1-3-1 空間直角坐標(biāo)系 1-3-2 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 作業(yè)

1.3.1空間直角坐標(biāo)系&1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示夯實基礎(chǔ)一、選擇題1.(2022黑龍江綏化肇東四中期中)已知點A(1，1，-3)，B(3，1，-1)，則線段AB的中點M關(guān)于平面Oyz對稱的點的坐標(biāo)為()A.(-2，1，-2)B.(2，1，-2)C.(2，-1，-2)D.(2，1，2)【答案】A【解析】由題意得M(2，1，-2)，∴點M關(guān)于平面Oyz對稱的點的坐標(biāo)為(-2，1，-2).故選A.2.(2022河北任丘第一中學(xué)月考)設(shè)O為坐標(biāo)原點，M(5，-1，2)，A(4，2，-1)，若OM=AB，則點B的坐標(biāo)為()A.(-1，3，-3)B.(9，1，1)C.(1，-3，3)D.(-9，-1，-1)【答案】B【解析】設(shè)B(x，y，z)，由OM=AB得(5，-1，2)=(x-4，y-2，z+1)，∴x-4=5，y-2=-1，z+1=23.(2020浙江臺州期末)已知A(1，5，-2)，B(2，4，1)，C(a，3，b+2)三點在同一條直線上，那么()A.a=3，b=-3B.a=6，b=-1C.a=3，b=2D.a=-2，b=1【答案】C易得AB=(1，-1，3)，AC=(a-1，-2，b+4)，∵AB與AC共線，∴AC=λAB，∴(a-1，-2，b+4)=(λ，-λ，3λ)，∴a-1=λ，4.在△ABC中，∠C=90°，A(1，2，-3k)，B(-2，1，0)，C(4，0，-2k)，則k=()A.10C.25【答案】D【解析】由題意得CB=(-6，1，2k)，CA=(-3，2，-k).∵∠C=90°，∴CB·CA=-6×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0，∴k=±10.故選D.5.(2022河北滄州東光第一中學(xué)月考)已知向量a=(1，2，3)，|c|=14，若a·c=-7，則a與c的夾角為()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】|a|=12+22+32=14，所以所以<a，c>=120°.二、填空題6.如圖是一個正方體截下的一角P-ABC，其中PA=a，PB=b，PC=c.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則△ABC的重心G的坐標(biāo)是.

【答案】a【解析】由題意知A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c).由重心坐標(biāo)公式得點G的坐標(biāo)為a37.(2021天津靜海檢測)若向量a=(1，1，2)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)，則(c-a)·2b=.

【答案】-2【解析】易得c-a=(0，0，-1)，2b=(2，4，2)，∴(c-a)·2b=0+0-2=-2.三、解答題8.(2022天津河?xùn)|期中)已知AB=(-2，3，5)，AC=(4，1，a)，AD=(6，b，-2).(1)若四邊形ABCD為平行四邊形，求實數(shù)a，b的值；(2)若四邊形ABCD的對角線互相垂直，求實數(shù)a，b滿足的關(guān)系式.【解析】(1)因為AB=(-2，3，5)，AC=(4，1，a)，且-24≠31，所以由四邊形ABCD為平行四邊形，知AC=AB+AD，所以(4，1，a)=(-2，3，5)+(6，b，-2)，所以a=3，b=-2.(2)由題意得BD=AD-AB=(8，b-3，-7).因為四邊形ABCD的對角線互相垂直，所以BD·AC=0，即32+b-3-7a=0，亦即9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AB1⊥BC1，點O，O1分別是邊AC，A1C1的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)求正三棱柱的側(cè)棱長；(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值.【解析】(1)設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為h.由題意得A(0，-1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，B1(3，0，h)，C1(0，1，h)，則AB1=(3，1，h)，BC1=(-3，1，h).因為AB1⊥BC1，所以AB1·BC1=-3+1+h2=0，所以(2)由(1)可知AB1=(3，1，2)，BC=(-3，1，所以AB1·BC=-3+1=-2，|AB1|=6，所以cos<AB1，BC>=所以異面直線AB1與BC所成角的余弦值為66拓展提升一、選擇題1.(2021山東師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)已知a=(1，2，2)，b=(-2，1，1)，則向量b在a上的投影向量為()A.-C.-【答案】B【解析】∵a=(1，2，2)，b=(-2，1，1)，∴a·b=1×(-2)+2×1+2×1=2，向量a方向上的單位向量e=a|a|∴向量b在a上的投影向量為a·b|a|e=22.(2021江西新余一中、宜春一中聯(lián)考)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線NO，AM的位置關(guān)系是()A.平行B.相交C.異面垂直D.異面不垂直【答案】C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)正方體的棱長為2，則A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，∴NO=(-1，0，-2)，AM=(-2，0，1).∵NO·AM=0，∴直線NO，AM的位置關(guān)系是異面垂直.故選C.3.(多選)(2020海南海口海南中學(xué)月考)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，點P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動，并且總是保持AP⊥BD1，則以下結(jié)論正確的是()A.VP-AA1D=1C.AP⊥BC1D.AP∥平面A1C1D【答案】BD【解析】∵P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動，平面BCC1B1∥平面AA1D1D，∴P到平面AA1D1D的距離即為C到平面AA1D1D的距離，即為正方體的棱長，∴VP-AA1D=13S△A以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，P(x，1，z)(0≤x≤1，0≤z≤1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，∴AP=(x-1，1，z)，BD1=(-1，-1，1)，B1C=(-1∵AP⊥BD1，∴AP·BD1=1-x-1+z=0，∴P(x，1，x)，∴CP=(x，0，x)，∴CP=-xB1C，即B1，P，C三點共線，∴P必在線段B1C上，故B易知C1(0，1，1)，∴BC1=(-1，0，1)，又AP=(x-1，1，∴AP·BC1=1-x+x=1，∴AP與BC1不垂直，故C易知A1(1，0，1)，D(0，0，0)，∴A1C1=(-1，1，0)，DA1=(1，0，1)，又AP=(x-1，1，x)，∴AP=xDA1+A1C1(其中0≤x≤1)，∴AP，DA1，A1C1共面，又AP?平面4.(2020四川內(nèi)江三模)如圖所示的幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑BC=4，AB=AC，∠BAC=90°，D為半圓弧的中點，若異面直線BD和AB1所成角的余弦值為23，則該幾何體的體積為A.16+8πB.32+16πC.32+8πD.16+16π【答案】A【解析】設(shè)D在底面半圓上的射影為D1，連接AD1，交BC于點O，連接A1D，交B1C1于點O1.依題意知AD1⊥BC，A1D⊥B1C1，O，O1分別是下底面、上底面半圓的圓心.連接OO1，則OO1與上、下底面垂直，所以O(shè)O1⊥OB，OO1⊥OA.以O(shè)B，OA，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)幾何體的高為h(h>0)，則B(2，0，0)，D(0，-2，h)，A(0，2，0)，B1(2，0，h)，所以BD=(-2，-2，h)，AB1=(2，-2由于異面直線BD和AB1所成角的余弦值為23所以|cos<BD，AB1>|=|BD·AB1||BD所以幾何體的體積為12×π×22×4+12×4×2×4=16+8π.二、填空題5.(2022河南濮陽范縣一中月