新高考一輪復習講義：第12講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page1818頁，共=sectionpages1818頁第12講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·河北·石家莊二中模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，令，則，所以，因此，.故選：B.2．（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【解析】因為，，即，所以．故選：C.3．（2022·天津南開·三模）函數(shù)，的圖象大致為（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)，當時，可得，所以，且，所以，可排除A、B、C.故選：D.4．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【解析】當，時，，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當，時，，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，另一方面，時對應的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當，時，因,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D5．（2022·全國·高三專題練習）已知的值域為R，且在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【解析】因為函數(shù)的值域為R，所以取得一切正數(shù)，即方程有實數(shù)解，得，解得或；又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，且在上恒成立，則，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍為或.故選：B6．（2022·重慶八中模擬預測）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：當時，，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，，函數(shù)，由和復合而成，因為時，在上是增函數(shù)，所以只要求的單調(diào)增區(qū)間．的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為，故選：．7．（2022·北京·北大附中三模）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：依題意，等價于，在同一坐標系中作出，的圖象，如圖所示：如圖可得的解集為：.故選：D.8．（2022·重慶·模擬預測）若函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A9．（多選）（2022·山東棗莊·三模）已知、，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A選項，因為，所以，，當且僅當時，等號成立，A對；對于B選項，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，，B對；對于C選項，取，，則，此時，C錯；對于D選項，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，則，D對.故選：ABD.10．（多選）（2022·山東泰安·模擬預測）已知函數(shù)在上先增后減，函數(shù)在上先增后減.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】∵，∴，，∴.設，∵，，在上先增后減，∴.∵，∴，，∴，∴.∵，∴設，∵，，在上先增后減，∴.∴.故選：BC.11．（2022·河北廊坊·模擬預測）已知，則，則A等于__________．【答案】【解析】∵,∴，.∴，.又∵,,即，∴，.故答案為：12．（2022·浙江紹興·模擬預測）設函數(shù)，則___________，若，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】

【解析】等價于①或②由①得；由②得，則實數(shù)a的取值范圍是故答案為：；13．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預測）已知實數(shù)滿足，則的最小值是_______．【答案】16【解析】∵，則可得∴∵當且僅當時等號成立∴故答案為：16．14．（2022·廣東·模擬預測）已知，且，則之間的大小關系是__________.（用“”連接）【答案】【解析】解：函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因為函數(shù)在上遞增，所以函數(shù)在上遞增，則，因為，所以，，所以，所以，即.故答案為：.15．（2022·北京·北大附中三模）對于函數(shù)和，給出下列四個結論：①設的定義域為，的定義域為，則是的真子集.②函數(shù)的圖像在處的切線斜率為0.③函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，.④函數(shù)的圖像關于點對稱.其中所有正確結論的序號是___________.【答案】①③④【解析】對于①，由題意得，函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域.所以是的真子集，則①正確.對于②，，則在處的切線斜率，則②錯誤.對于③，的定義域是，而函數(shù)在區(qū)間，上都是單調(diào)遞減且值為正，又因為函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，因此復合后得到的在這兩個區(qū)間上也是單調(diào)遞減，則③正確.④只需驗證：當時，，則④正確.故答案為：①③④.16．（2022·北京·高三專題練習）已知函數(shù)，，若，且在為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.【解】解：因為函數(shù)，，又，且在為增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.17．（2022·天津·漢沽一中高三階段練習）已知函數(shù).（1）求不等式的解集;（2）若方程在區(qū)間內(nèi)有個不等實根，求的最小值.【解】解:（1）因為，所以，所以為偶函數(shù)﹐令在上遞減，而函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，又，所以，解得或綜上，原不等式的解集是（2）設，則.因為方程在區(qū)間內(nèi)有個不等實根﹐所以方程有個不等實根，其中，所以即，解得，則，所以，所以當，即時有最小值，最小值為.【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.2．（2022·湖北省仙桃中學模擬預測）已知是奇函數(shù)，當時，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為是奇函數(shù)，當時，；所以當時，；當時，則，所以.因為是奇函數(shù)，所以，所以.即當時，.綜上所述：.令，則，所以不等式可化為：.當時，不合題意舍去.當時，對于.因為在上遞增，在上遞增，所以在上遞增.又，所以由可解得：，即，解得：.故選：C3．（2022·山東臨沂·模擬預測）定義“正對數(shù)”：，現(xiàn)有四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則，其中錯誤命題的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】因為定義的“正對數(shù)”：是一個分段函數(shù)，所以對命題的判斷必須分情況討論：對于命題①（1）當，時，有，從而，，所以；（2）當，時，有，從而，，所以；這樣若，則，即命題①正確.對于命題②舉反例：當時，，，所以，即命題②不正確.對于命題③，首先我們通過定義可知“正對數(shù)”有以下性質(zhì)：，且，（1）當，時，，而，所以；（2）當，時，有，，而，因為，所以；（3）當，時，有，，而，所以；（4）當，時，，而，所以，綜上即命題③正確.對于命題④首先我們通過定義可知“正對數(shù)”還具有性質(zhì)：若，則，（1）當，時，有，從而，，所以；（2）當，時，有，從而，，所以；（3）當，時，與（2）同理，所以；（4）當，時，，，因為，所以，從而，綜上即命題④正確.通過以上分析可知：錯誤的命題為②.故選：A4．（多選）（2022·山東濟南·三模）已知函數(shù)，．若實數(shù)a，b(a，b均大于1)滿足，則下列說法正確的是(

)A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關于中心對稱C．D．【答案】AD【解析】對于A，，在上恒成立，定義域為，即的定義域關于原點對稱，，為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關于點中心對稱，，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，，，函數(shù)的圖象關于點中心對稱，故B錯誤；對于C，函數(shù)的圖象關于點中心對稱，，，，，相當于向左平移1個單位，和單調(diào)性相同，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，故C錯誤；對于D，令，，令，則在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞減，，，，故D正確．故選：AD．5．（2022·浙江·效實中學模擬預測）若不等式對任意的正整數(shù)恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】原不等式或，因為,所以（1）或（2）.當時，（2）成立，此時.當，時，（1）成立，因為在（1）中，，令，則為單調(diào)遞增函數(shù)，所以要使（1）對，成立，只需時成立.又時，.所以使不等式對任意的正整數(shù)恒成立，的取值范圍是：.故答案為：6．（2022·全國·高三專題練習）已知：函數(shù)在其定義域上是奇函數(shù)，a為常數(shù)．(1)求a的值．(2)證明：在上是增函數(shù)．(3)若對于上的每一個x的值，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解】(1)解：由題意，是奇函數(shù)，故，即，即，