全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題解析匯編(浙蘇贛皖湘鄂省會(huì))

2013年全國(guó)數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題解析匯編02（浙蘇贛皖湘鄂省會(huì)城市）【2013·杭州·22題】（1）先求解下列兩題：①如圖①，點(diǎn)B、D在射線AM上，點(diǎn)C、E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度數(shù)；②如圖②，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)都是3，且BC=2，點(diǎn)D在AC上，且橫坐標(biāo)為1，若反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D，求k的值。（2）解題后，你發(fā)現(xiàn)以上兩小題有什么共同點(diǎn)？請(qǐng)簡(jiǎn)單寫(xiě)出。解：（1）①∵在△ADE中，∠EDM=∠A+∠AED∴∠AED=∠EDM-∠A∵CD=DE∴∠AED=∠DCE∴∠DCE=∠EDM-∠A∵在△ACD中，∠DCE=∠A+∠ADC∴∠ADC=∠DCE-∠A=∠EDM-2∠A∵BC=CD∴∠ADC=∠DBC∴∠DBC=∠EDM-2∠A∵在△ABC中，∠DBC=∠A+∠ACB∴∠ACB=∠DBC-∠A=∠EDM-3∠A∵AB=BC∴∠A=∠ACB∴∠A=∠EDM-3∠A∴∠A=∠EDM∵∠EDM=84°∴∠A=21°②∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，且橫坐標(biāo)為3∴可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）∵C的橫坐標(biāo)是3，且BC=2∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，）∵D的橫坐標(biāo)為1，且AC∥x軸∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上∴1·（）=k∴k=3（2）兩小題的共同點(diǎn)是：用已知的量通過(guò)一定的等量關(guān)系去表示未知的量，建立方程解答問(wèn)題

【2013·杭州·23題】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)稱中心為點(diǎn)P，點(diǎn)F為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，設(shè)它們的面積為S1.（1）求證：∠APE=∠CFP；（2）設(shè)四邊形CMPF的面積為S2，CF=x，y=。①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；②當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱時(shí)，求y的值。解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H。∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線∴∠HPC=∠HCP=45°∵∠EPF=45°∴∠APE+∠HPF=180°-∠EPF-∠HPC=90°∵∠PHF=90°∴∠CFP+∠HPF=90°∴∠APE=∠CFP（2）①∵P是正方形ABCD的對(duì)稱中心，邊長(zhǎng)為4∴PH=GP=2，AP=CP=2∵CF=x∴S△PFC=CF·PH=x∴S2=2S△PFC=2x∵∠APE=∠CFP，∠PAE=∠PCF=45°∴△APE∽△CFP∴∴AE===∴S△APE=AE·GP=∵S△ABC=AB·BC=8∴S四邊形BFPE=S△ABC-S△APE-S△PFC=8--x∴S1=2S四邊形BFPE=16--2x∴y==∵點(diǎn)F在BC邊上，點(diǎn)E在AB邊上，且∠EPF=45°∴2≤x≤4∵y=∴當(dāng)，即x=2時(shí)，y有最大值，最大值為1②因?yàn)閮蓧K陰影部分圖形關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，要使其關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，則兩塊陰影部分圖形還要關(guān)于直線BD成軸對(duì)稱，此時(shí)BE=BF∴AE=CF則=x，得x=2或-2(舍去)∴x=2∴y==2-2

【2013·合肥·23題】我們把有不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”，如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”，其中∠B=∠C（1）在圖1所示“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫(huà)出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥DC，求證：；（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E,若EB=EC，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫(xiě)出你的結(jié)論。（不必說(shuō)明理由）解：（1）如下圖所示（2）∵AE∥CD，AB∥ED∴∠AEB=∠C，∠B=∠DEC∴△ABE∽△DCE∴∵∠B=∠C∴∠AEB=∠B∴AB=AE∴（3）當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”。理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H。∵AE平分∠BAD∴EF=EG∵ED平分∠ADC∴EG=EH∴EF=EH∵EB=EC∴Rt△BFE≌Rt△CHE∴∠FBE=∠HCE∵EB=EC∴∠EBC=∠ECB∴∠FBE+∠EBC=∠HCE+∠ECB∴∠ABC=∠DCB∵AD不平行于BC∴四邊形ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”當(dāng)點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，有兩種情況：一、當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，四邊形ABCD為“準(zhǔn)等腰梯形”二、當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的外部時(shí)，四邊形ABCD為“準(zhǔn)等腰梯形”

【2013·武漢·24題】已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G。（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：；（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí)，使得成立？并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值。解：（1）∵DE⊥CF，即∠DGF=90°∴∠ADE+∠CFD=90°∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠CDF=90°∴∠ADE+∠AED=90°∴∠AED=∠CFD∴△AED∽△DFC∴（2）當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí)，成立。證明如下：∵∠CGD+∠EGC=180°∴∠B=∠CGD∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B=∠CDF∴∠CGD=∠CDF∵∠DCG=∠FCD（公共角）∴△CDG∽△CFD∴∵AB∥CD∴∠A+∠B=180°∴∠A=∠EGC∵∠DGF=∠EGC（對(duì)頂角）∴∠A=∠DGF∴∠ADE=∠GDF（公共角）∴△ADE∽△GDF∴∴∴（3）=。解析如下：連接AC、BD交于H。由已知條件，易證AC⊥BD，AH=CH∵在四邊形AEGF中，∠BAD=90°，∠EGF=90°∴∠AEG+∠AFG=180°∵∠AEG+∠BED=180°∴∠BED=∠AFG易證∠EBD=∠FAC∴△BED∽△FAC∴=在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD=10，由面積相等AB·AD=BD·AH可求得AH=，則AC=∴=10÷=

