不等式恒成立能成立問題習(xí)題課專題課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第二章

一元二次函數(shù)、方程和不等式習(xí)題課

不等式恒成立和存在性問題一、在R上恒成立問題解：當(dāng)k＝0時，原不等式化為－2<0，顯然符合題意；當(dāng)k≠0時，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，∵y<0恒成立，∴其圖象都在x軸的下方，即開口向下，且與x軸無交點.綜上，實數(shù)k的取值范圍是{k|－1<k≤0}.例1

已知?x∈R，不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況小結(jié)：跟蹤訓(xùn)練1

已知?x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_____________.{a|－6≤a≤2}解：原不等式可化為x2＋ax＋3－a≥0，∵函數(shù)y＝x2＋ax＋3－a的圖象開口向上，∴Δ＝a2－4(3－a)＝a2＋4a－12≤0，即(a－2)(a＋6)≤0，∴－6≤a≤2，∴實數(shù)a的取值范圍為{a|－6≤a≤2}.二二、在給定范圍上的恒成立問題例2

當(dāng)1≤x≤2時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解：令y＝x2＋mx＋4，∵y<0在1≤x≤2上恒成立，∴y＝0的根一個小于1，另一個大于2.解得m<－5，∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m<－5}.在給定范圍上的恒成立問題(1)當(dāng)a>0時，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數(shù)值同時小于0.(2)當(dāng)a<0時，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立?y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數(shù)值同時大于0.小結(jié)：跟蹤訓(xùn)練2

命題“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是A.a≥4 B.a≥5C.a≤4 D.a≤5√解：因為命題“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命題，所以當(dāng)1≤x≤2時，a≥x2恒成立，所以a≥4，結(jié)合選項，該命題為真命題的一個充分不必要條件是a≥5.三三、存在性成立問題例3

當(dāng)1<x<2時，關(guān)于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，則實數(shù)m的取值范圍為_____________.{m|m>－5}解：記y＝x2＋mx＋4，則由二次函數(shù)的圖象(圖略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.解決能成立問題的方法(1)結(jié)合二次函數(shù)圖象，將問題轉(zhuǎn)化為端點值的問題解決.(2)對一些簡單的問題，可轉(zhuǎn)化為m>ymin或m<ymax的形式，通過求y的最小值與最大值，求得參數(shù)的取值范圍.小結(jié)：跟蹤訓(xùn)練3

若存在x∈R，使得

≥2成立，求實數(shù)m的取值范圍.解：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，