列出表格； 2、設(shè)好變?cè)?，列出線性約束條件（不等式組）與目標(biāo)函數(shù)； 3、準(zhǔn)確作圖； 4、根據(jù)題設(shè)精確度計(jì)算。例1營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化合物／kg蛋白質(zhì)/kg脂肪／kgAB分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格0.1050.1050.070.140.140.07日常飲食含量0.0750.060.06解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，

總成本為z，那么目標(biāo)函數(shù)為：z＝28x＋21y作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域把目標(biāo)函數(shù)z＝28x＋21y變形為xyo5/75/76/73/73/76/7

它表示斜率為隨z變化的一組平行直線系

是直線在y軸上的截距，當(dāng)截距最小時(shí)，z的值最小。M

如圖可見，當(dāng)直線z＝28x＋21y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最小，即z最小。M點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，解方程組得M點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以zmin＝28x＋21y＝16由此可知，每天食用食物A143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元。解：設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張約束條件是作出可行域見課本圖3.3-12目標(biāo)函數(shù)是z=x+y此問(wèn)題中，鋼板張數(shù)為整數(shù)，在一組平行直線x+y=t中（t為參數(shù)），經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8),它們是最優(yōu)解雖然直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，與原點(diǎn)距離最近，經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）且與原點(diǎn)距離最近的直線是x+y=12,但是由得即點(diǎn)A(,)坐標(biāo)不是整點(diǎn)，不合題意答：要截得所需三種規(guī)格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種，第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張，截第二種鋼板8張.兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張。練習(xí)1、一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t?，F(xiàn)庫(kù)存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。并計(jì)算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？解：設(shè)x、y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：xyo解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤(rùn)Z萬(wàn)元。目標(biāo)函數(shù)為Z＝x＋0.5y，可行域如圖：把Z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，它表示斜率為－2，在y軸上的截距為2z的一組直線系。

xyo由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距2z最大，即z最大。

故生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3萬(wàn)元。M容易求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），則Zmin＝3練習(xí)2.某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元、2000元，甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工，在每臺(tái)A、B上加工1件甲所需工時(shí)分別為1h、2h，A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)數(shù)分別為400h和500h。如何安排生產(chǎn)可使收入最大？

解

設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，每月收入為z，目標(biāo)函數(shù)為Z＝3x＋2y，滿足的條件是Z＝3x＋2y

變形為

它表示斜率為的直線系，Z與這條直線的截距