【2013·武漢·25題】（1）若直線m的解析式為y=-，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，t），當(dāng)PA=AB時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；②試證明：對(duì)于直線l上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到點(diǎn)A，使得PA=AB成立。（3）設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC=∠OCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：（1）聯(lián)立拋物線和直線m的解析式得=-，即2+x-3=0解得x=1或∵當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=時(shí)，y=∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（，），點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，1）（2）①∵點(diǎn)P（-2，t）在∴-kx-2k-3=0設(shè)A（x1，），B（x2，），則x1+x2=k，x1x2=-2k-3∵PA=AB∴2x1=x2-2上述三式消去k和x2得，+4x+3=0解得x1=-1或-3∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1，1)或(-3，9)②設(shè)P（n，-2n-2），A（a，a2），過(guò)點(diǎn)P、A、B作x軸的垂線，垂足分別為P’、A’、B’。∵PA=AB∴AA’是梯形PP’B’B的中位線∴P’A’=A’B’，2AA’=PP’+BB’∴a-n=xB-a，2a2=-2n-2+y∴B（xB，yB）即（2a-n，2a代入拋物線解析式得：2a2+2n+2=(2a-n)2=4a2+4即2a2+4an+n2-2n-∵Δ=16n2-8(n2-2n-2)=8n2+16n+16=8(n+1)2+8＞0∴對(duì)于任意的n，關(guān)于a的方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即對(duì)于直線l上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)A。（3）∵△AOB的外心在邊AB上∴∠AOB=90°過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足為E、F。易證得△AEO∽△OFB，則設(shè)A（r，r2），B（t，t2），其中r＜0，t＞0，則OE=-r，AF=r2，OF=t，BF=t2∴-rt=r2t2，得rt=-1設(shè)直線m的解析式為，，聯(lián)立拋物線解析式可得-kx-b=0，由韋達(dá)定理得，rt=-b∴b=1，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，1）由∠BPC=∠OCP∴DP=DC=3設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，-2n-2），過(guò)點(diǎn)P作PK⊥y軸于K，則PK=|n|，DK=|-2n-3|∵PK2+DK2=DP2=9∴n2+(-2n-3)2=9，即5n2+12n=0∴n=0(舍去)或則-2n-2=-2×()-2=∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）

【2013·長(zhǎng)沙·25題】設(shè)a、b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]。對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”。（1）反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2013]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；（2）若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；（3）若二次函數(shù)y=是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a、b的值。解：（1）反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2013]上“閉函數(shù)”，理由如下：∵當(dāng)x=1時(shí)，y=2013；當(dāng)x=2013時(shí)，y=1且函數(shù)y=在閉區(qū)間[1，2013]上，y隨x的增大而減小∴當(dāng)1≤x≤2013時(shí)，有1≤y≤2013，符合“閉函數(shù)”定義，故是閉函數(shù)。（2）分如下兩種情況：①當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大由題意知，當(dāng)x=m時(shí)，y=km+b=m當(dāng)x=n時(shí)，y=kn+b=n解此方程組得：k=1，b=0∴函數(shù)解析式為y=x②當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小由題意知，當(dāng)x=m時(shí)，y=km+b=n當(dāng)x=n時(shí)，y=kn+b=m解此方程組得：k=-1，b=m+n∴函數(shù)解析式為y=-x+m+n（3）由y==知，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=2，最小值為，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大。①當(dāng)b≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x=a時(shí)，y==b……(i)當(dāng)x=b時(shí)，y==a……(ii)(i)-(ii)并整理得：(a-b)(a+b+1)=0∵a≠b∴a+b+1=0……(iii)解(i)(iii)方程組的得或∵a＜b∴②當(dāng)a＜2＜b時(shí)，此時(shí)，a=，而由“閉函數(shù)”定義，對(duì)于b，則有如下兩種可能：即b==＜2，故不可能或=b，即解得b=或(舍去)∴a=，b=③當(dāng)a≥2時(shí)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x=a時(shí)，y==a當(dāng)x=b時(shí)，y==b即a、b是方程的兩個(gè)根解得a=＜2，b=，故舍去綜上可得，或

