微積分課件第十一章

第十一章曲線積分與曲面積分■不同積分之間積分區(qū)域不同：定積分：直線重積分：平面和立體曲線積分：平面和空間曲線曲面積分：曲面■基本內(nèi)容：第一型曲線，曲面積分：計(jì)算與應(yīng)用。

第二型曲線，曲面積分：計(jì)算與應(yīng)用。11.1第一型曲線積分?！霰尘埃呵€構(gòu)件的質(zhì)量。勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和取極限近似值精確值設(shè)L為xoy平面內(nèi)一條光滑曲線，函數(shù)f(x,y)11.1.1對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)■定義在L上有界，f(x,y)在L上的積分定義如下：(1)分割：把L分成n段。(2)乘積：(3)求和：(4)極限：被積函數(shù)積分弧段積分和式■.存在條件：■.推廣注意：■曲面積分性質(zhì)：積分中值定理11.1.2計(jì)算方法：化為定積分定理1：

換元法(x,y)t思考：1.定積分是弧長積分特殊情形嗎？2.若f(x,y)=1,表示什么？推廣:例1解例2解例3解Y?例4：求步驟1：L的示意圖。步驟2：L參數(shù)方程。步驟3：轉(zhuǎn)化為定積分。步驟4：定積分的計(jì)算利用對稱性計(jì)算例5：求方法1：轉(zhuǎn)化為定積分方法2：利用對稱性例6解由對稱性,知■幾何與物理意義11.2第二型曲線積分■背景：變力沿曲線所做的功。路徑：變力：分割：11.2.1定義與性質(zhì)近似值求和取極限精確值可推廣到三維?！龆x1：設(shè)P,Q,R是分段光滑曲線L上的有界函數(shù)，記F={P,Q,R},如下積分稱為F在L上第二型曲線積分并且：其中：r={x,y,z},dr={dx,dy,dz}■性質(zhì)即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).11.2.2計(jì)算：化為定積分定理1：設(shè)曲線L由以下參數(shù)方程給定：則有:例1解例2解問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.例3：p165,例4例4：計(jì)算線積分一拱11.2.3

