指數(shù)運算（精講）

4.1指數(shù)運算（精講）一．n次方根，n次根式1.a的n次方根的定義：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)3.根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).二.根式的性質(zhì)1.負(fù)數(shù)沒有偶次方根.2.0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0.3.(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).4.eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù)).5.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù)).三.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；2.規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；3.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.四.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)1.整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).④eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q).2.無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.一．eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的區(qū)別1.eq\r(n,an)是實數(shù)an的n次方根，是一個恒有意義的式子，不受n的奇偶限制，但這個式子的值受na先乘方，再開方(都是n次)，結(jié)果不一定等于a.當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2.(eq\r(n,a))n是實數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實數(shù)a的取值由na先開方，再乘方(都是n次)，結(jié)果恒等于a.二．根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化(1)有括號先算括號里的，無括號先進行指數(shù)運算.(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運用指數(shù)冪的運算性質(zhì).(1)將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.(2)運用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解.3.利用整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計算常用的技巧方法，分析觀察條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點，靈活運用恒等式是關(guān)鍵.(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計算問題，常常運用完全平方公式及其變形公式.考點一根式的意義求范圍【例1】（2023·云南曲靖）（多選）若，則下列四個式子中有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因為，所以為偶數(shù)，，所以有意義，A正確；取，則，所以無意義，B錯誤；因為的根指數(shù)為奇數(shù)，所以有意義，C正確；若，則，所以無意義，D錯誤.故選：AC【一隅三反】1．（2023·北京）是實數(shù)，則下列式子中可能沒有意義的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，的偶次方根無意義.故選：D2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，求【答案】【解析】因為，所以，解得，所以，故答案為：．3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若代數(shù)式有意義，則.【答案】8【解析】因為代數(shù)式有意義，所以且，故，所以，故答案為：8.考點二根式的性質(zhì)化簡或求值【例21】（2023·全國·高一假期作業(yè)）（多選）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】當(dāng)n為偶數(shù)時，故A，C選項中的式子不正確；當(dāng)n為奇數(shù)時，則，故B，D選項中的式子正確.故選：BD.【例22】（2022秋·甘肅慶陽·高一?？计谀ǘ噙x）若，化簡的結(jié)果可能（

）A． B．. C． D．【答案】AC【解析】由化簡可得，所以，所以或，又，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故選：AC.【一隅三反】1．（2022秋·吉林白山·高一校考階段練習(xí)）（多選）已知xy≠0，且，則以下結(jié)論錯誤的是（

）A．xy<0 B．xy>0C．x>0，y>0 D．x<0，y<0【答案】BCD【解析】由知，所以異號，所以A對，BCD錯；故選：BCD．2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）化簡的結(jié)果是．【答案】【解析】.故答案為：.3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）化簡.【答案】6【解析】.故答案為：.考點三根式與指數(shù)冪的互化【例31】（2023·全國·高一課堂例題）[多選題]下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】BD【解析】當(dāng)時，，，故A錯誤．（），故B正確．（），故C錯誤．（），故D正確．故選：

BD【例32】（2023·高一課時練習(xí)）已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)7(2)3【解析】（1）將兩邊平方，得，即；（2）將兩邊平方，得，即；,所以．【例33】（2023云南）計算下列各式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)100(3)【解析】（1）原式=1+=1+=（2）原式===100【一隅三反】1．（2023·全國·高一課堂例題）化簡（式中各字母均為正數(shù)）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）原式.（2）原式.（3）方法一（從里向外化）．方法二（從外向里化）2．（2023春·河北石家莊·高一?？茧A段練習(xí)）計算下列各式的值.(1)(2)(3)(4)；(5).(6)計算：；(7)（，）.【答案】(1)(2)2(3)18(4)100(5)4(6)；(7).【解析】（1）原式（