【2013·長(zhǎng)沙·26題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+2與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在第一象限內(nèi)，由點(diǎn)P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN（垂足為M、N）分別與直線AB相交于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)P(a，b)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形PMON的面積為定值2.（1）求∠OAB的度數(shù)；（2）求證：△AOF∽△BEO；（3）當(dāng)點(diǎn)E、F都在線段AB上時(shí)，由三條線段AE、EF、BF組成一個(gè)三角形，記此三角形的外接圓面積為S1，△OEF的面積為S2。試探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出該最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由y=-x+2知，∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2∴B（0，2），即OB=2∵當(dāng)y=0時(shí)，x=2∴A（2，0），即OA=2∵OA=OB∴△AOB是等腰直角三角形∴∠OAB=45°（2）∵EM∥OB∴∵FN∥OA∴∴AF·BE=ON·OM=2OM·ON∵矩形PMON的面積為2∴OM·ON=2∴AF·BE=4∵OA·OB=4∴AF·BE=OA·OB，即∵∠OAF=∠EBO=45°∴△AOF∽△BEO（3）易證△AME、△BNF、△PEF為等腰直角三角形∵AM=EM=2-a∴AE2=2(2-a)2=2a2-∵BN=FN=2-b∴BF2=2(2-b)2=2b2-8b+8∵PF=PE=a+b-2∴EF2=2(a+b-2)2=2a2+4ab+2b2-8a-∵ab=2∴EF2=2a2+2b2-8a-∵EF2=AE2+BF2∴由線段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，則此三角形的外接圓面積為：S1=EF2=·2(a+b-2)2=(a+b-2)2∵S梯形OMPF=(PF+OM)·PMS△PEF=PF·PE，S△OME=OM·EM∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME=(PF+OM)·PM-PF·PE-OM·EM=[PF·(PM-PE)+OM·(PM-EM)]=(PF·EM+OM·PE)=PE·（EM+OM)=(a+b-2)(2-a+a)=a+b-2∴S1+S2=(a+b-2)2+(a+b-2)設(shè)m=a+b-2，則S1+S2=m2+m=(m+)2-∵面積之和不可能為負(fù)數(shù)∴當(dāng)m＞-時(shí)，S1+S2隨m的增大而增大∴當(dāng)m最小時(shí)，S1+S2就最小∵m=a+b-2=a+-2=()2+2-2∴當(dāng)，即a=b=時(shí)，m最小，最小值為2-2∴S1+S2的最小值=(2-2)2+2-2=2(3-2)π+2-2

【2013·南昌·24題】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：（1）操作發(fā)現(xiàn)：在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是（填序號(hào)即可）：①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；④MD⊥ME。（2）數(shù)學(xué)思考：在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；（3）類比探究：（i）在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀。答：（ii）在三邊互不相等的△ABC中(見(jiàn)備用圖)，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，要使（2）中的結(jié)論仍然成立，你認(rèn)為應(yīng)添加一個(gè)什么樣的條件？（限用題中字母表示）并說(shuō)明理由。解：（1）正確結(jié)論為①②③。（2）MD=ME。證明如下：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，連接FM；過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于G，連接GM?！摺鰽BD為等腰直角三角形，DF⊥AB∴F為AB的中點(diǎn)，且DF=AB同理可證，G為AC的中點(diǎn)，且EG=AC∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)∴FM∥AC，且FM=AC同理可證，GM∥AB，GM=AB∵FM∥AC，GM∥AB∴四邊形AFMG是平行四邊形∴∠AFM=∠AGM∵∠AFD=∠AGE=90°∴∠DFM=∠MGE∵FM=EG=AC，DF=GM=AB∴△DFM≌△MGE∴MD=ME（3）（i）△MED是等腰直角三角形。證明方法與(2)相同，得△DFM≌△MGE∴MD=ME，∠MDF=∠EMG令DF與MG交于K，MG∥AB，DF⊥AB則DF⊥MG，即∠MKD=90°∴∠DME=90°∴△MED是等腰直角三角形（ii）當(dāng)∠ABD=∠ACE時(shí)，結(jié)論MD=ME仍然成立。取AB的中點(diǎn)F，連接DF，MF；取AC的中點(diǎn)G，連接EG，MG。則DF=AB，EG=AC與(2)同理，DF=MG，F(xiàn)M=EG，∠BFM=∠CGM∵BF=DF∴△BDF是等腰三角形∵CG=EG∴△CEG是等腰三角形∵∠ABD=∠ACE，即∠FBD=∠GCE∴∠BFD=∠CGE∵∠DFM=∠BFM-∠BFD∠MGE=∠CGM-∠CGE∴∠DFM=∠MGE∴△DFM≌△MGE（SAS）∴MD=ME

【2013·南昌·25題】已知拋物線yn=-(x-an)2+an(n為正整數(shù)，且0＜a1＜a2＜…＜an)與x軸的交點(diǎn)為An-1(bn-1，0)和An(bn，0)，當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線y1=-(x-a1)2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0(0，0)和A1(b1，0)，其他依此類推。（1）求a1，b1的值及拋物線y2的解析式；（2）拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；依此類推第n條拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（用含n的式子表示）；所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是；（3）探究下列結(jié)論：①若用An-1An表示第n條拋物線被x軸截得的線段長(zhǎng)，直接寫(xiě)出A0A1的值，并求出An-1An②是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長(zhǎng)度都相等？若存在，直接寫(xiě)出直線的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）∵拋物線y1=-(x-a1)2+a1過(guò)點(diǎn)A0(0，0)∴-a12+a1=0，解