Green公式■區(qū)域的連通性

設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD分段光滑且自身不相交的閉曲線?！龊唵伍]曲線：■邊界的正向：邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.■格林公式：定理2：證明思路：從簡單區(qū)域到復(fù)雜區(qū)域一一論證■區(qū)域分類：(1)區(qū)域D既是X-型區(qū)域，又是Y-型區(qū)域。(2)區(qū)域D是單連通區(qū)域。(3)區(qū)域D是復(fù)連通區(qū)域。■Green公式是下面兩等式相加結(jié)果。等式兩邊都轉(zhuǎn)化成相同定積分證明(1)yxoabDcdABCEyxodDcCEBA同理可證兩式相加得證明(2)D注意：分割時(shí)增加了邊界。GDFCEAB證明(3)由(2)知邊界內(nèi)部注意Green公式成立的兩個條件例1：計(jì)算積分正向例2：計(jì)算積分正向Green公式成立的兩個條件：(1)L為封閉光滑曲線。(2)P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。如果條件不成立，如何處理？例3：計(jì)算線積分一拱例4：計(jì)算線積分其中L為(3)任意簡單閉曲線特殊應(yīng)用：■計(jì)算平面面積■計(jì)算第一型曲線積分P170,8■證明曲線積分與二重積分等式。11.2.4平面曲線積分與路徑無關(guān)條件■Newton-Leibniz公式：？Gyxo一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義BA如果在區(qū)域G內(nèi)有二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理3：條件：(1)D是平面單連通區(qū)域。(2)P,Q有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。結(jié)論：以下結(jié)論等價(jià)(1)積分與路徑無關(guān)。(2)存在可微函數(shù)u,(3)在D內(nèi)(4)對任意分段光滑閉曲線C證明(1)(2)構(gòu)造性證明步驟1：令步驟2：證明即積分中值定理同理，例1：計(jì)算積分OAB方法1：轉(zhuǎn)化為定積分。方法2：選擇簡單路徑。方法3：求原函數(shù)。1)積分法2)拼湊法例2：計(jì)算積分推廣：定理3的條件2不成立會怎樣？定理4:條件：(1)除點(diǎn)M0外，P,Q有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。(2)結(jié)論：環(huán)路路徑無關(guān)對任何包圍M0的正向簡單閉曲線L,積分取同一值附：如果包含更多不連續(xù)點(diǎn)?例3：計(jì)算線積分其中L為(3)任意簡單閉曲線應(yīng)用：全微分方程求解11.3第一型曲面積分11.3.1定義與性質(zhì)■背景：曲面質(zhì)量，和曲面相關(guān)的幾何物理問題。■定義：■性質(zhì)：二重積分性質(zhì)可一一推廣過來。■計(jì)算方法：化為二重積分。例1解例3解（左右兩片投影相同）應(yīng)用：求曲面的質(zhì)量，重心等11.4第二型曲面積分11.4.1定義與性質(zhì)■曲面的方向：雙側(cè)曲面與單側(cè)曲面。觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)前側(cè)，后側(cè)；左側(cè)，右側(cè)。定義：定向曲面或雙側(cè)曲面1)設(shè)S是光滑曲面，n是點(diǎn)P(∈S)處的單位法矢量。2)P在S上連續(xù)移動，然后回到起點(diǎn)；法矢量n相應(yīng)移動回到起點(diǎn)時(shí)，指向不變。則稱，法矢量n指定了S的一側(cè)。曲面S稱為雙側(cè)曲面。通俗說法：顏色曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:播放■曲面?zhèn)认虻木唧w刻畫：Case1:曲面S方程z=z(x,y).任一點(diǎn)法矢量：曲面上側(cè)曲面下側(cè)與Z軸正向夾角:小于90度，大于90度Case2:曲面S方程y=y(x,z).曲面右側(cè)曲面左側(cè)Case3:曲面S方程x=x(y,z).前側(cè)，后側(cè)■物理背景：流向曲面一側(cè)的流量.1.分割則該點(diǎn)流速為.法向量為.2.求和3.取極限微元法描述■定義：1)設(shè)S是分片光滑定向曲面，n是相應(yīng)單位法矢量，2)F={P,Q,R},是S上有界矢量函數(shù)。則矢量函數(shù)F在S上積分記為：若記：則：其中，分別是面積微元在三個坐標(biāo)面上投影曲面的投影問題:通常記可正可負(fù)■性質(zhì)11.4.2計(jì)算方法：化為二重積分定理1：1)曲面S方程：z=f(x,y),(x,y)∈D。2)函數(shù)z=f(x,y)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。3)R(x,y,z)在S上連續(xù)。4)S取上側(cè)(下側(cè))則：思考：能否投影到其它坐標(biāo)面上？例1：p195,例1解討論：能否轉(zhuǎn)化成dzdx型二重積分？例3：求積分上側(cè)方法1：分別計(jì)算三個積分方法2：統(tǒng)一投影法關(guān)鍵：兩類曲面積分之間的聯(lián)系步驟1：轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分11.5高斯(Gauss)公式與斯托克斯(Stokes)公式Green公式：平面曲線積分轉(zhuǎn)化二重積分Gauss公式：空間曲面積分轉(zhuǎn)化三重積分Stokes公式：空間曲線積分轉(zhuǎn)化曲面積分11.5.1Gauss公式定理1：外側(cè)證明思路：■公式是三個等式相加；即■選擇特殊區(qū)域V;即■基本方法：都轉(zhuǎn)化為二重積分；證明：:柱面同理------------------高斯公式和并以上三式得：由兩類曲面積分之間的關(guān)系知Gauss公式的實(shí)質(zhì)

表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意:例1：計(jì)算曲面積分外側(cè)例2：計(jì)算曲面積分上側(cè)P206,例8，例911.5.3Stokes公式■空間曲線的Green公式■單連通空間曲面：曲面內(nèi)任一閉曲線可不越過邊界連續(xù)地縮為一點(diǎn)?！鲞吔绶较蚺c曲面定向一致：邊界方向與曲面定向法矢量構(gòu)成右手系。

是有向曲面的正向邊界曲線右手法則斯托克斯公式便于記憶形式另一種形式證明：思路曲面積分二重積分曲線積